試題試題2024北京仁和中學(xué)初三10月月考數(shù)學(xué)一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下列各題均有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)符合題意．1.下列形狀分別為兩個(gè)正方形、矩形、正三角形、圓的邊框，其中不一定是相似圖形的是（）A. B. C. D.2.下列長度的各組線段中，是成比例線段的是（）A.1cm，2cm，3cm，4cm B.1cm，2cm，3cm，6cmC.2cm，4cm，8cm，8cm D.3cm，4cm，5cm，10cm3.如圖，直線，直線，被直線，，所截，截得的線段分別為AB，，DE，，若，，，則的長是（）A.2.5 B.3 C.3.5 D.44.如圖，在中，點(diǎn)，，分別在邊，，上，且，．若，則的值為（）A. B. C. D.5.如圖，點(diǎn)D是的邊上的一點(diǎn)，連接，則下列條件中不能判定的是（）A. B.C. D.6.如圖，在平行四邊形ABCD中，E是DC上的點(diǎn)，DE：EC=3：2，連接AE交BD于點(diǎn)F，則△DEF與△BAF的面積之比為（）A.2：5 B.3：5 C.9：25 D.4：257.下列四個(gè)三角形，與如圖中的三角形相似的是（）A. B. C. D.8.大約在兩千四五百年前，墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個(gè)小孔成倒像的實(shí)驗(yàn)．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中，若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是（）A. B.6 C. D.8二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.如果，那么______．10.已知a，b，c，d是成比例線段，其中，，，則線段d的長為________．11.已知點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)，若線段的長，則線段的長為________．（結(jié)果保留根號）12.如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板測量樹的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊保持水平，并且邊與點(diǎn)B在同一直線上．已知紙板的兩條邊，，測得邊DF離地面的高度，，則樹高為______．13.如圖，在中，，，點(diǎn)D為中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，當(dāng)為______________________時(shí)，與以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形相似．14.圖是伸縮折疊不銹鋼晾衣架的實(shí)物圖，圖是它的側(cè)面示意圖，與相交于點(diǎn)，，據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得的值為____．15.如圖，小明借助太陽光線測量樹高．在早上8時(shí)小明測得樹的影長為，下午3時(shí)又測得該樹的影長為，且這兩次太陽光線剛好互相垂直，則樹高為______．16.如圖是的中線，E是上一點(diǎn)，且，的延長線交于點(diǎn)F，若，則___________．三、解答題（本題共68分，17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題6分，第27，28題，每小題7分）17.如圖，相交于的點(diǎn)，且．求證：．18.線段a、b、c，且（1）求的值；（2）如線段a、b、c滿足，求的值；19.如圖，在由邊長均為1的小正方形組成的網(wǎng)格中有△ABC和△DEF．求證：△ABC∽△DEF．20.如圖，在中，D為上一點(diǎn)，．求的長．21.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高．（1）求證：△ACD∽△CBD；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．22.為了測量水平地面上一棟建筑物AB的高度，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組做了如下的探索：根據(jù)光的反射定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設(shè)計(jì)如圖所示的測量方案：先在水平地面上放置一面平面鏡，并在鏡面上做標(biāo)記點(diǎn)C，后退至點(diǎn)D處恰好看到建筑物AB的頂端A在鏡子中的像與鏡面上的標(biāo)記點(diǎn)C重合，法線是FC，小軍的眼睛與地面距離DE是1.65m，BC、CD的長分別為60m、3m，求建筑物AB的高度．23.如圖，正方形中，為上一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，垂足為，交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的長．24.如圖，在中，．在BC的延長線上取一點(diǎn)B，使，連接AE，AE與CD交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）求DF的長．25.如圖，在中，，點(diǎn)D在上，，過點(diǎn)B作，交的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）如果，，求的長．26.如圖，在平行四邊形中，連接，是邊上一點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于，且.（1）求證：；（2）如果，，求的值.27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，．點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向終點(diǎn)以的速度移動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向終點(diǎn)以的速度移動(dòng)．有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．若、同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（1）用含t的代數(shù)式分別表示線段和的長；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，與相似？28.如圖，在等邊△中，作，邊CD、BD交于點(diǎn)D，連接AD.（1）請直接寫出的度數(shù)；（2）求的度數(shù)；（3）用等式表示線段AC、BD、CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

參考答案一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下列各題均有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)符合題意．1.【答案】B【分析】根據(jù)相似圖形的定義，形狀相同，可得出答案．【詳解】解：A、兩個(gè)正方形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；B、兩個(gè)長方形形狀不同，不是相似圖形，符合題意；C、兩個(gè)等邊三角形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；D、兩圓形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似圖形的定義，掌握相似圖形形狀相同是解題的關(guān)鍵．2.【答案】B【分析】根據(jù)比例線段的性質(zhì)，讓最小的數(shù)和最大的數(shù)相乘，另外兩個(gè)數(shù)相乘，看它們的積是否相等即得答案.【詳解】解：A、∵，∴四條線段不成比例；B、∵，∴四條線段成比例；C、∵，∴四條線段不成比例；D、∵，∴四條線段不成比例；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段，熟練掌握比例線段的性質(zhì)是關(guān)鍵.3.【答案】B【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)，能夠熟練運(yùn)用其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可．【詳解】解：直線，，∵，，，，，故選：B．4.【答案】A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出，即可得出答案．【詳解】解：∵，，，∴，，∴，∴，的值為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，注意：一組平行線截兩條直線，所截得的對應(yīng)線段成比例．掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．5.【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定：兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．和有公共角，然后根據(jù)相似三角形的判定方法對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵，∴當(dāng)或，可根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可判斷，故A，B不符合題意；當(dāng)時(shí)，可根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可判斷，故D不符合題意．當(dāng)時(shí)，不能判定，故C符合題意．故選：C．6.【答案】C【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出CD∥AB，進(jìn)而得出△DEF∽△BAF，再利用相似三角形的性質(zhì)可得出結(jié)果.【詳解】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD∥AB，∴△DEF∽△BAF．∵DE：EC=3：2，∴，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方.7.【答案】D【詳解】本題主要應(yīng)用兩三角形相似的判定定理和勾股定理，相似三角形的判定方法有：兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似，解答此題先根據(jù)勾股定理求出三角形的邊長，然后看三邊是否對應(yīng)成比例即可．【解答】解：設(shè)單位正方形的邊長為，則給出的三角形三邊長分別為，，．A.三角形三邊分別是，，，與給出的三角形的各邊不成比例，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.三角形三邊，，，與給出的三角形的各邊不成比例，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.三角形三邊，，，與給出的三角形的各邊不成比例，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.三角形三邊，，，，與給出的三角形的各邊成正比例，故D選項(xiàng)正確．故選D．8.【答案】C【分析】根據(jù)小孔成像的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：根據(jù)小孔成像的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)可得：蠟燭火焰的高度與火焰的像的高度的比值等于物距與像距的比值，設(shè)蠟燭火焰的高度為，則：，解得：，即蠟燭火焰的高度為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.【答案】【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，即兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積，將此性質(zhì)逆運(yùn)用，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】此題主要考查了比例的意義和基本性質(zhì)．解答此題的關(guān)鍵是比例基本性質(zhì)的逆運(yùn)用．10.【答案】4【分析】本題主要考查了成比例線段，根據(jù)成比例線段的定義得到，據(jù)此代值計(jì)算即可．【詳解】解：∵a，b，c，d是成比例線段，∴，∵，，，∴，故答案為：4．11.【答案】【分析】根據(jù)黃金分割的定義得，代入的長計(jì)算即可．【詳解】解：∵點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割，解題的關(guān)鍵是熟練掌握黃金比，如果點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)，那么．12.【答案】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證明，得到，即可求解，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，∴，，∵，，，，，∴，故答案為：．13.【答案】3或4【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分或兩種情況運(yùn)用相似三角形的判定定理解題即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，綜上，或43，故答案為：3或4314.【答案】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解一元一次方程等知識點(diǎn)，牢記“相似三角形的一切對應(yīng)線段的比等于相似比”是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，，由可得出，再利用相似三角形的性質(zhì)，即可求出的值．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，，，，，即：，解得：，故答案為：．15.【答案】4【分析】先根據(jù)題意作出相應(yīng)的圖，然后可根據(jù)條件得到，最后利用相似比即可得解．【詳解】解：根據(jù)題意作圖，，，，，，，，，，，，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題關(guān)鍵．16.【答案】6【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)M，證明推出，再證明推出，從而可得，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)M，∵是的中線，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：6．三、解答題（本題共68分，17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題6分，第27，28題，每小題7分）17.【答案】證明見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可求證，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∵相交于的點(diǎn)，∴，又∵，∴．18.【答案】（1）；（2）3．【分析】（1）根據(jù)可得，由此即可得出答案；（2）設(shè)，從而可得，再根據(jù)可得的值，從而可得的值，然后代入計(jì)算即可得．【詳解】解：（1）∵，∴，∴；（2）設(shè)，則，，，由得：，解得，所以，，，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19.【答案】見解析【分析】分別求出兩個(gè)三角形的三邊，根據(jù)三邊分別成比例的三角形相似即可判定．【詳解】解：∵在△ABC中，AB=3，BC=，AC=，在△DEF中，DE=，EF=2，DF=，∴，，，∴，∴△ABC∽△DEF．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．20.【答案】的長為9．【分析】根據(jù)已知條件證明，得到求出即可．【詳解】解：∵，∴∴∴．故的長為9．【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解．21.【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明即可．（2）利用相似三角形的性質(zhì)證明CD2=AD?DB，可得結(jié)論．【小問1詳解】證明：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD．【小問2詳解】解：∵△ACD∽△CBD，∴＝，∴CD2＝AD?DB，∵AD＝3，BD＝2，∴CD2＝6，∵CD＞0，∴CD＝．【點(diǎn)睛】本題考查射影定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．22.【答案】33米【分析】根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)求出△ABC∽△EDC，再根據(jù)對應(yīng)邊的比相等求得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，易得∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，則△ABC∽△EDC，所以＝，即＝，解得：AB＝33，答：建筑物AB的高度為33m．【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的應(yīng)用，應(yīng)用反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，運(yùn)用相似比即可解答．23.【答案】（1）見解析（2）【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）由正方形的性質(zhì)得出，，，得出，再由，即可得出結(jié)論；（2）由勾股定理求出，可求出，由得出比例式，即可求出的長．【小問1詳解】證明：∵四邊形是正方形，∴，，，∴，又∵，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：∵四邊形是正方形，，，∴，，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，即，∴．24.【答案】（1）見解析（2）6【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得出，從而得出，即證明；（2）由平行四邊形的性質(zhì)可得出，，即得出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出，即，最后結(jié)合，即可求出DF的長．【小問1詳解】證明：∵四邊形為平行四邊形，∴，即，∴，∴；【小問2詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，即．∵，∴，即．∵,∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)．熟練掌握三角形相似的判定定理及其性質(zhì)是解題關(guān)鍵．25.【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）由等角的余角相等得到，又由即可得到；（2）由勾股定理求得，得到，由得到，則，即可求得答案．【小問1詳解】證明：在中，，∴，∵，∴，∵，∴∴，∵，∴，∵，∴；【小問2詳解】∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，解得．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，還考查了勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)平行四邊形對角相等可得，又，等量代換可得，再結(jié)合公共角，即可證明；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，列出比例式代入數(shù)值計(jì)算可得．【小問1詳解】證明：四邊形是平行四邊形，，，，又，；【小問2詳解】解：，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．27.【答案】（1）（2）【