第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年吉林省長春十七中高一（下）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知a，b∈R，a+3i=(b+i)i(i為虛數(shù)單位)，則(

)A.a=1，b=?3 B.a=?1，b=3

C.a=?1，b=?3 D.a=1，b=32.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sin(A+B)=13，a=3，c=4，則sinA=A.23 B.14 C.343.如圖，四邊形ABCD的斜二測畫法的直觀圖為等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=4，C′D′=2，則下列說法正確的是(

)A.AB=2

B.A′D′=22

C.四邊形ABCD的周長為4+22+24.在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=4，若P為邊BC上的動點，則AP?(A.2 B.4 C.8 D.05.如圖，有A，B，C三艘漁船在海島D附近作業(yè)，D在A的東北方向，D在B的東偏北60°方向，C在B的東偏北30°方向，B在A的正東方向，已知A，B相距(3?1)akm，B，C相距3A.D在C的北偏西60°方向 B.∠ADB=10°

C.D，C相距akm D.D，B相距26.下列命題正確的是(

)A.若a、b是兩條直線，α、β是兩個平面，且a?α，b?β，則a、b是異面直線

B.四邊形可以確定一個平面

C.已知兩條相交直線a、b，且a//平面α，則b與α的位置關(guān)系是相交

D.兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面7.已知正三棱臺ABC?A1B1C1的上、下底面的邊長分別為2和4A.73 B.733 8.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P，Q，R分別為棱BC，CD，CA.53π B.83π C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知i為虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是(

)A.i+i2+i3+i4=0

B.復數(shù)z=3?i的虛部為?i

C.若復數(shù)z滿足(1+i)?z=1+5i(i是虛數(shù)單位)，則10.已知四面體的四個面都是邊長為2的正三角形，則以下正確的是(

)A.四面體的高63 B.四面體表面積為43

C.四面體體積為211.已知向量a=(2,?1)，b=(?4,?2)，則下列說法正確的是(

)A.cos<a，b>=?35 B.(2a+b)//(a+12三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若復數(shù)m?3+(m2?9)i≥0，則實數(shù)m13.一個腰長為2的等腰直角三角形繞著它的一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)π4弧度，形成的幾何體的表面積為______．14.如圖甲，在梯形ABCD中，AB//CD，CD=2AB，E、F分別為AD、CD的中點，以AF為折痕把△ADF折起，使點D不落在平面ABCF內(nèi)(如圖乙)，那么在以下3個結(jié)論中，正確的結(jié)論是______．

①CF//平面ABD；②BE//平面CDF；③CD//平面BEF．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

(1)計算：z=i(1?i)2(2)已知復數(shù)z1=1?3i，z216.(本小題12分)

已知正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，點M，N分別是線段C1D1，CC1的中點．

(1)17.(本小題12分)

已知f(x)=a?b，其中a=(2cosx,?3sin2x)，b=(cosx,1)，x∈R．

(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，f(A)=?1，a=7，且向量18.(本小題12分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足cosCc=cosB2a?b．

(1)求C；

(2)若a=2b=2，求△ABC外接圓的半徑；

(3)若c=219.(本小題12分)

如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中AB=2，M為DD1的中點．

(1)求證：BD1//平面AMC；

(2)若N為C

參考答案1.B

2.B

3.D

4.A

5.C

6.D

7.B

8.A

9.AD

10.BCD

11.ABD

12.3

13.4+14.①③

15.(1)由復數(shù)的乘法運算法則得：

z=i(1?i)2=i(1?2i+i2)=i×(?2i)=?2i2=2．

(2)z1=1?3i，z16.(1)因為正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，M，N分別是線段C1D1，CC1的中點，

所以三棱錐M?A1C1B的體積為VM?A1C1B=VB?A1C1M=13×12×1×2×2=23；

(2)證明：因為A1B1//MC1，A1B17.(1)f(x)=2cos2x?3sin2x=1+cos2x?3sin2x

=1+2cos(2x+π3)，

令2kπ?π≤2x+π3≤2kπ(k∈Z)，

解得kπ?2π3≤x≤kπ?π6(k∈Z)，

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間[kπ?2π3,kπ?π6](k∈Z)．

(2)因為f(A)=1+2cos(2A+π3)=?1，

所以cos(2A+π318.(1)因為cosCc=cosB2a?b，

所以由正弦定理得cosCsinC=cosB2sinA?sinB，

所以2sinAcosC?sinBcosC=sinCcosB，

所以2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA，

因為0<A<π，所以sinA≠0，所以cosC=12，

因為0<C<π，所以∠C=π3；

(2)因為a=2b=2，且cosC=12，

所以由余弦定理得：c2=a2+b2?2abcosC=4+1?2×2×1×12=3，所以c=3，

所以2R=csinc=3sinπ19.(1)證明：在正方體ABCD?A1B1C1D1中AB=2，M為DD1的中點，

連接BD交AC于點O，連接OM，

在正方體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，

∴O為BD的中點，

又M為DD1中點，∴OM//BD1，

又OM?平面AMC，BD1?平面AMC，

∴BD1//平面AMC；

(2)證明：連接BN，ND1，MN，由(1)有BD1//平面AMC，

∵N為CC1中點，M為DD1中點，

∴MN//DC，MN=DC，且AB//DC，AB=DC，

∴MN//AB，MN=AB，

∴四邊形ABNM為平行四邊形，∴A