第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年海南省海口一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.集合A={x|?1≤x<2}，B={x|x<1}，則A∪B=(

)A.{x|?1≤x<1} B.{x|?1≤x≤1} C.{x|?1≤x<2} D.{x|x<2}2.復(fù)數(shù)z=2i(4?5i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若向量a?=(2,2)，b=(x,x3)，aA.{?1,1} B.{?2,2} C.{?1,0,1} D.{?2,0,2}4.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若acosC+ccosA=a，則△ABC的形狀一定(

)A.等腰三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.鈍角三角形5.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為23π，弧長(zhǎng)為2π的扇形，則該圓錐的體積為(

)A.22π3 B.226.如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖，其中O′C′=O′A′=2O′B′=2，則以下說(shuō)法正確的是(

)A.△ABC是鈍角三角形

B.△ABC的面積是△A′B′C′的面積的2倍

C.△ABC是等邊三角形

D.△ABC的周長(zhǎng)是4+47.如圖，在△ABC中，∠BAC=π3,AD=3DB,P為CD上一點(diǎn)，且滿足AP=xAC+3A.92B.7120

C.46158.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)M，N分別在棱AA1，A1D1上，滿足AA1=3AMA.10B.3

C.36二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知直線m，n，不同的平面α，β，下列命題中正確的是(

)A.若m⊥α，n⊥β，且m//n，則α//β

B.若m?α，n?β，且m//n，則α//β

C.若m?α，n//β，且m⊥n，則α⊥β

D.若m⊥α，n?β，且m//n，則α⊥β10.下列說(shuō)法正確的是(

)A.函數(shù)f(x)=ax?1?2(a>0且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(1,?1)

B.若函數(shù)g(x)滿足g(?x)+g(x)=6，則函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,3)對(duì)稱(chēng)

C.當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)y=x+3x+1?1的最小值為211.已知點(diǎn)P(3π8,1)是函數(shù)f(x)=sinA.f(x?3π8)?1是奇函數(shù)

B.ω=?23+83k，k∈N?

C.若f(x)在區(qū)間(3π8,11π三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若復(fù)數(shù)z=4i1?i，則復(fù)數(shù)z的模|z|=______．13.如圖所示，點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，則PB與AC所成的角是______．14.如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則AE?BE的最小值為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知a與b是平面內(nèi)的兩個(gè)向量，|a|=2，|b|=1，a與b的夾角為π4．

(1)求a?b；

(2)求|a+216.(本小題15分)

如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中AB=2，M為DD1的中點(diǎn)．

(1)求三棱錐M?ABC的體積；

(2)求證：BD1//平面AMC；17.(本小題15分)

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、C.已知2a?b=2ccosB．

(1)求角C；

(2)若b=4，點(diǎn)D在邊AB上，CD為∠ACB的平分線，且CD=23，求邊長(zhǎng)a18.(本小題17分)

如圖，正四棱錐S?ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的2倍，點(diǎn)P在側(cè)棱SD上，且SP=3PD．

(1)求證：AC⊥SD；

(2)求二面角P?AB?D的平面角的正切值；

(3)側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE//平面PAC.若存在，求SEEC19.(本小題17分)

定義非零向量OM=(a,b)的“伴隨函數(shù)”為f(x)=asinx+bcosx(x∈R)，向量OM=(a,b)稱(chēng)為函數(shù)f(x)=asinx+bcosx(x∈R)的“伴隨向量”(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).記平面內(nèi)所有向量的“伴隨函數(shù)”構(gòu)成的集合為S．

(1)設(shè)函數(shù)g(x)=2sin(π3+x)?cos(π6+x)，求證：g(x)∈S；

(2)記向量ON=(1,3)的伴隨函數(shù)為f(x)，當(dāng)x∈(?π3,π6)參考答案1.D

2.A

3.C

4.A

5.A

6.D

7.B

8.D

9.AD

10.ABD

11.BC

12.213.60°

14.211615.解：(1)a?b=|a||b|cos?a,b?=2×1×cosπ16.解：(1)∵正方體ABCD?A1B1C1D1中AB=2，M為DD1的中點(diǎn)，

∴MD⊥底面ABC，

故三棱錐M?ABC的體積VM?ABC=13?S△ABC?MD

=13×12×2×2×1=23；

(2)證明：如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，

∵O是DB的中點(diǎn)，M是DD1的中點(diǎn)，∴MO//BD1，

∵M(jìn)O?平面AMC，BD1?平面AMC，

∴BD1//平面AMC；

(3)證明：∵N是CC1的中點(diǎn)，M是DD117.(1)由2a?b=2ccosB及正弦定理?2sinA?sinB=2sinCcosB，

又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

所以2sinBcosC+2cosBsinC?sinB=2sinCcosB，即2sinBcosC=sinB，

又sinB≠0，所以cosC=12，

又C∈(0,π)，所以C=π3；

(2)由(1)知，C=π3，

又CD為∠ACB的平分線，故∠ACD=∠BCD=π6，

由三角形面積公式得S△ACD=12AC?CDsin∠ACD=12×4×218.(1)證明：在正四棱錐S?ABCD中，連接BD，設(shè)AC∩BD=O，

連接SO，則點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，

根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)可得SO⊥平面ABCD，而AC?平面ABCD，

則SO⊥AC，

又AC⊥BD，SO，BD?平面SBD，BD∩SO=O，

于是AC⊥平面SBD，而SD?平面SBD，

所以AC⊥SD．

(2)過(guò)P作PQ⊥BD于Q，過(guò)Q作QR⊥AB于R，連接PR，

在三角形SBD中，PQ//SO，又SO⊥平面ABCD，

所以PQ⊥平面ABCD，

因?yàn)锳B?平面ABCD，所以AB⊥PQ，

又QR⊥AB，PQ∩QR=Q，PQ，QR?平面PQR，

所以AB⊥平面PQR，

PR?平面PQR，所以AB⊥PR，

于是∠PRQ是二面角P?AB?D的平面角，

令正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，則BD=SD=SB=2AB=22，SO=SB2?(BD2)2=(22)2?(2)2=6，

因?yàn)镾P=3PD，

所以PQ=14SO=64,QR=78AD=74，

在直角三角形PQR中，tan∠PRQ=PQQR=6474=67，

所以二面角P?AB?D的正切值為67．

(3)在SP上取點(diǎn)N，使得PN=PD，過(guò)N作NE//PC交SC于點(diǎn)E，連接BN，

由PC?平面PAC，NE?平面PAC，得NE//平面PAC，由O是BD的中點(diǎn)，

得OP//BN，

而OP?平面PAC，BN?平面PAC，得BN//平面PAC，

又BN∩NE=N，BN，NE?19.解：(1)g(