數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)報告數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)報告選修2-114.6王艇陽簡單邏輯用語?命題：用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.真命題：判斷為真的語句.假命題：判斷為假的語句.?“若?p，則q”形式的命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.ppqq原命題：“若，則”逆命題：“若，則”?p，則?q”逆否命題：“若?q，則?p”否命題：“若?四種命題的真假性之間的關(guān)系：（1）兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；（2）兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．?若若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．p?q，則p是q的充要條件（充分必要條件）．利用集合間的包含關(guān)系：例如：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件；p?q；⑵或（or）：命題形式p?q；?邏輯聯(lián)結(jié)詞：⑴且(and)：命題形式⑶非（not）：命題形式?p.?⑴全稱量詞——“所有的”、“任意一個”等，用“”表示；全稱命題p：?x?M,p(x)；全稱命題p的否定?p：?x?M,?p(x)。⑵存在量詞——“存在一個”、“至少有一個”等，用“?”表示；特稱命題p：?x?M,p(x)；特稱命題p的否定?p：?x?M,?p(x)；圓錐曲線?平面內(nèi)與兩個定點即：|MF1F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡稱為橢圓．|?|MF2|?2a,(2a?|F1F2|)。這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距．?橢圓的幾何性質(zhì)：||MF1|?|MF2||?2a,(2a?|F1F2|)。這兩個定點稱為雙曲線的焦點，兩焦點的距離稱為雙曲線的焦距．?雙曲線的幾何性質(zhì)：?實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線．?平面內(nèi)與一個定點的準(zhǔn)線．?拋物線的幾何性質(zhì)：F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡稱為拋物線．定點F稱為拋物線的焦點，定直線l稱為拋物線?焦半徑公式：若點??x0,y0?在拋物線y2?2px?p?0?上，焦點為F，則?F?x0,y0?在拋物線x2?2py?p?0?上，焦點為F，則?F?x0?p2；若點??y0?p；2空間向量???設(shè)a??x1,y1,z1?，b??x2,y2,z2?，???（1）?a???x1,?y1,?z1?．（2）a?b?x1x2?y1y2?z1z2．??????（3）若a、b為非零向量，則a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?z1z2?0．??????（4）若b?0，則a//b?a??b?x1??x2,y1??y2,z1??z2．????a?b?（5）a??6）cos?a,b???ab（7）?．?x1,y1,z1?，???x2,y2,z2?，則d????????????????a?b??設(shè)異面直線a，b的夾角為?，方向向量為a，b，其夾角為?，則有cos??cos??．a(chǎn)b????設(shè)直線l的方向向量為l，平面?的法向量為n，l與?所成的角為?，l與n的夾角為?，則有??l?nsin??cos??．ln??????????設(shè)n1，n2是二面角??l??的兩個面?，?的法向量，則向量n1，n2的夾角（或其補角）就是二面角的平面角的大?????n1?n2?。舳娼??l??的平面角為?，則cos??．n1n2?????點?與點?之間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點對應(yīng)向量??的模??計算．??在直線l上找一點?，過定點?且垂直于直線l的向量為n，則定點?到直線l的距離為????????n?????????d???cos???,n??n????????n?????????d???cos???,n??n．?點?是平面?外一點，?是平面?內(nèi)的一定點，n為平面?的一個法向量，則點?到平面?的距離為．?第二篇：現(xiàn)代數(shù)學(xué)專題選講學(xué)習(xí)報告格式6900字《現(xiàn)代數(shù)學(xué)專題選講》學(xué)習(xí)報告格式一、標(biāo)題（二小黑體加粗）二、學(xué)生姓名：×××指導(dǎo)老師：×××（小四號，宋體）三、電子科技大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院2006級××××專業(yè)×班（小五號，宋體）四、摘要（200-250字）（小五號，宋體）五、關(guān)鍵詞（3-5個）（小五號，宋體）六、正文(300-6000字)（五號，宋體）1、引言2、主題內(nèi)容3、結(jié)束語（內(nèi)容總結(jié)）七、參考文獻(xiàn)示范論文拓?fù)鋵W(xué)在混沌等價刻畫與函數(shù)連續(xù)性研究中的一些應(yīng)用學(xué)生姓名：×××指導(dǎo)老師：×××（電子科技大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院2006級××××專業(yè)××班，學(xué)號××××××）摘要本文將Devaney混沌定義推廣到一般拓?fù)淇臻g,利用拓?fù)淇臻g結(jié)構(gòu)簡單性,發(fā)現(xiàn)并且證明了Devaney混沌映射的周期點與拓?fù)淇臻g的開集之間的本質(zhì)聯(lián)系:連續(xù)自映射是Devaney混沌的當(dāng)且僅當(dāng)任何二非空開集共享同一周期軌.并且用類似的方法,在數(shù)學(xué)分析中得到了函數(shù)連續(xù)的一個充要條件.通過這兩個實例,在一定程度上說明了點集拓?fù)湓跀?shù)學(xué)教學(xué)與研究中的重要性.關(guān)鍵詞拓?fù)淇臻g連續(xù)映射混沌周期軌逆像半個世紀(jì)以來,拓?fù)鋵W(xué)一直被譽為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的“三大基礎(chǔ)”之一.各重點高校的數(shù)學(xué)專業(yè)(無論是本科數(shù)學(xué)專業(yè)還是研究生)都始終不移將其作為是一門專業(yè)基礎(chǔ)課程.然而,作為新步入數(shù)學(xué)專業(yè)的普通數(shù)學(xué)工作者自然要問:問題1為什么拓?fù)鋵W(xué)是數(shù)學(xué)的一門基礎(chǔ)課程?問題2拓?fù)鋵W(xué)對數(shù)學(xué)研究和大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)究竟有何指導(dǎo)作用?.關(guān)于問題1,人們可以在學(xué)習(xí)了拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容(點集拓?fù)?之后,在繼續(xù)學(xué)習(xí)《泛函分析》、《微分幾何》（整體）、《動力系統(tǒng)理論》、《非線性分析》等數(shù)學(xué)理論課程的過程中逐步地尋找到答案。本文就拓?fù)鋵W(xué)在混沌理論研究以及數(shù)學(xué)分析中連續(xù)函數(shù)性質(zhì)研究談兩點體會.§1點集拓?fù)湓诨煦鐢?shù)學(xué)理論研究中的應(yīng)用19xx年，Li-Yorke第一次間接地給出了混沌（chaos）的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義如下：Li-Yorke混沌定義[1]設(shè)J是一個區(qū)間，f:J?J是一個連續(xù)映射，如果滿足下列條件被滿足：1T1：對于任何自然數(shù)k，f有k-周期點；T2：存在一個不可數(shù)集合S?J\per(f)使得下列二條件成立：(2.1）?p,q?S:p?q都有l(wèi)imsup|fn(p)?fn(q)|?0,且liminf|fn(p)?fn(q)|?0;n??n??(2.2)?p?S,?q?per(f),有l(wèi)imsup|f(p)?fn(q)|?0.n??n則稱f:J?J是Li-Yorke意義下的混沌映射.其中:per(f)是f的周期點集.由于混沌現(xiàn)象在現(xiàn)實世界中無所不有，因此，自Li-Yorke混沌定義給出以來就倍受各領(lǐng)域的普遍關(guān)注.但這定義在應(yīng)用研究中存在有如下兩方面的不足:(A1)映射是在區(qū)間上定義的,適用范圍太狹窄;(A2)這定義是高度抽象的數(shù)學(xué)定義,缺乏直觀性,不利于工程應(yīng)用.為克服（A1）在混沌研究中帶來的困難，19xx年，周作領(lǐng)在文獻(xiàn)[2]中將上述Li-Yorke定義推廣到度量空間并且對其作了如下修正:周氏混沌定義對于度量空間X,若存在不可數(shù)集S?X\per(f)使得?x,y?S:x?y,nnnn有l(wèi)imsupd(f(x),f(y))?0并且liminfd(f(x),f(y))?0,則稱f是一個混沌映射.n??n??為克服(A2)在應(yīng)用研究中的不足,19xx年,R.L.Devaney對混沌作了如下更直觀的定義：Devaney混沌定義[3]設(shè)X是一度量空間，一個連續(xù)映射f：X?X稱為是X的一個混沌映射(chaosmapping)，如果下列三條件被滿足:（ⅰ）f是拓?fù)鋫鬟f的.（ⅱ）f的周期點在X中稠密.（ⅲ）f具有對初始條件的敏感依賴性.其中:條件（i）,稱映射f是拓?fù)鋫鬟f的,如果對于X上一切非空開集U和V,存在整數(shù)k?0使得fk(U)?V??;條件(ii)就是Per(f)?X,其中Per(f)是f的周期點集Per(f)的閉包;關(guān)于條件(iii),我們稱f是對初始條件的敏感依賴的,如果存在實數(shù)??0,對于?x?X及x的任何開鄰域U(x),存在y?U(x)和自然數(shù)n使得d(fn(x),fn(y))??.這里,d為X上度量,??為非負(fù)整數(shù)集.混沌的周氏定義與Devaney定義都是建立在度量空間的基礎(chǔ)上的.因此,這兩個定義是否等價自然成為人們關(guān)注的熱點問題.20xx年,文獻(xiàn)[4]對于緊度量空間證明了:Devaney混沌意味著周氏混沌.20xx年,文獻(xiàn)[5]在區(qū)間I?[0,1]上如下等價刻畫定理1.1[5]f?C0(I,I)為混沌（Li-Yorke）的充要條件是存在x,y?I使得limsup|fn(x)?fn(y)|?0,并且liminf|fn(x)?fn(y)|?0.n??n??在此,一個自然的問題是:Devaney混沌是否象Li-Yorke混沌一樣有類似于上述定理1的充分必要條件?令人慶幸的是:早在19xx年Banks等人在文獻(xiàn)[5]證明了：在Devaney定義中,條件（?。┖停áⅲ┛梢酝瞥觯á＃?，而（ⅰ）和（ⅱ）是不可去的.由于Banks等人的這一工作,而今,使我們很容易地將Devaney混沌定義在拓?fù)淇臻g上作如下推廣：定義1.1設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，連續(xù)映射f：X?X稱為在X上是Devaney混沌的，如果它是拓?fù)鋫鬟f的并且其周期點集在X中稠密.這種數(shù)學(xué)的再度抽象使Devaney混沌徹底地脫了離度量的限制.進(jìn)而,讓我們看到:Devaney混沌有望到更為廣泛的一類空間(拓?fù)淇臻g)中去建立自身理論.由于拓?fù)淇臻g研究只涉及開集、閉集、映射等基本數(shù)學(xué)內(nèi)容，雖然能使用的數(shù)學(xué)工具很少，但是當(dāng)問題完全置身于拓?fù)淇臻g后，無疑這問題就得到簡化、變得單純而清澈見底.為說明這一點,現(xiàn)在,我們以定義1為例來探究當(dāng)前國內(nèi)外學(xué)者都努力想得到的Devaney混沌的充要條件.事實上,按照定義1,映射f:X?X的Devaney混沌性滿足拓?fù)鋫鬟f的和周期點集稠密兩個條件.2(B1)拓?fù)鋫鬟f是指:X中任何非空開集U和V,都存在自然數(shù)k使得fk(U)?V??;(B2)周期點稠密是指:per(f)?X.由此,我們很容易看到:定義1實質(zhì)上描述的是X的任意二非空開集與f的周期點之間的關(guān)系.于是,我們自然會問:問題1.1當(dāng)映射f滿足定義1時,X的任何二非空開集會享用同一周期軌嗎?更確切地講,?X中任何非空開集U和V,一定存在x?per(f)使得U?O?f(x)??且V?Of(x)??成立嗎?問題1.2如果對于X中任何非空開集U和V,都存在x?Per(f)使得U?O?f(x)??且U?O?f(x)??成立,則(B1)和(B2)一定同時成立嗎?綜合問題1和問題2,引導(dǎo)我們?nèi)プC明下面的定理.定理1.2設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，則連續(xù)映射f:X?X是Devaney混沌映射的充分必要條件是X的任意兩個非空開子集享有同一周期軌.證明(?)設(shè)U和V是X上的任意兩個非空開集.因為f是拓?fù)鋫鬟f的,則?x?U,?k???使得fk(x)?V.令W?f?k(V)?U，則W是點x的一個開鄰域.又因per(f)=X,故Per(f)?W??.于是,?y?per(f)使得y?W?U并且fk(y)?V.因此，U與V享有同一周期軌O?f(y).(?).設(shè)U與V是X中兩非空開集.因為U與V享有同一個周期軌,故?x?per(f)???使得fk1(x)?U并且fk2(x)?V.不妨使得U?O?f(x)??且V?Of(x)??.即?k1,k2?設(shè)k1?k2,令r?k2?k1并記fk1(x)?y,則r???并且fr(y)?fk2(x)?frU(?)V.故fr(U)?V??,f是拓?fù)鋫鬟f的.另一方面,對于?x?X,?U?U(x),取開集V?X,由已知,U與V共享同一周期軌.所以,?x?Per(f),?k??使得x?U并且fk(x)?V.進(jìn)而,Per(f)?U??.即Per(f)?X.因此,映射f是Devaney混沌映射.□.這樣,我們就用點集拓?fù)浞椒òl(fā)現(xiàn)并且證明了:Devaney混沌映射的一個充要條件.下面,我們利用這個充要條件在度量空間與實數(shù)區(qū)間上的推論來結(jié)束這一節(jié)的討論.推論1.1設(shè)X是一個度量空間X,連續(xù)映射f:X?X是Devaney混沌的充要條件是X中任何二開球都享有同一周期軌道.推論1.2J是一個實數(shù)區(qū)間,連續(xù)映射f:J?J是Devaney混沌的充要條件是J的任意二子區(qū)間都享用同一周期軌道.§2拓?fù)鋵W(xué)使函數(shù)連續(xù)的概念變得深刻在《數(shù)學(xué)分析》中函數(shù)的連續(xù)性有如下定義:定義2.1[6]設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域中有定義.稱函數(shù)f(x)在點x0是連續(xù)的,如果x?x0limf(x)?f(x0),即???0,???0,當(dāng)|x?x0|??時,恒有|f(x)?f(x0)|??.如果記B(x0,?)={x:|x?x0|??},B(f(x0),?)={y:|y?f(x0)|??},則不難得知:x?x0limf(x)?f(x0)當(dāng)且僅當(dāng)???0,???0使得f(B(x0,?))?B(f(x0),?).定義2.2[6]稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)是連續(xù)的,如果f(x)在(a,b)中每一點都連續(xù);稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]是連續(xù)的,如果f(x)在開區(qū)間(a,b)連續(xù)且limf(x)?f(a),?x?ax?b?limf(x)?f(b).同理,定義f(x)在區(qū)間[a,b)和(a,b]的連續(xù)性.現(xiàn)在,用類比的方法將上述連續(xù)性概念推廣(抽象)到一般拓?fù)淇臻g.3定義2.3設(shè)X,Y是二拓?fù)淇臻g,x0?X,映射f:X?Y稱為在點x0是連續(xù)的,如果?V?U(f(x0)),?U?U(x0)使得f(U)?V.其中:U(x)與U(f(x0))分別表示點x0與點f(x0)的開鄰域系.定義2.4設(shè)X,Y是二拓?fù)淇臻g,映射f:X?Y稱為是連續(xù)的,如果它在X上每一點都連續(xù).即,映射f:X?Y連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)?x?X,?V?U(f(x)),?U?U(x)使得f(U)?V(即,U?f?1(V))..現(xiàn)在認(rèn)真觀察定義2.4:當(dāng)f:X?Y連續(xù)時,對于Y中任何開集V,如果f?1(V)??(空集),則?x?f?1(V),有V?U(f(x)),由f:X?Y的連續(xù)性知,?Ux?U(x)使得Ux?f?1(V).因此,f?1(V)??x?f?1(V){x}??x?f?1(V)Ux?f?1(V).于是,我們驚喜地發(fā)現(xiàn):f?1(V)??x?f?1(V)Ux是X中的一個開集.即,連續(xù)映射使得開集的原像仍然是開集.在此,下列逆問題自然產(chǎn)生:問題2.1對于二拓?fù)淇臻g之間的映射f:X?Y,如果Y中任何開集的逆像都開于X,則f一定(按定義2.4)連續(xù)嗎?于是,這引導(dǎo)我們?nèi)プC明下一定理:定理2.1設(shè)X,Y是二拓?fù)淇臻g,映射f:X?Y是連續(xù)的充分必要條件是Y中任何開集的逆像都開于X.證明:必要性在上面的觀察與分析過程中已經(jīng)得到證明.下面,只證充分性.事實上,對于?x?X,?V?U(f(x)),因為f(x)?V,則x?f?1(V).再由已知,f?1(V)是X中開集.所以,f?1(V)?U(x).即,?U?f?1(V)?U(x)使得f(U)?V.由定義2.4,f:X?Y連續(xù).□對照文獻(xiàn)[7]第47頁拓?fù)淇臻g上連續(xù)映射的的定義,從上面定理2.1,我們清楚地看到:《數(shù)學(xué)分析》教材中函數(shù)的連續(xù)性與拓?fù)淇臻g上映射的連續(xù)性等價的（完全一致的）.下面的推論將帶給我們對《數(shù)學(xué)分析》函數(shù)的連續(xù)性更加深刻的認(rèn)識:推論2.1函數(shù)f(x)在實直線?上連續(xù)的充要條件是任意開區(qū)間的逆像都是一些開區(qū)間的并集.證明：(?)因為實直線?上的任何開集都是一些開區(qū)間的并集,故對于?上的任何開集V,都存在開區(qū)間集{??}???使得V???????.因為????,f?1(??)為一些開區(qū)間并.故f?1(V)=????f?1(??)也是一些開區(qū)間的并.因此,f?1(V)為開集.故f連續(xù).(?)設(shè)f在?上連續(xù),對?a,b?[??,??]:a?b,由定理2.1的必要性,f?1((a,b))是開集.即,?x?f?1((a,b)),??x?0使得(x??x,x??x)?f?1((a,b)).所以,f?1((a,b))??x?f?1((a,b))(x??x,x??x).□推論2.2函數(shù)f(x)在區(qū)間J上連續(xù)的充要條件是任意開區(qū)間的逆像都是一些開區(qū)間的并集與區(qū)間J的交集.同樣,文獻(xiàn)[8]中上、下半連續(xù)函數(shù)，也容易作如下推廣定義2.5設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，x0?X，映射f:X??稱為是在點x0上（下）半連續(xù)的，如果???0，?U?U(x0)使得U?(??,f(x0)??)（U?(f(x0)??,??)）;映射f:X??稱為是上（下）半連續(xù)的，如果它在X中每一點都上（下）半連續(xù).用類似于定理2.1的方法，容易得知：定理2.2f:X??上半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)?a??，逆像f?1((??,a))開于X；f:X??下半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)?a??，逆像f?1((a,??))開于X.于是，對于拓?fù)淇臻gX的映射f,我們應(yīng)用定理2.1和定理2.2,得到如下結(jié)果:定理2.3函數(shù)f:X??是連續(xù)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它是上半連續(xù)并且下半連續(xù).4這里,當(dāng)X取實直線?上通常取間時,定理2.3,就是數(shù)學(xué)分析中的結(jié)果.§3結(jié)束語上面,我們將Devaney混沌在拓?fù)淇臻g的推廣以及《數(shù)學(xué)分析》中函數(shù)連續(xù)在拓?fù)淇臻g上的推廣，由于拓?fù)淇臻g結(jié)構(gòu)簡單,所推廣對象的本質(zhì)特征就變得非常特別清晰明朗.因此,在這樣的情況下,我們抓住所涉及對象的本質(zhì)特征,就相對比較容易地得到該對象的等價刻畫.作為特例,這種等價刻畫在原來的具體空間(例如:上面的度量空間或者實直線)是當(dāng)然的真命題.因此,這種方法無疑是推陳出新發(fā)現(xiàn)新結(jié)果的一