第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

【基本要求】理解隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差的概念，掌握它們的性質(zhì)與計(jì)算方法；掌握計(jì)算

隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望方法；掌握二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布和指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方

差；了解協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩的概念、性質(zhì)及計(jì)算方法。

【本章重點(diǎn)】數(shù)學(xué)期望與方差的概念、性質(zhì)與計(jì)算方法；求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的方法；

二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布和指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差。

【本章難點(diǎn)】數(shù)學(xué)期望與方差的概念計(jì)算方法；隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法；協(xié)方差、

相關(guān)系數(shù)、矩的概念、性質(zhì)及計(jì)算方法

【學(xué)時(shí)分配】7-9學(xué)時(shí)

分布函數(shù)：一一全面描述隨機(jī)變量X取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。但是，在實(shí)際問(wèn)題中分布函數(shù)的確定并

不是一件容易的事，而且有時(shí)我們也不需要知道分布函數(shù)，只需知道隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征

就夠了。例如：

評(píng)價(jià)糧食產(chǎn)量，只關(guān)注平均產(chǎn)量；

研究水稻品種優(yōu)劣，只關(guān)注每株平均粒數(shù)；

評(píng)價(jià)某班成績(jī)，只關(guān)注平均分?jǐn)?shù)、偏離程度；

評(píng)價(jià)射擊水平，只關(guān)注平均命中環(huán)數(shù)、偏離程度。

描述變量的平均值的量一一數(shù)學(xué)期望，

描述變量的離散程度的量一一方差。

§4.1數(shù)學(xué)期望

教學(xué)目的：使學(xué)生理解掌握隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的實(shí)際意義及概念，會(huì)計(jì)算具體分布的數(shù)學(xué)期

望；使學(xué)生理解掌握隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算及數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：數(shù)學(xué)期望的概念及其計(jì)算；隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算及數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)。

教學(xué)過(guò)程:

（一）數(shù)學(xué)期望的概念

先看一個(gè)例子:一射手進(jìn)行打靶練習(xí)，規(guī)定射入

區(qū)域g得2分，射入?yún)^(qū)域.得1分，脫靶即射入

區(qū)域分得。分.設(shè)射手-一次射擊的得分?jǐn)?shù)X是一個(gè)

隨機(jī)變量，而且X的分布律為P{X=k}=,k=0,1,2

現(xiàn)射擊N次，其中得0分次，得1分次，得2分次,++=N.則他射擊N次得分的總

和為0+1+2,他平均一次射擊的得分?jǐn)?shù)為

,因?yàn)楫?dāng)N充分大時(shí)，頻率。

所以當(dāng)N充分大時(shí)，平均數(shù)7切晌>￡>kPk。

k=O

顯然，數(shù)值完全由隨機(jī)變量X的概率分布確定，而與試驗(yàn)無(wú)關(guān)，它反映了平均數(shù)的大小。

定義：

1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為，…若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則

稱(chēng)級(jí)數(shù)為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為，即=0

2.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望:設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為，若積分絕對(duì)收斂，則稱(chēng)

積分的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為。即=。

數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱(chēng)期望，乂稱(chēng)為均值。

（二）數(shù)學(xué)期望的計(jì)算

關(guān)鍵是：求出隨機(jī)變量的分布律或者密度函數(shù)。

1.離散型一一若則=（絕對(duì)收斂）

2.連續(xù)型0123

——若

X?密度

函數(shù)，

則=

（絕

對(duì)收斂）

甲、乙兩個(gè)

工人，生

產(chǎn)同一種

產(chǎn)品，在

相同條件

下，生產(chǎn)

100件產(chǎn)

品所出的

廢品數(shù)分

別用X、Y

表示，它

們的概率

分布如下：

X

PK0.70.10.10.1

Y0123

PK0.50.30.20

問(wèn)這兩個(gè)工人誰(shuí)的技術(shù)好？

解：E(X)=0x0.7+1x0.14-2x0.1+3x0.1=0.6,E(K)=0x0.54-1x0.3+2x0.2+3x0=0.7

甲工人生產(chǎn)出廢品的均值較小，甲的技術(shù)好。

例2有5個(gè)相互獨(dú)立工作的電子裝置，它們的壽命Xk(k=l,2,3,4,5)服從同一指數(shù)分布，其

概率密度為，，(D若將這5個(gè)電子裝置串聯(lián)連接組成整機(jī)，求整機(jī)壽命(以小時(shí)記)N的

數(shù)學(xué)期望。(2)若將這5個(gè)電子裝置并聯(lián)連接組成整機(jī)，求整機(jī)壽命(以小時(shí)記)M的數(shù)學(xué)期望。

分析:5個(gè)電子裝置串聯(lián)，整機(jī)壽命，并聯(lián)，整機(jī)壽命，要求N,M的數(shù)學(xué)期望，關(guān)鍵求N,M

的密度函數(shù)

解：⑴X,(攵=1,2,345)的分布函數(shù)為F(x)=1-e/,x>0,。

0,x<0.

因?yàn)?個(gè)電子裝置串聯(lián)，所以整機(jī)壽命的分布函數(shù)為

,因而N的概率密度為

，于是N的數(shù)學(xué)期望為，。

(2)因?yàn)?個(gè)電子裝置并聯(lián)，所以整機(jī)壽命的分布函數(shù)為，因而N的概率密度為

,于是N的數(shù)學(xué)期望為

E(N)=匚或axG依=『聞1-e~x/e]4，%小寢&。

J()6()

我們可以看到，即5個(gè)電子裝置并聯(lián)聯(lián)接工作的平均壽命是串聯(lián)聯(lián)接工作的平均壽命的11.4

倍。

例3按規(guī)定，某車(chē)站8:108:308:50

每天9:109:309:50

8:00?9:00,9:00?10:00

都恰有一輛客車(chē)到站，

但到站的時(shí)間是隨機(jī)

的，且兩者到站的時(shí)間

相互獨(dú)立。其規(guī)律為

到站時(shí)刻

概率1/63/62/6

一旅客8:20到站，求他候車(chē)時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。

分析

'第二班車(chē)9:10到站->5吩鐘

第一班車(chē)8:10已到站第二班車(chē)9:30到站吩鐘

第二班車(chē)9:50到站-a>9吩鐘

第一班車(chē)8:30到站一搭）10分鐘，第一班車(chē)8:50到站.客與）30分鐘

解.設(shè)旅客候車(chē)的時(shí)間為X（以分記），則X的的可取值為10、30、50、70、9O..P{X=1O}=P"第一

班車(chē)8:30到站”=.

P{X=30}=P"第一班車(chē)8:50到站”=.

P{X=50}=P"第一班車(chē)8:10到站,且第二班車(chē)9:10到站”二

P{X=70}=P"第一班車(chē)8:10到站,且第二班車(chē)9:30到站”=

P{X=90}=P“第一班車(chē)8：10到站，且第二班車(chē)9：50到站”=

即X的分布列為

X1030507090

32132

Pk

6363636

X的數(shù)學(xué)期望為

3o129

￡(r)=10x-+30xi+50x—+70x—+90x—=27.22(5^)

66363636

所以若旅客8:20到站，則他候車(chē)時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為27.22（分）o

例4一個(gè)人數(shù)很多的團(tuán)體中普查某種疾病，為此要抽驗(yàn)N個(gè)人的血，可以用兩種方法進(jìn)行。

（1）將每個(gè)人的血分別去驗(yàn)，這就需驗(yàn)N次。（2）按k個(gè)人一組進(jìn)行分組.把k個(gè)人抽來(lái)的血

混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn)，如果這混合血液顯陰性反應(yīng)，就說(shuō)明k個(gè)人的血都顯陰性反應(yīng)，這樣，這

k個(gè)人的血就只需驗(yàn)一次。若顯陽(yáng)性，則再將對(duì)這k個(gè)人的血液分別進(jìn)行化驗(yàn)，這樣，這k個(gè)人

的血總共要化驗(yàn)k+1次，假設(shè)每個(gè)人化驗(yàn)顯陽(yáng)性的概率為p,且這些人的試驗(yàn)反應(yīng)是相互獨(dú)立的。

試說(shuō)明當(dāng)P較小時(shí)，選取適當(dāng)?shù)膋,按第二種方法可以減少化驗(yàn)的次數(shù)。并說(shuō)明k取什么值時(shí)最

適宜。

解若按第二種方法，以k個(gè)人為一組進(jìn)行化驗(yàn)，記「p=q,設(shè)組內(nèi)每個(gè)人化驗(yàn)的次數(shù)為X,則

X的可取值為.由于各人是否顯陰性是相互獨(dú)立的，所以：

P{x=-}=尸"k個(gè)人的混合血顯陰性”=P“k個(gè)人的血都顯陰性”二（1-^/=/

k

P{x=A±l}=a（k個(gè)人的混合血顯陽(yáng)性）=P（k個(gè)人的混合血不陰性）=\-qk

k

故每個(gè)人化驗(yàn)次數(shù)X的期望值為：

kkkk

當(dāng)時(shí)，在普查中平均每人的化驗(yàn)次數(shù)就小于1,從而第二種方法可以減少化驗(yàn)的次數(shù)。顯然,

P愈小這種方法愈有利。當(dāng)P已知時(shí)，可選定使達(dá)最大即達(dá)最小，以個(gè)人為一組進(jìn)行化

驗(yàn)，將能最大限度地減少化驗(yàn)次數(shù)。

例如234567

p=0.1

即

q=0.9

時(shí)可用

賦值法

求函數(shù)

的最

大值：

k

八10.310.390.400.390.370.33…

q7

可見(jiàn)，當(dāng)k=4時(shí)?，函數(shù)有最大值0.4,說(shuō)明以4個(gè)人為一組進(jìn)行化驗(yàn)?zāi)軠p少40%的工作量。

（三）隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

L已知X的分布，求Y=g（X）的數(shù)學(xué)期望E（Y）

我們經(jīng)常需要求隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，例如飛機(jī)機(jī)翼受到壓力W=kV2（V是風(fēng)速，k>0是

常數(shù)）的作用，需要求W的數(shù)學(xué)期望，這里W是隨機(jī)變量V的函數(shù)。這時(shí)，可以通過(guò)下面的定理

來(lái)求W的數(shù)學(xué)期望。

（1）定理設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)，（是連續(xù)函數(shù)）

（2）X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為，=1,2,3,…，若絕對(duì)收斂，則有

X是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的概率密度為，若

絕對(duì)收斂，則有

證明：設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，且產(chǎn)g（x）滿(mǎn)足第二章§5中定理的條件。

由第二章§5中的（5.2）式知道隨機(jī)變量Y二g（X）的概率密度為

o,其它.

于是，E（Y）=

當(dāng)恒＞0時(shí)，E（Y）=

當(dāng)恒＜0時(shí)，E（Y）-

綜合上兩式，（1.4）得證。

上述定理還可以推廣到兩個(gè)或兩個(gè)以上隨機(jī)變量的函數(shù)的情況。給出如下結(jié)論:

設(shè)Z是二維隨機(jī)變量的函數(shù)，其中是二元連續(xù)函數(shù),

（1）設(shè)是離散型，其分布律為，=1,2,3,…,

（3）則當(dāng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂時(shí)，有

設(shè)是連續(xù)型，密度函數(shù)為，則當(dāng)積分

絕對(duì)收斂時(shí)，有

例5設(shè)風(fēng)速V在（0,a）上服從均勻分布，即具有概率密度

又設(shè)飛機(jī)機(jī)翼受到的正壓力W是V的函數(shù)：（V是風(fēng)速，k＞0是常數(shù)），求W的數(shù)學(xué)期望"

解：由（L4）式有E（W）=

例6設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為

，試求XY的數(shù)學(xué)期望。

解：E(XY)=匚匚y^dy=^Qxy(x+y\ixdy=1

例7按季節(jié)出售的某種應(yīng)時(shí)商品，每售出一公斤獲利潤(rùn)b元。如到季末尚有剩余商品，則每公斤

凈虧損元,設(shè)某商店在季度內(nèi)這種商品的銷(xiāo)售量X（以公斤計(jì)）是一隨機(jī)變量，在區(qū)間（si,s2）

上服從均勻分布。為使商店所獲得利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望最大，問(wèn)商店應(yīng)進(jìn)多少貨?

解：以s（公斤）表示進(jìn)貨數(shù)，易知應(yīng)取，進(jìn)貨s所得的利潤(rùn)記為，則是隨機(jī)變量，且有

X的概率密度為

E\as(X)]=J\hx-(5-x)l]dx+f"M————dx

等一+（'+姐卜一h+l

2

由于=，令=0,得

,即當(dāng)（公斤）時(shí)獲得利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望最大。

（四）數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

現(xiàn)在來(lái)證明數(shù)學(xué)期望的幾個(gè)重要性質(zhì)（以下設(shè)所遇到的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在）

1發(fā)是常數(shù)，則有。

設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，是常數(shù)，則有

3設(shè)、是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有

這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量之和的情況。

設(shè)、是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有

這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之積的情況。

證：證3和4,

設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為f（x,y）,其邊緣概率密度為fX（x）,fY（y）,

E（X-Y）=11口"+y）/（x＞）。處=匚匚4（%力+匚獷但y）dxdy

=E（X）+E（Y）,3得證。

又若X,Y相互獨(dú)立，

E（XY）二J2J二孫"工）’）辦小’」二匚3打（幻人（）‘）小辦

=,4得證

例11一民航送客車(chē)載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出，旅客有10個(gè)車(chē)站可以下車(chē)。如到達(dá)一個(gè)車(chē)站

沒(méi)有旅客下車(chē)就不停車(chē)，以X表示停車(chē)的次數(shù)，求E(X)(設(shè)每位旅客在各個(gè)車(chē)站下車(chē)是等可能

的并設(shè)各旅客是否下車(chē)相互獨(dú)立)。

解：引入隨機(jī)變量i=l,2,10

易知X=X1+X2+……+X10,現(xiàn)在來(lái)求E(X)

按題意，任一旅客在笫i站不下車(chē)的概率為，因此20位旅客都不在笫i站下車(chē)的概率為，在

第i站有人下車(chē)的概率為1—,也就是

P{X=0}=,P{Xi=l}=l—,i=l,2,10

由此E(Xi)=1—,i=1,2,…，10

進(jìn)而E(X)=E(X1+Xz+……+X10)=E(X。+E(X2)+……+E(X10)=10[1—f—1>8.784(次)

本題是將X分解成數(shù)個(gè)隨機(jī)變量之和，然后利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之

和來(lái)求數(shù)學(xué)期望的，這種處理方法具有一定的普遍意義。

例12設(shè)一電路中電流I(A)與電阻R(。)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為:

試求電壓V=TR的均值。

解E(V)=E(IR)=E(I)E(R)

31o

，口g(呵口r叫=5。

(五)一些常用分布的數(shù)學(xué)期望

計(jì)算可得一些常用分布的數(shù)學(xué)期望

1.0—

1分布01

X

Pk1一〃P

￡(X)=0x(1-/?)+1xp=p

2.二項(xiàng)分布

X~b(n,p)貝I」E(X)=np

3.泊松分布

,則

.8jK-8]K+8jK-l

計(jì)算：E(X)=ZK務(wù)〃=Z磊/'=J2

K=OK!K=I(K—1)!K=I(K—1)!

4.均勻分布

5.X?U[],則

6.指數(shù)分布

X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則o計(jì)算如下：

E(X)=jxf(x)dx=￡x方，dx

「?00--X“Y廣+8X

=-￡xe〃1(-萬(wàn))=-J()xdee

—XC+X8-X

=—xe〃『+￡e°dx=e(-e0)『

=0

7.正態(tài)分布

X?N(〃Q2),則E(X)=〃

這里計(jì)算了一些，沒(méi)計(jì)算的由學(xué)生自己計(jì)算。

(六)小結(jié)

描述變量的平均值的量一數(shù)學(xué)期望

1.離散型一一若X?則=(絕對(duì)收斂)

2、連續(xù)型一一若X?密度函數(shù)，則=(絕對(duì)收斂)數(shù)學(xué)期望描述隨機(jī)變量

取值的平均大小，要掌握數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，會(huì)計(jì)算數(shù)學(xué)期望，掌握幾種常用分布的數(shù)學(xué)期望「

（七）課堂練習(xí)P1394.8、14.15o

布置作業(yè)P1381、2、3,9、10

§4.2方差

教學(xué)目的：使學(xué)生理解掌握隨機(jī)變量的方差概念及性質(zhì)，會(huì)計(jì)算具體分布的方差，熟記常見(jiàn)分布

的方差；使學(xué)生理解掌握方差的性質(zhì)，能熟練計(jì)算具體分布的方差，進(jìn)一步熟記常

見(jiàn)分布的方差。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：方差的性質(zhì)、具體分布的方差的計(jì)算;隨機(jī)變量的方差概念及性質(zhì)、具體分布

的方差的計(jì)算。

教學(xué)過(guò)程：

上節(jié)課，我們研究了隨即變量的重要數(shù)字特征一一數(shù)學(xué)期望。它描述了隨機(jī)變量一切可能取值的

平均水平。但在一些實(shí)際問(wèn)題中，僅知道平均值是不夠的，因?yàn)樗泻艽蟮木窒扌?，還不

能夠完全反映問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。例如，某廠(chǎng)生產(chǎn)兩類(lèi)手表，甲類(lèi)手表日走時(shí)誤差均勻分布在

秒之間；乙類(lèi)手表日走時(shí)誤差均勻分布在-20~20秒之間，易知其數(shù)學(xué)期望均為0,

即兩類(lèi)手表的日走時(shí)誤差平均來(lái)說(shuō)都是0。所以由此并不能比較出哪類(lèi)手表走得好，但我

們從直覺(jué)上易得出甲類(lèi)手表比乙類(lèi)手表走得較準(zhǔn)，這是由于甲的日走時(shí)誤差與其平均值

偏離度較小，質(zhì)量穩(wěn)定。由此可見(jiàn)，我們有必要研究隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望值的偏離

程度一一即方差。

（一）方差的概念

1.定義

設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，若存在，則稱(chēng)為的方差，記為或。即C并稱(chēng)為

的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。隨機(jī)變量的方差表達(dá)了的取值與其均值的偏離程度。

按此定義，若是離散型隨機(jī)變量，分布律為

P{X=/}=外,&=1,2,…，則O(X)=ZK—￡(X)/PA

K=l

若是連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為，則

方差常用下面公式計(jì)算：

事實(shí)上D(X)=E{[X-E(X)]2}=E{X2-2XE(X)+E2(X)}

=E(X2)-2E(X)E(X)+E2(X)=E(X2)-E2(X)

設(shè)隨機(jī)變量具有數(shù)學(xué)期望，方差，

記，則

解E(X*)=-E(X-JJ)=-[E(X)-JU]=O;

a<j

D(X*)=E(X)=E[(2CZZ￡)2J

cr

=-LE[(X-P)2]=^=\

(y~b

稱(chēng)X*為X的標(biāo)準(zhǔn)化變量。

注意：這里不一定是正態(tài)隨機(jī)變量。對(duì)正態(tài)隨機(jī)變量，結(jié)論也成立。

例2設(shè)隨機(jī)變量X具有(0-1)分布，其分布律為：P{X=O}=l-p,P{X=l}=p,求D(X)o

解:E(X)=0?(1-P)+1-p=p,E(X2)=02-(l-p)+12-p二p

222

D(X)=E(X)-[E(X)]=p-p=p(l-p)

例3設(shè)X-(X),求D(X)o

解：X的分布律為:,k=l,2,-,X>0.

上節(jié)例6已算得E(X)=X,而E(X2)=E[X(X-l)+X]=E[X(x-l)]+E(X)=

后=ohE=2(上—2)!-J^Qe+4=4+4

所以方差：D(X)=E(X)-[E(X)]2=X

由此可知，泊松分布的數(shù)學(xué)期望與方差相等，都等于參數(shù)人，因?yàn)椴此煞植贾缓粋€(gè)參數(shù)人，只

要知道它的數(shù)學(xué)期望或方差就能完全確定它的分布了。

例4設(shè)X~U(a,b),求D(X)。

解:X的概率密度為：而，方差為

=E{X2)-畫(huà)即2傳平器1

=

例5設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，其概率密度為

其中0>0,求E(X),D(X)

解/㈤=—次X)加=T=-xW|o+f=e

E(X2)=^x2f(x)dx=X2=-X2e~xf&\:=2伊

于是D{X}=E{X2)-[E[Xy^=202-02=02

即有，

(二)方差的幾個(gè)重要性質(zhì)：

10設(shè)C是常數(shù)，則D(C)二0。

20設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有：D(CX)=C2D(X)

30設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y)).

特別，若X,Y相互獨(dú)立，則有：D(X+Y)=D(X)+D(Y)

這一性質(zhì)可以推廣到任意有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的情況。

40設(shè)D(X)=0的充要條件是X以概率1取常數(shù)C,即P{X=C}=1,顯然這里C=E(X).

證明1°D(C)=E{[C-E(C)]2)=0

2°D(CX)=E{[CX-E(CX)]2}=C2E{[X-E(X)]2)二C力(X).

3°D(X+Y);E{[(X+Y)-E(X+Y)]2}=E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))]2}

2

二E{(X-E(X))}+E{(Y-E(Y))2}+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

上式右端第三項(xiàng)：

2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

=2E{XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)}

=2{E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)}

=2{E(XY)-E(X)E(Y))

若X,Y相互獨(dú)立，由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)4°知道上式右端為0,于是D(X+Y)=D(X)+D(Y).

例6設(shè)X~b(n,p),求E(X),D(X).

且在每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率為p,引入隨機(jī)變量:

易知X=X|+X?+…+Xn(2.7)解01

由于Xk只依賴(lài)于第k次試驗(yàn)，而各次試驗(yàn)相互獨(dú)立，于是XI,：由二

X2,-,Xn相互獨(dú)立，又知Xk,k=1,2,……，n服從同一（0T）項(xiàng)分布

分布:的定義

⑵7）表明以n,p為參數(shù)的二項(xiàng)分布布變量，可分解成為n個(gè)相互知，隨

獨(dú)立且都服從以P為參數(shù)的（07）分布的隨機(jī)變量之和。機(jī)變量

由例2知E（Xk）=p,D（Xk）=p（l-p）,k=l,2,…，n,故知X是n

重伯努

5(A)==2躍=

i=l

利試驗(yàn)

又由于XI,X2,…，Xn相互獨(dú)立，得

中事件

以應(yīng)）=￡）￡/=2＞（4）=型（1-切A發(fā)生

V=1Jk=l

的次

例7:設(shè)X~N（u,。2）,求E（X）,D（X）。

數(shù)，

解：先求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量：的數(shù)學(xué)期望和方差。Z的概率密度為

Xk

磯加看&%=房產(chǎn)2r=0

I-CO

Pk1-pP

因X=u+。Z,即得E(X)=E(u+。Z)=u：

D(X)=D(P+oZ)=E{[u+oZ—E(u+oZ)]2}=E(a2Z:)=a2E(Z2)

=O2D(Z)二。

這就是說(shuō)，正態(tài)分布的概率密度中的兩個(gè)參數(shù)口和。分別就是該分布的數(shù)學(xué)期望和均方差，因而

正態(tài)分布完全可由它的數(shù)學(xué)期望和方差所確定。

再者，由上一章§5中例1知道，若XI~N（u,。i2）,i=l,2,…，n,且它們它們獨(dú)立，則它

們的母性組合：C1X1+C2X2+-+CnXn(Cl,C2,…，Cn是不全為0的常差的性質(zhì)知道：數(shù))

仍然服從正態(tài)分布，于是由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)知道:

+c?X?+…c”X“?N(ZCM，Zcj/j)

i=\i=\

這是一個(gè)重要的結(jié)果。

例8:設(shè)活塞的直徑(以cm計(jì))，氣缸的直徑，

、相互獨(dú)立。任取一只活塞，任取一只氣缸，求活塞能裝入氣缸的概率。

解按題意需求p{x<y}=p[x-y<o}

由于X-Y~N(-0.10,0.0025)

故有p{x<y}=p{x_y<o}="(x."d())<OT).叫

，J)V0.0025V0.0025J

=皿")=①⑵=0.9772

0.05

(三)切比雪夫(Chebyshev)不等式

F面介紹一個(gè)重要的不等式.

定理設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)=，方差D(X)二,則對(duì)于任意正數(shù)，不等式

成立。這一不等式稱(chēng)為切比雪夫(Chebyshev)不等式。

證：就連續(xù)型隨機(jī)變量的情況來(lái)證明。設(shè)X的概率密度為f(x),則有(如下圖)

1rco2/

工rLjx-川fWdx=—

切比雪夫(Chebyshev)不等式也可以

寫(xiě)成如下的形式:(2.10)

這個(gè)不等式給出了在隨機(jī)變量X的分布未知的情況下事件{|X-u|<￡}概率的下限的估計(jì)。例如,

在(2.10)式中分別取￡=3。，4。得至1」：

P{|X-|<3}20.8889,P{X-|<4}20.9375

在書(shū)末附表1中列出了多種常用的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，供讀者查用。

（四）小結(jié)：

方差￡）（X）=E\［X-E（X）『｝描述隨機(jī)變量X與它自己的數(shù)學(xué)期望E（X）的偏離程度；我們常

用公式。*）=夙*2）-回乂）］2計(jì)算方差,注意項(xiàng)乂2）和［￡（乂）］2的區(qū)別。

記住幾種重要分布的方差

(1)0——1分布D(X)=pq

（2）二項(xiàng)分布D(X)=npq

（3）泊松分布D(X)=2

(b-a)2

（4）均勻分布D(X)=

12

（5）指數(shù)分布D(X)=02

（6）正態(tài)分布D(X)=a2

（五）

課堂練習(xí)：P14016.17^19,P14121.23

課后作業(yè)：P14118、20,22

§4.3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)

教學(xué)目的：使學(xué)生理解掌握協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的定義及性質(zhì)，熟記相關(guān)系數(shù)的含義。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的定義及性質(zhì)。

1教學(xué)過(guò)程：

2對(duì)于二維隨機(jī)變量，我們除了討論與的數(shù)學(xué)期望與方差外，還需要討論描述與之

間相互關(guān)系的數(shù)字特征一一協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)。

3定義稱(chēng)g［x-E（x）］［y-后（肛｝為隨機(jī)變量x與y的協(xié)方差。記為Ca（x,y）,即

Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

Cov(X,Y)

而PXY=稱(chēng)為隨機(jī)變量x與y的相關(guān)系數(shù)。

Vb(x5Vb(r)

4為方差的性質(zhì)

(1)Cr?v(X,y)=Cov(y,X),Co\,(X,X)=D(X)

(2)Cov{XyY)=E(XY)-E(X)E(Y)

我們常用這一式子計(jì)算協(xié)方差。

(3)Cov(aX.bY)=cibCov{X,Y)

(4)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(YfZ)

5相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

⑴樂(lè)區(qū)1

(2)的充要條件是，存在常數(shù)，使

的大小表征著與的線(xiàn)性相關(guān)程度。當(dāng)較大時(shí)，則與的線(xiàn)性相關(guān)程度較好；當(dāng)較小時(shí)，則與

的線(xiàn)性相關(guān)程度較差。

當(dāng)時(shí)，稱(chēng)與不相關(guān)。

當(dāng)與相互獨(dú)立時(shí)，與不相關(guān)。反之，若與不相關(guān)，與卻不一定相互獨(dú)立，該性

質(zhì)說(shuō)明，獨(dú)立性是比不相關(guān)更為嚴(yán)格的條件。獨(dú)立性反映與之間不存在任何關(guān)系，而不相關(guān)

只是就線(xiàn)性關(guān)系而言的，即使X與Y不相關(guān)，它們之間也還是可能存在函數(shù)關(guān)系的。相關(guān)系數(shù)只

是X與Y間線(xiàn)性相關(guān)程度的一種量度。

關(guān)于不相關(guān)有如下定理：對(duì)于X,Y,下列等價(jià)：

①E(XY)=E(X)E(Y)

②D(X+Y)=D(X)+D(Y)

③cov(X,Y)=0

例1④X,Y不相關(guān)，即二0

的分布律為

-2-112P{Y=i}

101/41/401/2

41/4001/41/2

P{x二i}1/41/41/41/41

例1易知，E(X)=0,E(Y)=5/2,E(XY)=0,于是=0,X,Y不相關(guān)。這表示X,Y不存在

線(xiàn)性關(guān)系。但，P{X=-2,Y=l}-0^P{X=-2}P{Y二1},知X,Y不是相互獨(dú)立的。事實(shí)上，X

和Y具有關(guān)系：Y=X2,Y的值完全可由X的值所確定。

例2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量(XI)的概率密度為

,求。

于*(X)=J:/(x,y)dy-=⑵'dy~4x0<x<l

解

其它

E(x)=^x-4x3dr=^

小)二廣小)g『小抬3…0<y<1

[o其它

4)：)=￡12/(1-丁)必，=|

E(xy)=￡44：xy-12y2dy=￡3x5dx=；

1431

Cov(XY)=E(XY)-E(X)E(Y)=-------x-=—

25550

乂E(x2)=f'x2-4xydx--

Jo3

9A7

所以D(x)=E(x2)-E2(X)=--(-)2=—

3575

2245

E(y)=￡12/(1-y)ydy=12j('(y-y)dy=|

231

D(y)=E(y2)-E2(y)=--(-)2=—

JJ

1

Cov(XY)50_V6

-Vb(xJVb(r)~[T

V75V25

課堂練習(xí)P14124.26

課后作業(yè)RM28、29

§4.4矩、協(xié)方差矩陣

教學(xué)目的：使學(xué)生理解矩、協(xié)方差矩陣的定義及n維正態(tài)變量的性質(zhì)。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：矩、協(xié)方差矩陣的定義及n維正態(tài)變量的性質(zhì)。

教學(xué)過(guò)程：

(-)矩

設(shè)X,Y是隨機(jī)變量

(1)若E(Xk),k=1,2…，存在，則稱(chēng)它為X的k階原點(diǎn)矩，簡(jiǎn)稱(chēng)k階矩。

(2)若