試題試題2024北京五中分校初三10月月考數(shù)學(xué)考生須知：1．本試卷滿分100分，考試時(shí)間100分鐘．2．在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫班級(jí)、姓名和學(xué)號(hào)．3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效．4．在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其它試題用黑色字跡簽字筆作答．5．考試結(jié)束，將答題卡交回．一、選擇題（本題共16分，每小題2分）1.下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.2.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.3.下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（）A.隨的增大而減小 B.當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大C.當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大 D.當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小4.如圖，是的中位線，若的面積為1，則四邊形的面積為（）A.4 B.3 C.2 D.15.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線先向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線是（）A. B. C. D.6.某藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由56元降為31.5元，已知兩次降價(jià)的百分比相同，設(shè)為x，那么根據(jù)題意可以列方程為（）A. B.C. D.7.已知：二次函數(shù)的圖象上部分對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)如下表，m的值為（）A. B. C. D.8.如圖，拋物線（）經(jīng)過(guò)點(diǎn)．下面有四個(gè)結(jié)論：①；②：③；④關(guān)于x的不等式的解集為或．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①② B.②③ C.③④ D.②③④二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.方程的解是____．10.若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的值為___________．11.二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為______．12.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)，在拋物線上，則___（填“”，“”或“”）．13.如圖，一次函數(shù)y=kx+bk≠0與二次函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)，．則關(guān)于的方程的解為______．14.如圖，在中，，，，，則的長(zhǎng)為__________．15.已知：如圖，在中，，以為邊向形外作等邊三角形，把繞著點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到，若，，的長(zhǎng)為___________．16.已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，則的最小值是__________．三、解答題（共68分，第17題6分，其中每小題3分，第18-23題，每題5分，第24-26題，每題6分，第27題7分，第28題7分）17.解方程：（1）．（2）．18.已知實(shí)數(shù)是的根，不解方程，求的值．19.已知二次函數(shù)．（1）將其化為的形式為_______________；（2）在所給的平面直角坐標(biāo)系中，畫出它的圖象；（3）拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為_______________；（4）時(shí)，y的取值范圍是_______________．20.已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為3，求的值．21.如圖，繞某點(diǎn)按一定方向旋轉(zhuǎn)一定角度后得到，點(diǎn)A，B，C分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，．（1）在圖中畫出；（2）是以點(diǎn)______（填“”，“”或“”）為旋轉(zhuǎn)中心，將______時(shí)針旋轉(zhuǎn)______度得到的．22.如圖，在菱形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)B，C兩點(diǎn)分別作AC，BD的平行線，相交于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形BOCE是矩形；（2）連接EO交BC于點(diǎn)F，連接AF，若∠ABC=60°，AB=2，求AF的長(zhǎng)．23.已知二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表所示：x…0124…y…8303…（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）直接寫出當(dāng)時(shí)，x的取值范圍．24.如圖，A是直線上一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．25.如圖1，灌溉車為公路綠化帶草坪澆水，圖2是灌溉車澆水操作時(shí)的截面圖．現(xiàn)將灌溉車噴出水的上、下邊緣線近似地看作平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象．已知噴水口H離地豎直高度為，草坪水平寬度，豎直高度忽略不計(jì).上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為，高出噴水口，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，設(shè)灌溉車到草坪的距離為d（單位：m）．（1）求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程的長(zhǎng)；（2）下邊緣拋物線落地點(diǎn)B的坐標(biāo)為______；（3）要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)草坪，d的取值范圍為______．26.已知二次函數(shù)（）．（1）求該二次函數(shù)的圖象與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)稱軸．（2）已知點(diǎn)，，，都在該二次函數(shù)圖象上，①請(qǐng)判斷與的大小關(guān)系：_________（用“>”“=”“<”填空）；②若，，，四個(gè)函數(shù)值中有且只有一個(gè)小于零，求a的取值范圍．27.如圖，在中，，，，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，連接．（1）依題意，補(bǔ)全圖形，并證明：；（2）求的度數(shù)；（3）若為線段的中點(diǎn)，連接，請(qǐng)用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．28.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于拋物線和直線給出如下定義：過(guò)拋物線C上一點(diǎn)作垂直于x軸的直線，交直線l于點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)滿足，則稱點(diǎn)是拋物線C的“如意點(diǎn)”，點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P與拋物線C的“稱心點(diǎn)”．（1）若，①在點(diǎn)，，，中，拋物線C的“如意點(diǎn)”是______；②若點(diǎn)D是拋物線C的“如意點(diǎn)”，點(diǎn)E是點(diǎn)D與拋物線C的“稱心點(diǎn)”，直接寫出的最大值______；（2）若邊長(zhǎng)為的正方形邊上的點(diǎn)都是拋物線C的“如意點(diǎn)”或某點(diǎn)與拋物線C的“稱心點(diǎn)”，直接寫出b的最小值______．

參考答案一、選擇題（本題共16分，每小題2分）1.【答案】C【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形，根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可，如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心．掌握中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的判斷是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；B、不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；C、既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故符合題意；D、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；故選：C．2.【答案】D【分析】本題考查了求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；把解析式配方即可．【詳解】解：，即拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；故選：D．3.【答案】B【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，要牢記解析式中的系數(shù)和圖象性質(zhì)的關(guān)系．根據(jù)二次項(xiàng)的系數(shù)確定開口方向，再根據(jù)對(duì)稱軸確定增減性．【詳解】解：由題意得，圖象開口向上，對(duì)稱軸為軸，當(dāng)時(shí)，隨增大而減小，A、C選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，B選項(xiàng)說(shuō)法正確，D選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，故選：B．4.【答案】B【分析】先證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，即可求出四邊形的面積．【詳解】解∶∵是的中位線，∴，，∴，∴，又的面積為1，∴，∴．故選∶B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5.【答案】D【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，并用規(guī)律求函數(shù)解析式．【詳解】將拋物線先向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線是．故選：D．6.【答案】C【分析】此題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，正確理解百分率問題的應(yīng)用題的解題方法是解題的關(guān)鍵．設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)每瓶零售價(jià)由56元降為31.5元列方程即可．【詳解】設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意得，．故選：C．7.【答案】D【分析】此題主要考查了二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知，拋物線的對(duì)稱軸為，由拋物線的對(duì)稱性可知，時(shí)的值與時(shí)的值相等，即可求解．【詳解】解：由表格可知，當(dāng)，，當(dāng)，，由拋物線的對(duì)稱性可知，拋物線的對(duì)稱軸為，∴時(shí)的值與時(shí)的值相等，∴時(shí)的值為，即的值為，故選：D．8.【答案】B【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及與一次函數(shù)的解集，根據(jù)圖像開口可得①錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱軸可判斷②正確；由時(shí)，，即可判斷③正確；利用二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像位置關(guān)系可判斷④正確．【詳解】解：①∵拋物線開口向下，∴，則①錯(cuò)誤．②∵拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，且與x軸的交點(diǎn)一個(gè)為另外一個(gè)在2到3之間，∴，∵∴，∴，則②正確．③由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，∴，則③正確．④，可變式為，令，∵一次函數(shù)，過(guò)點(diǎn)和，則一次函數(shù)與拋物線圖象如圖，的解集為．則④錯(cuò)誤．綜上所述，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是②③．故選：B．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.【答案】，【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本題的關(guān)鍵．把方程化為，再利用因式分解的方法解方程即可．【詳解】解：∵，，，或，解得：．故答案為：，．10.【答案】【分析】本題主要考查了根的判別式判斷根的情況，解決此題的關(guān)鍵是熟記判別式公式，根據(jù)判別式得到關(guān)于c的不等式求出答案即可．【詳解】，解得：．故答案為：4．11.【答案】【分析】令，求得的值即可.【詳解】令，得，

∴二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)，正確計(jì)算是解答此題的關(guān)鍵．12.【答案】【分析】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征，解題的關(guān)鍵是把的值代入二次函數(shù)解析式，求出對(duì)應(yīng)的值再比較即可．【詳解】點(diǎn)，在拋物線上，；，；故答案為：．13.【答案】【分析】本題考查了函數(shù)圖象與方程的關(guān)系，方程的解就是兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵方程的解就是二次函數(shù)與一次函數(shù)兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∵一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，．∴的解為；故答案為：．14.【答案】####4.5【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明．證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，，，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，即，解得．故答案為：．15.【答案】5【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和為．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證為等邊三角形，證，．又證A、C、E三點(diǎn)共線，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：∵是把繞著點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到的，∴，，∴為等邊三角形，∵是把繞著點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到的，∴，．∵為等邊三角形，∴．∵，∴，∴，即A、C、E三點(diǎn)共線，∵為等邊三角形，∴．故答案為：5．16.【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性和增減性，根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸以及對(duì)稱軸公式確定，即可得到，由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)得到，結(jié)合即可確定的最小值．【詳解】解：∵拋物線，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，∴點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，，∴，即，∴，∴，∵，，∴時(shí)，t有最小值為：．故答案為：．三、解答題（共68分，第17題6分，其中每小題3分，第18-23題，每題5分，第24-26題，每題6分，第27題7分，第28題7分）17.【答案】（1），（2），【分析】本題考查解一元二次方程（1）根據(jù)題意利用公式法求兩個(gè)解．（2）根據(jù)題意利用十字相乘法求兩個(gè)解．【小問1詳解】解：（1），由于，，，，【小問2詳解】解：（2），，，，，18.【答案】【分析】本題主要考查一元二次方程的解，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，完全平方公式和合并同類項(xiàng)，根據(jù)方程的解的概念求得，根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，完全平方公式和合并同類項(xiàng)法則化簡(jiǎn)代數(shù)式，然后整體代入即可，熟練掌握運(yùn)算法則和正確理解整體代入思想是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵實(shí)數(shù)是的根，∴，即，由，，，∵，∴原式，．19.【答案】（1）（2）圖象見詳解（3）（4）【分析】對(duì)于（1），根據(jù)完全平方公式配成頂點(diǎn)式即可；對(duì)于（2），根據(jù)二次函數(shù)圖象的畫法：列表，描點(diǎn)，連線即可；對(duì)于（3），令，求出x的值，即可得到答案；對(duì)于（4），根據(jù)二次函數(shù)圖象先求出當(dāng)時(shí)，有最小值，再根據(jù)距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，y值越大，求出即可．【小問1詳解】解：.故答案為：；【小問2詳解】如圖所示；【小問3詳解】令時(shí)，，解得：，∴拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：；【小問4詳解】由（1）可知，∴當(dāng)時(shí)，y有最小值為.∵，距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)越大，當(dāng)是，y有最大值為5．所以y的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，二次函數(shù)的畫法，求二次函數(shù)最值，解決此題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象的性質(zhì)．20.【答案】（1）見解析（2）【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的判別式，解一元二次方程的一般方法．（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行判斷即可；（2）先解方程得出，根據(jù)該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為3，得出，求出m的值即可．【小問1詳解】證明：，，，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．【小問2詳解】解：原方程可化為，，（也可用求根公式求出兩根），，該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為3，．．21.【答案】（1）見詳解（2），順，90．【分析】本題考查作圖?旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．（1）根據(jù)圖中的的位置，得是以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到的．（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)判斷即可．【小問1詳解】解：如圖，即為所求；【小問2詳解】解：是以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到的．故答案為：，順，90．22.【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形BOCE是平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出∠BOC=90°，再根據(jù)矩形的判定得出即可；（2）根據(jù)菱形和等邊三角形的性質(zhì)求出BF=AB=1，根據(jù)勾股定理求出AF．【詳解】解：（1）∵BE∥AC，EC∥BD，∴四邊形BOCE是平行四邊形．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∴∠BOC=90°．∴四邊形BOCE是矩形．（2）∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形．∵四邊形BOCE是矩形，∴BF=BC=AB=1．∴∠AFB=90°．∴AF=．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定，平行四邊形的判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)的性質(zhì)定理正確推理計(jì)算是解題關(guān)鍵．23.【答案】（1），（2）或【分析】本題考查了待定系數(shù)法，圖象法求自變量取值范圍；（1）將，；，；，代入解析式，再根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)圖象即可求解；掌握待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合法是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】解：由表格得當(dāng)，時(shí)；當(dāng)，時(shí)；當(dāng)，時(shí)；，解得：，，當(dāng)時(shí)，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；故二次函數(shù)的解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)；【小問2詳解】解：當(dāng)時(shí)，，解得：，，由圖象得：當(dāng)時(shí)，或時(shí)，故當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或．24.【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）分別證明，即可得出結(jié)論；（2）先由勾股定理求出，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再代入相關(guān)數(shù)值即可得出結(jié)論．【小問1詳解】∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，∴【小問2詳解】在中，，由勾股定理得，，∵，∴，∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，證明是解答本題的關(guān)鍵．25.【答案】（1）噴出水的最大射程為（2）（3）【分析】本題是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與方程的關(guān)系等知識(shí)，讀懂題意，建立二次函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵．（1）由頂點(diǎn)得，設(shè)，再根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)，可得a的值，從而解決問題；（2）由對(duì)稱軸知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)以及草坪寬度可得結(jié)論．【小問1詳解】解：由題意得是上邊緣拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)，又∵拋物線過(guò)點(diǎn)，∴∴，∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得（舍去），∴噴出水的最大射程為；【小問2詳解】解：∵對(duì)稱軸為直線，∴點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，故答案為：；【小問3詳解】解：∵，，，，，，，∴要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)草坪，d的取值范圍為，故答案為：．26.【答案】（1），．（2）①=②【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)對(duì)稱軸公式和y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求得；（2）①根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象即可；②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，要把a(bǔ)分情況討論，再根據(jù)y與x的關(guān)系得到答案即可．【小問1詳解】解：∵二次函數(shù)，∴令時(shí)，，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，∴二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為0,3，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線；【小問2詳解】解：①∵函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，∴點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴．故答案為：；②由上可知，∴只需要比較、、，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，∵距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)就越大，∴y4>而，∴此種情況舍去；當(dāng)時(shí)，∵距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)越小，∴，則必有y4得出不等式，解得：．27.【答案】（1）畫圖和證明見解析；（2）135°（3），證明見解析．【分析】（1）先根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)的圖形，只需要利用證明即可證明；（2）連接，如圖所示．先由等腰直角三角形的性質(zhì)得到再證明由全等三角形的性質(zhì)得到．則可以推出，利用三角形內(nèi)角和定理即可得到；（3）如圖所示，延長(zhǎng)至K，使得，連接．證明．得到，，則．進(jìn)一步證明．得到．由此證明，得到．在等腰直角中，，則，即可證明．【小問1詳解】補(bǔ)全圖形，如圖所示．證明：∵線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，∴∵，∴，∵，∴∴；【小問2詳解】解：連接，如圖所示．由（1）可得是等腰直角三角形，∴∴∵∴由可得．∴．∴；【小問3詳解】解；，理由如下：如圖所示，延長(zhǎng)至K，使得，連接．∵為線段的中點(diǎn)，∴．∵，∴．∴，．∴，．∴．∵，∴．∵，∴．由可得，∴，∵，∴．∴．∵在等腰直角中，，∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．28.【答案】（1）①；②；（2）【分析】（1）①分別求出當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值，再根據(jù)“如意點(diǎn)”的定義判斷即可；②根據(jù)題意可得點(diǎn)E和點(diǎn)D關(guān)于直線對(duì)稱，則當(dāng)點(diǎn)D到直線的距離最大時(shí)，有最大值，根據(jù)“如意點(diǎn)”的定義可知，拋物線與直線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)的所有點(diǎn)到時(shí)拋物線C的如意點(diǎn)，則當(dāng)平行于直線的直線與拋物線恰好有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，且當(dāng)點(diǎn)D與該交點(diǎn)重合時(shí)滿足題意，據(jù)此求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)D到直線的距離即可得到答案；（2）由（1）可得，拋物線C的“如意點(diǎn)”組成的區(qū)域即為