第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年天津市武清區(qū)英華中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共9小題，每小題4分，共36分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)i為虛數(shù)單位，若z(1+3i)=2i，則|z|=A.1 B.2 C.2 D.2.在△ABC中，a，b是角A，B的對(duì)邊，a=2，b=6，A=45°，則角B的值為(

)A.60° B.150° C.30°或150° D.60°或120°3.設(shè)x，y∈R，向量a=(x,1)，b=(1,y)，c=(2,?4)，且a⊥c，bA.0 B.1 C.2 D.34.一個(gè)四邊形的斜二側(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底的長(zhǎng)均為1的等腰梯形，那么原四邊形的面積是(

)A.2+2 B.1+2 C.5.若球的表面積擴(kuò)大到原來的9倍，那么該球的體積擴(kuò)大到原來的(????)倍．A.9 B.27 C.81 D.7296.已知甲船位于燈塔A的北偏東70°方向，且與A相距3km的B處.乙船位于燈塔A的北偏西50°方向上的C處.若兩船相距19km，則乙船與燈塔A之間的距離(單位：km)為(

)A.1 B.3 C.2 D.7.若某圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為2的半圓面，其內(nèi)接正四棱柱的高為33，則此正四棱柱的體積是(

)A.968 B.9388.四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，延長(zhǎng)CD至E，使得CD=DE，若點(diǎn)F為線段AE上的動(dòng)點(diǎn)，則BF?CFA.38 B.1 C.78 9.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，下列四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為(

)

①若bcosC+ccosB=b，則△ABC是等腰三角形；

②若acosA=bcosB，則△ABC是等腰三角形；

③若a2+b2?c2>0，則△ABC一定是銳角三角形；

④在△ABC中，A=60°，a=6，若A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。10.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)2+i1?i的虛部為______．11.已知四棱錐P?ABCD底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，頂點(diǎn)在底面的投影為底面的中心，若該四棱錐的體積為36，則它的表面積為______．12.已知|a|=3，|b|=1，|a?b13.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M是棱AB上的點(diǎn)，且AM=13AB，P是棱AA1上的點(diǎn)，且AP=13AA1.延長(zhǎng)14.在△ABC中，AB=2，AC=3且|3λAB+2(1?λ)AC|的最小值為3，則∠BAC=______，若點(diǎn)E、F分別為線段AB與線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，且線段EF交中線AD于G，△AEF的面積為△ABC面積的一半，則三、解答題：本題共5小題，共59分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題10分)

若復(fù)數(shù)z=(m2+m?6)+(m2?m?2)i(m∈R,i是虛數(shù)單位)．

(1)若z是純虛數(shù)，求m的值；

(2)16.(本小題12分)

已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，a=23，b=3，且滿足b?ac=sinB?sinCsinA+sinB．

(1)求角A的值；

17.(本小題12分)

如圖，在△ABC中，AD=25AB，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC上的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)C，設(shè)CA=a，CB=b．

(1)用a,b表示EF及CD；

(2)若∠ACB=60°，AC=2，且CD⊥EF，

①求BC的長(zhǎng)；

②求CD在18.(本小題12分)

如圖，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的體積為46，點(diǎn)E、F分別為棱BC與AA1的中點(diǎn)．

(1)若△ABC邊長(zhǎng)為2，求三棱柱ABC?A1B1C1的高；19.(本小題13分)

已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，其中c=1．

(1)當(dāng)cos2A=sin2B+cos2C?sinAsinB，

①求角C；

②若△ABC為銳角三角形，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍；

(2)答案解析1.【答案】A

【解析】解：由z(1+3i)=2i，得z=2i1+3i=2i(1?3i)(1+2.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閍=2，b=6，A=45°，

所以由正弦定理得：asinA=bsinB，

所以sinB=bsinAa=6×222=33.【答案】A

【解析】解：∵x，y∈R，向量a=(x,1)，b=(1,y)，

c=(2,?4)且a⊥c，b/?/c，

∴2x?4=012=y?4，解得x=2，y=?2，

∴x+y=04.【答案】A

【解析】解：∵四邊形的斜二側(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底的長(zhǎng)均為1的等腰梯形，

∴原四邊形為直角梯形，

且CD=C′D′=1，AB=O′B=22+22+1=2+1，高AD=20′D′=2，

∴直角梯形ABCD的面積為12(1+5.【答案】B

【解析】解：因?yàn)榍虻谋砻娣e擴(kuò)大到原來的9倍，所以半徑擴(kuò)大到原來的3倍，

所以該球的體積擴(kuò)大到原來的27倍．

故選：B．

根據(jù)球的表面積公式，體積公式，即可求解．

本題考查球的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．6.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，可得AB=3，BC=19，∠CAB=70°+50°=120°，

在△ABC中，由余弦定理得BC2=AC2+AB2?2AC?ABcos∠CAB=19，

即AC2+9+3AC=19，整理得(AC+5)(AC?2)=0，所以AC=2(舍負(fù)7.【答案】C

【解析】解：設(shè)圓錐底面半徑為r，因?yàn)槟妇€長(zhǎng)為l=2，

則半圓弧長(zhǎng)=πl(wèi)=2π=底面周長(zhǎng)=2πr，

所以r=1，所以圓錐的高為：PO=22?12=3

如圖，設(shè)O′B=x，則EB=2x，設(shè)OO′=?，則PO′=3??，

因?yàn)镻O′PO=O′BOA，

所以x1=3??3=1??3，

8.【答案】B

【解析】解：已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，延長(zhǎng)CD至E，使得CD=DE，

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則C(0,0)，E(2,0)，B(0,1)，A(1,1)，

又點(diǎn)F為線段AE上的動(dòng)點(diǎn)，

設(shè)EF=λEA，其中0≤λ≤1，

則CF=CE+λEA=(2?λ,λ)，

則BF?CF=(2?λ,λ?1)?(2?λ,λ)=2λ2?5λ+4，

又f(λ)=2λ2?5λ+4在λ∈[0,1]為減函數(shù)，

9.【答案】B

【解析】解：對(duì)于①：由余弦定理：bcosC+ccosB=b?a2+b2?c22ab+c?a2+c2?b22ac

=a2+b2?c22a+a2+c2?b22a=2a22a=a=b，所以△ABC是等腰三角形，故①正確；

對(duì)于②：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB，即sin2A=sin2B，

解得2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，所以△ABC是等腰或直角三角形，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③：因?yàn)閍2+b2?c210.【答案】32【解析】解：∵2+i1?i=(2+i)(1+i)(1?i)(1+i)=1+3i2=12+3211.【答案】3

【解析】解：如圖，設(shè)底面中心為O，

則VP?ABCD=13×1×1×PO=36，

可得PO=32，

因?yàn)榈酌鏋檎叫?，則AO=22，

所以PA=PO2+AO2=12.【答案】(?3【解析】解：由于|a|=3，|b|=1，|a?b|=2，

所以|a?b|2=4，整理得a?b=0；

由于a+λb與a+2b的夾角為銳角，

所以(13.【答案】1341【解析】解：由題意平面MCD1P將此正方體分為兩部分，設(shè)兩部分體積分別為V1和V2(V1<V2)，

故臺(tái)體PAM?D1DC體積為V1，剩余圖形的體積為V2，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3，

則正方體體積為33=27，

又AM=13AB=1，DC=DD1=3，故AP=AM=1，

S△PAM=12?AP?AM=12，

S△CDD1=12CD?DD114.【答案】2π3

[【解析】解：因?yàn)閨3λAB+2(1?λ)AC|=9λ2|AB|2+12λ(1?λ)|AB||AC|cos∠BAC+4(1?λ)2|AC|2

=72(1?cos∠BAC)[(λ?12)2?14]+36

=72(1?cos∠BAC)(λ?12)2+18+18cos∠BAC≥18+18cos∠BAC，

當(dāng)且僅當(dāng)λ=12時(shí)，等號(hào)成立，

又因?yàn)閨3λAB+(2?2λ)AC|的最小值為3，

所以18+18cos∠BAC=3，解得；cos∠BAC=?12，

又0<∠BAC<π，所以∠BAC=2π3；

設(shè)|AE|=x，|AF|=y，又△AEF的面積為△ABC面積的一半，

AB=2，AC=3，∠BAC=2π3，

所以12xysin∠BAC=12×12×|AB|×|AC|sin∠BAC，即xy=3，

設(shè)AG=λAD，則AG=λAD=λ2AB+λ2AC，

又E，G，F(xiàn)共線，所以存在實(shí)數(shù)μ，使得AG=μAE15.【答案】解：(1)∵z是純虛數(shù)，∴m2+m?6=0m2?m?2≠0，解得，m=?3，

∴m的值為?3；

(2)∵z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，∴m2+m?6<0m2【解析】(1)由實(shí)部為0且虛部不為0求解m的值；

(2)由實(shí)部大于0且虛部小于0聯(lián)立不等式組求解．

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．16.【答案】π3；

3【解析】解：(1)因?yàn)閎?ac=sinB?sinCsinA+sinB，

由正弦定理可得b?ac=b?ca+b，

整理得b2+c2?a2=bc，

由余弦定理可得b2+c2?a2=2bccosA，

可得cosA=12，

在△ABC中，A∈(0,π)，

所以A=π3；

(2)由正弦定理知bsinB=asinA，而a=23，b=3，

即3sinB=2332，解得sinB=34，

又b<a，所以17.【答案】EF=13b?12a，CD【解析】解：(1)已知在△ABC中，AD=25AB，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC上的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)C，且CA=a，CB=b．

因?yàn)锳D=25AB，

所以EF=CF?CE=13CB?12CA=13b?12a；

CD=CA+AD=CA+2518.【答案】42；

63；【解析】解：(1)設(shè)△ABC的高為?，

S△ABC=12×3×2=3，

?=VABC?A1B1C1S△ABC=463=42；

(2)VC?AEF=VF?ACE

=13?S△ACE?AF

=13?12S△ABC?12AA1

=112VABC?A1B1C1

=112×46

=63；

(3)設(shè)正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a，高為b，上底面中心為O1，下底面中心為G，連接O1G，

19.【答案】(1+3,3]；

【解析】解：(1)①因?yàn)閏os2A=sin2B+cos2C?sinAsinB，

所以1?sin2A=sin2B+1?sin2C?sinAsinB，

由正弦定理可得b2+a2?c2=ab，

由余弦定理可得cosC=b2+a2?c22ab=12，

在△ABC中，0<C