試題試題2024北京五十五中初三（上）第一次段考數(shù)學(xué)一、單選題1.下面四幅圖分別是“故宮博物館”“廣東博物館”、“四川博物館”、“溫州博物館”的標志，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.關(guān)于的方程是一元二次方程，則（）A. B. C. D.3.已知拋物線的解析式為，則這條拋物線的頂點坐標是（）A. B. C. D.4.將拋物線先向右平移2個單位，再向下平移1個單位長度，所得新拋物線的解析式為（）A. B.C. D.5.關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（）A.實數(shù)根的個數(shù)由b的值確定 B.有兩個不相等的實數(shù)根C.有兩個相等的實數(shù)根 D.沒有實數(shù)根6.保障國家糧食安全是一個永恒的課題，任何時候這根弦都不能松．某農(nóng)科實驗基地，大力開展種子實驗，讓農(nóng)民能得到高產(chǎn)、易發(fā)芽的種子．該農(nóng)科實驗基地兩年前有81種農(nóng)作物種子，經(jīng)過兩年不斷的努力培育新品種，現(xiàn)在有100種農(nóng)作物種子．若這兩年培育新品種數(shù)量的平均年增長率為，則根據(jù)題意列出的符合題意的方程是（）A. B.C. D.7.若二次函數(shù)的最小值是非負數(shù)，則實數(shù)取值范圍為（）A. B. C. D.8.二次函數(shù)自變量和函數(shù)量的部分對應(yīng)值如下表所示，則關(guān)于x的不等式的解集為（）x012y85458A. B. C.或 D.9.如圖，二次函數(shù)的圖象與y軸交于，對稱軸為，對于此二次函數(shù)，有以下四個結(jié)論：①；②；③若此拋物線經(jīng)過點，則一定是方程的一個根；④，中所有正確結(jié)論的序號是（）A.①④ B.①③ C.②④ D.②③10.如圖，動點P在線段上（不與點A，B重合），分別以為直徑作半圓，記圖中所示的陰影部分面積為y，線段的長為x．當點P從點A移動到點B時，y隨x的變化而變化，則表示y與x之間關(guān)系的圖象大致是（）A. B. C. D.二、填空題11.在平面直角坐標系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標是________．12.若關(guān)于的一元二次方程的一個根是，則的值是______．13.已知在二次函數(shù)的圖象上，則____________（填“>”，“<”或“=”）．14.拋物線與軸交于兩點，分別是，，則的值為_______．15.對于二次函數(shù)，當時，隨的增大而減小，那么的取值范圍為______．16.將化為的形式：________．17.如圖，平面直角坐標系中，，．拋物線經(jīng)過A，B，C三點，直線經(jīng)過A，C．當時，x的取值范圍為_________．18.在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)，其中，下列結(jié)論：①若這個函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則它必有最大值；②若這個函數(shù)的圖象經(jīng)過第三象限的點P，則必有；③若，則方程必有一根大于1；④若，則當時，必有y隨x的增大而增大．結(jié)合圖象判斷，所有正確結(jié)論的序號是____________．三、解答題19.解方程：（1）；（2）．20.已知關(guān)于x的一元二次方程（1）求證：此方程總有兩個實數(shù)根；（2）若此方程恰有一個根小于1，求m的取值范圍．21.已知二次函數(shù)部分自變量與函數(shù)值的對應(yīng)值如下表所示：…………（1）求二次函數(shù)解析式；（2）在平面直角坐標系中畫出二次函數(shù)的圖象；（3）當時，的取值范圍是____________．22.在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別為，，．將繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到，點，，的對應(yīng)點分別為，，．（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的；（2）直接寫出點的坐標；（3）求的面積．23.如圖，已知是反比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象的兩個交點．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集．24.請閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：人類對一元二次方程的研究經(jīng)歷了漫長的歲月．一元二次方程及其解法最早出現(xiàn)在公元前兩千年左右的古巴比倫人的《泥板文書》中．到了中世紀，阿拉伯數(shù)學(xué)家花拉子米在他的代表作《代數(shù)學(xué)》中給出了一元二次方程的一般解法，并用幾何法進行了證明．我國古代三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽也給出了類似的幾何解法．趙爽在其所著的《公股圓方圖注》中記載了解方程，即的方法．首先構(gòu)造了如圖1所示的圖形，圖中的大正方形面積是，其中四個全等的小矩形面積分別為，中間的小正方形面積為，所以大正方形的面積又可表示為，據(jù)此易得原方程的正數(shù)解為．任務(wù)：（1）參照上述圖解一元二次方程的方法，請在三個構(gòu)圖中選擇能夠說明方程解法的正確構(gòu)圖是___________（從序號①②③中選擇）．（2）請你通過上述問題的學(xué)習(xí)，在圖2的網(wǎng)格中設(shè)計正確的構(gòu)圖，用幾何法求方程的正數(shù)解（寫出必要的思考過程）25.在第19屆杭州亞運會中，中國女籃在最后時刻以74比72險勝日本成功衛(wèi)冕亞運會冠軍．如圖1，球場上，一名1.85米的運動員，當跳離地面的高度0.25米時，球在頭頂上方0.15米處出手，然后準確落入籃框．已知籃框中心到地面的距離為3.05米，當球與籃框的水平距離為1.5米時，達到最大高度3.5米．（1）籃球出手處距離地面的高度是米；（2）運動員投籃時站在三分線內(nèi)還是三分線外，并說明理由（圖2為籃球場平面示意圖，三分線與籃框的水平距離是6.75米）．26.已知拋物線．（1）求該拋物線的頂點坐標（用含a的式子表示）；（2）當時，拋物線上有兩點，，若時，直接寫出k的取值范圍；（3）若，，都在拋物線上，是否存在實數(shù)m，使得恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．27.在等腰直角中，，，過點的垂線．點為直線上的一個動點（不與點重合），將射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°交直線于點．（1）如圖1，點在線段上，依題意補全圖形；①求證：；②用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）點在線段的延長線上，直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系．28.將平面直角坐標系中的一些點分為兩類，滿足每類至少包含兩個點．對于同一類中的任意兩點，，稱與中的最大值為點和點的“聯(lián)絡(luò)量”，記作，．將每類能得到的最大聯(lián)絡(luò)量作為該類的“代表量”，定義代表量中的最大值為這種分類的“類籌”．如圖，點，，，，的橫、縱坐標都是整數(shù)．（1）①點A，C，D，E，O，與點B“聯(lián)絡(luò)量”是2的有；②點M在平面上運動，已知將點D，E，M分在同一類時“代表量”是5，則動點M所在區(qū)域的面積為；（2）已知二次函數(shù)上的任一點均滿足將點，，，，，分為兩類的最小“類籌”大于4，直接寫出的取值范圍．

參考答案一、單選題1.【答案】D【分析】本題考查了軸對稱圖形、中心對稱圖形的識別．熟練掌握：平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形是軸對稱圖形；如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后能與自身重合，這個圖形是中心對稱圖形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對稱圖形、中心對稱圖形的定義進行判斷即可．【詳解】解：A中是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合要求；B中既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故不符合要求；C中是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合要求；D中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故符合要求；故選：D．2.【答案】B【分析】此題主要考查了一元二次方程的定義，要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理．如果能整理為的形式，則這個方程就為一元二次方程．【詳解】解：若關(guān)于x的方程是一元二次方程，則．故選：B．3.【答案】A【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)頂點式，頂點坐標是，即可得出答案．【詳解】，拋物線的頂點坐標是，故選：A．4.【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)“左加右減，上加下減”的規(guī)律進行求解即可．【詳解】解：將拋物線先向右平移2個單位，再向下平移1個單位長度，所得新拋物線的解析式為，即．故選：B5.【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當，方程有兩個相等的實數(shù)根；當，方程沒有實數(shù)根．先計算出，根據(jù)的意義得到方程有兩個不相等的實數(shù)根即可．【詳解】解：因為，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選B．6.【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意并正確的列出方程．根據(jù)題意兩年前有81種種子，經(jīng)過兩年不斷的努力，現(xiàn)在有100種種子即可列出方程．【詳解】解：∵兩年前有81種種子，經(jīng)過兩年不斷的努力，現(xiàn)在有100種種子，，故選：D．7.【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及解不等式，先把二次函數(shù)化為頂點式，再列不等式求解即可．【詳解】解：，∵二次函數(shù)的最小值是非負數(shù)，∴．∴．故選D．8.【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式等知識．從表格中獲取正確的信息是解題的關(guān)鍵．由表格可知，對稱軸為直線，拋物線開口向上，由表格可知，當時，，即．【詳解】解：由表格可知，對稱軸為直線，拋物線開口向上，由表格可知，當時，，即，故選：D．9.【答案】C【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象．先根據(jù)函數(shù)開口向下判斷，再根據(jù)拋物線與軸有兩個交點即，即可判斷①；根據(jù)時，，即可判斷②；根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，以及二次函數(shù)的對稱性，即可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)對稱軸得到，以及時，，代換得到，即可判斷④．【詳解】解：由圖可知：即，，，，拋物線與軸有兩個交點即，，故①錯誤；時，，，故②正確；此拋物線經(jīng)過點，則是方程的一個根，對稱軸為，則一定是方程的一個根，故③錯誤；，，時，，，故④正確，綜上所述，正確的是②④，故選：C．10.【答案】C【分析】假設(shè)，則，然后根據(jù)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式即可得到答案．【詳解】解：假設(shè)，則，∴，故選C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)在幾何圖形中的應(yīng)用，正確求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．二、填空題11.【答案】【分析】本題考查解關(guān)于原點對稱的點坐標問題，由平面直角坐標系中關(guān)于原點對稱的點的坐標橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)求解即可．【詳解】解：點關(guān)于原點對稱的點的坐標是．故答案為：．12.【答案】3【分析】本題考查一元二次方程的根，將代入，解關(guān)于m的一元一次方程即可．【詳解】解：將代入，得：，解得：，故答案為：3．13.【答案】【分析】分別計算自變量為、1時的函數(shù)值，然后比較函數(shù)值的大小即可．【詳解】解：當時，，當時，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上的點的坐標滿足其解析式，也考查了有理數(shù)的比較大?。?4.【答案】2【分析】本題考查的是利用拋物線上對稱的兩點求解對稱軸，熟記拋物線的對稱軸公式是解本題的關(guān)鍵，本題利用拋物線的對稱軸建立方程求解即可．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線，∵拋物線與軸交于兩點，分別是，，∴對稱軸為直線，∴，∴，故答案為：215.【答案】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，理解二次函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意知拋物線開口向下，只有拋物線的對稱軸小于或等于時，滿足當時，隨的增大而減小，由此即可求解．【詳解】解：二次函數(shù)，開口向下，對稱軸為直線，時，滿足當時，隨的增大而減小，故答案為：．16.【答案】【分析】利用配方法整理即可得解．【詳解】解：，故將化為的形式為：．故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的三種形式，正確運用配方法把二次函數(shù)的一般式化為頂點式是解題的關(guān)鍵．17.【答案】【分析】拋物線與直線的交點為A，C，畫出二者圖象，由下方的圖象對應(yīng)的函數(shù)值較小，結(jié)合圖象，即可求解．【詳解】解：由題意得拋物線與直線的交點為A，C，拋物線和直線的圖象如圖，由圖象得：當時，，故答案：．【點睛】本題考查了利用二次函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象解不等式，理解函數(shù)與不等式之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．18.【答案】①③④【分析】①將點代入中，得，再將其代入，判斷出與0的關(guān)系，從而判斷最值即可；②通過，，可得拋物線過一、二、三象限，從而判斷出錯誤即可；③根據(jù)，判斷出對稱軸的取值范圍，再利用拋物線的對稱性可判斷方程的根；④當時，或進行分類討論，先判斷對稱軸的范圍，最后判斷增減性即可．【詳解】解：①將代入中，得，∴，∵，∴，即∴拋物線開口向下，有最大值，故①正確；②∵拋物線過原點，且，∴當，時，對稱軸，∴圖象經(jīng)過第三象限時，不一定有，故②錯誤；③拋物線過原點，且，∴方程的其中一個根為0，當時，，則有對稱軸，根據(jù)拋物線的對稱性可知：方程的另一根大于1，故③正確；④當，時，拋物線對稱軸，∴，y隨x增大而增大，當，時，即，拋物線對稱軸，∴，y隨x增大而增大，綜上所述：若時，則當，y隨x增大而增大，故答案為：①③④．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握其性質(zhì)．三、解答題19.【答案】（1）或（2）或【分析】本題考查一元二次方程的解法．（1）先移項，然后直接開平方即可；（2）左邊先進行因式分解，然后令每個因式為0即可．【小問1詳解】解：或或；【小問2詳解】或或．20.【答案】（1）見解析（2）【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式、解一元二次方程，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）計算根的判別式得到，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；（2）解一元二次方程得出，，再結(jié)合此方程恰有一個根小于1得出，計算即可得解．【小問1詳解】證明：∵，∴此方程總有兩個實數(shù)根；【小問2詳解】解：∵，∴，∴或，解得：，，∵此方程恰有一個根小于1，∴，解得：．21.【答案】（1）（2）畫圖見詳解（3）【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)解析式，用描點法即可求解；（3）根據(jù)自變量的取值范圍，結(jié)合圖示，即可確定函數(shù)值的取值范圍．【小問1詳解】解：當時，；當時，；當時，，∴，解方程得，∴二次函數(shù)解析式為．【小問2詳解】解：二次函數(shù)解析式為，圖像如圖所示，函數(shù)與軸的交點是，，與軸的交點是，對稱軸為，符合題意．【小問3詳解】解：當時，根據(jù)（2）中圖示可知，當時，；當當時，；當時，．∴當時，．【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式畫函數(shù)圖形，根據(jù)函數(shù)自變量求函數(shù)取值范圍，掌握待定系數(shù)法解二次函數(shù)解析式，函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22.【答案】（1）作圖見解析（2）點的坐標（3）【分析】本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換、坐標與圖形、網(wǎng)格中求三角形面積等，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)．（1）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出，，的對應(yīng)點，，即可；（2）由（1）中的作圖，根據(jù)點的位置寫出坐標即可；（3）利用網(wǎng)格求三角形面積即可得到答案．【小問1詳解】解：如圖所示：即為所求；【小問2詳解】解：由（1）可知，點的坐標；【小問3詳解】解：如圖所示：．23.【答案】（1），（2）或【分析】（1）先把代入得到，再把代入可求出，然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式；（2）觀察函數(shù)圖象得到當或時，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象下方，即使．【小問1詳解】把代入得到，所以反比例函數(shù)解析式為，把代入得，解得，把和代入得，解得．所以一次函數(shù)的解析式為；【小問2詳解】與函數(shù)圖象如圖，當或時，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象下方，此時，故答案為：或．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標滿足兩函數(shù)的解析式．也考查了觀察函數(shù)圖象的能力以及用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式．24.【答案】（1）②（2）【分析】（1）仿照閱讀材料構(gòu)造圖形，即可判斷出構(gòu)圖方法；（2）仿照閱讀材料構(gòu)造大正方形面積是，其中四個全等的小矩形面積分別為，中間的小正方形面積為，即可解決問題.【小問1詳解】∵應(yīng)構(gòu)造面積是的大正方形，其中四個全等的小矩形面積分別為，中間的小正方形面積為,∴大正方形的面積又可表示為，∴大正方形的邊長為，所以，故正確構(gòu)圖②，故答案為:②;【小問2詳解】首先構(gòu)造了如圖所示的圖形，圖中的大正方形面積是，其中四個全等的小矩形面積分別為，中間的小正方形面積為，所以大正方形的面積又可表示為，進一步可知大正方形的邊長為，所以，解得【點睛】本題是材料閱讀題，考查了構(gòu)造圖形解一元二次方程，關(guān)鍵是讀懂材料中提供的構(gòu)圖方法，并能正確構(gòu)圖解一元二次方程，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.25.【答案】（1）（2）運動員投籃時站在三分線內(nèi)，理由見詳解【分析】（1）根據(jù)球員投球時的數(shù)量關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)題意建立平面直角坐標系，可得頂點坐標為，設(shè)拋物線的解析式為，且拋物線過，運用待定系數(shù)法即可求解拋物線解析式，當投球高度為米可算運動員與藍框的距離，由此即可求解；本題主要考查二次函數(shù)的實際運用，理解題目中數(shù)量關(guān)系，掌握頂點式解實際問題的方法是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】解：∵一名米的運動員，當跳離地面的高度米時，球在頭頂上方米處出手，∴籃球出手處距離地面的高度是（米），故答案為：．【小問2詳解】解：根據(jù)題意建立平面直角坐標系，如圖所示，∵球與籃框的水平距離為米時，達到最大高度米，∴投球的拋物線的頂點坐標為，設(shè)拋物線的解析式為，已知籃框中心到地面的距離為米，即拋物線過，∴，解得，，∴拋物線的解析式為，由（1）可知，球的出手高度為米，即，∴，解得，，（不符合題意，舍去），∵，∴運動員投籃時站在三分線內(nèi)．26.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）先將拋物線的一般式化為頂點式，得出頂點坐標即可；（2）根據(jù)時，拋物線的開口向上，且對稱軸為直線，離對稱軸越遠函數(shù)值越大，據(jù)此求解即可；（3）由可得拋物線開口向下時，才可能存在符合條件的m值存在，根據(jù)拋物線的對稱軸為直線，離對稱軸越遠函數(shù)值越小進行求解即可．【小問1詳解】解：∵，∴該拋物線的頂點坐標為：．【小問2詳解】解：時，拋物線的開口向上，且對稱軸為直線，∴離對稱軸越遠函數(shù)值越大，∴要使，則，∴此時k的取值范圍是；綜上分析可知，k的取值范圍是．【小問3詳解】解：∵拋物線解析式為，∴拋物線對稱軸為直線，頂點坐標為，當時，拋物線開口向上，則拋物線此時有最小值，不可能滿足；當時，