PAGEPAGE1/專(zhuān) 數(shù)1（2025·全國(guó)二卷·高考真題）記Sn為等差數(shù)列annS36S55S6（

2（2025·

3（2025· 4（2025·

10n9b2n cnan(1)bn.若對(duì)任意的0,1an、bn、cn的值均能構(gòu)成三角形，則滿(mǎn)足條件的正整數(shù)n有（A．4 B．3 C．1 5（2025·則（A．q

B．a(chǎn) C．S5 D．a(chǎn)nSn6（2025· 7（2025· 8（2025·全國(guó)一卷·高考真題）設(shè)數(shù)列a滿(mǎn)足a3，an1an

n

n(n f(x)axax2

axmf(2)9（2025·求an，bnnN*I0,1，有Tnp1a1b1p2a2b2pn1an1bn1pnanbn|p1p2pn1pnI求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)tTn，均有tan1bn1求Tn1（2025·陜西漢中·三模）已知等差數(shù)列annSn，若a4a712S10（ 2（2025·江蘇南通·三模）在等比數(shù)列ana5a6a78a2a620，則a4（

3（2025·為（）

4（2025·山西呂梁·三模）已知等差數(shù)列a的公差d0a1a2a9，則d（ 5（2025·遼寧大連·三模）已知正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為SnS42S3S26a21，則a5（ 6（2025·湖南岳陽(yáng)·三模）Sn為正項(xiàng)等比數(shù)列anna3a5a7a4a8S37，則a1（ 7（2025·41個(gè)月，逐步將男職工的法定退休年齡從原六十周歲延遲至六十19651月－419655月－819659月－1219661月－460歲160歲260歲360歲419705月出生的男職工退休年齡為（A．61歲4個(gè) B．61歲5個(gè)C．61歲6個(gè) D．61歲7個(gè)1an 8（2025·

1,n

，則a11（

9（2025· （

10（2025·江蘇蘇州·三模）已知數(shù)列a滿(mǎn)足a1an111a，則（

B．a(chǎn) C．1013a2025 D．2025a202511（2025·重慶·三模）數(shù)列an滿(mǎn)足an3anan1an2n1，nN又a11，a21，a32則（A．a(chǎn)2024C．a(chǎn)2025

B．a(chǎn)2024D．a(chǎn)202512（2025·,偶數(shù)時(shí)，都有aj2ai恒成立，且S20S10的最小值為（【公眾號(hào)：林樾數(shù)學(xué)】 13（2025· an1且a2，則下列說(shuō)法正確的是（A．a(chǎn)

an

1nD．?dāng)?shù)列a的通項(xiàng)公式為a7 14（2025·A．a(chǎn)1B．a(chǎn)的前nnn Ca 8項(xiàng)和為nn115（2025·廣東茂名·二模）等差數(shù)列ana2a312a5a72．記數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，下列選項(xiàng)正確的是（） B．Sn取最小值時(shí)，nC．S4

π16（2025·

n

項(xiàng)和為n，ansinnπ

2an1n.

a2+17（2025· apn，則下列結(jié)論正確的 若a是遞增數(shù)列，且3a、4a、5app

a

a51

3，且

2n是遞減數(shù)列，則

p1，則存在數(shù)列a，使得當(dāng)n4kkN*S p1，則存在數(shù)列a，使得當(dāng)n4k1kN*S 18（2025· 19（2025·河南許昌·三模）設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a2a13，a3a26，則S3 20（2025·北京·三模）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足a11，2Sn3an13.則S2 Sn5的最小的整數(shù)n 21（2025·浙江·二模）已知數(shù)列an和bn滿(mǎn)足a11b104an13anbn44bn13bnan4anbn 22（2025·天津·二模）數(shù)列an121，在第k1和第k11之間有2k S2025 23（2025·遼寧大連·三模）等差數(shù)列a的前n項(xiàng)和為SSnSn1，且aa0S取最大值時(shí) n 6 24（2025·為有界數(shù)列.設(shè)數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S，滿(mǎn)足a

，若S為有界數(shù)列，則實(shí)數(shù)M

n24n 25（2025·nnN*且與n互素的正整數(shù)個(gè)數(shù)，若數(shù)列a滿(mǎn)足a2n，且數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S，則滿(mǎn)足Sn2025 26（2025·是“n項(xiàng)優(yōu)待數(shù)列”.若等差數(shù)列bn是“2k1項(xiàng)優(yōu)待數(shù)列”，kN*，則bn 27（2025·28（2025·

32n求數(shù)列an的前nSn

令bna1)n，求數(shù)列bn29（2025·求an若數(shù)列bn滿(mǎn)足bn

an

PAGEPAGE6/30（2025·an1an12an3設(shè)bnan1an，求證：數(shù)列bn

1若cn3an3n2，求cn項(xiàng)和Tnn31（2025·

4,anSn2

設(shè)bn5a，若nN*4m2m2bm 32（2025·4b22b3b4成等差數(shù)列.求數(shù)列an和bn4項(xiàng)并求tn的前2nS2n33（2025· 若bn1，2，4，8，12，寫(xiě)出集合AA若數(shù)列bn項(xiàng)數(shù)為r，滿(mǎn)足bn1bnn12,r1，求證：“Ar1”的充要條件是“bn為等比數(shù)列34（2025·天津·三模）已知數(shù)列an和bn的滿(mǎn)足a14,b12an12anbn2,bn12bnan2(1)（i）求a4b4（ii（ii）求(ab的值 (2)若數(shù)列c滿(mǎn)足對(duì)于nN*bcamN*，使得ci2025

PAGEPAGE7/ 35（2025·山東臨沂·三模）定義：若數(shù)列a滿(mǎn)足ana 若a13nb2n3，判斷數(shù)列a，b是否為“數(shù)項(xiàng)增數(shù)列 36（2025·天津·二模）已知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a12a2a464.對(duì)于任意kN*，列，記新得到的數(shù)列為bn.記cnbn1bn，證明對(duì)于任意的nN*cncn1

n(nk

（其中nN*PAGEPAGE10/專(zhuān) 數(shù)1（2025·全國(guó)二卷·高考真題）記Sn為等差數(shù)列annS36S55S6（

S66a115d6515315d5a110d a13d數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可計(jì)算求解.2（2025·

所以所以a10a19d29216d 3所以 aa，即2 22d25d，解得d2 0（舍去【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為dd0，因?yàn)閍3,a4,a6成等比數(shù)列，且a12，3（2025·nn的前12項(xiàng)和為（ =n8n所以當(dāng)n1S=181 7a2n90na2n90na2n90nS484T2na1a2a12a1a2a3a4a5a62SS21612281280 當(dāng)n2aS =8nn18n 2na17a2n9n cnan(1)bn.若對(duì)任意的0,1an、bn、cn的值均能構(gòu)成三角形，則滿(mǎn)足條件的正整數(shù)n有（A．4 B．3 C．1 【分析】由cnan(1)bn可知cn范圍，再由三角形三邊關(guān)系可得anbncn的不等關(guān)系，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)解【詳解】由題意an,bncn0A(nanB(nbnC(ncn三點(diǎn)均在第一象限內(nèi)，由cnan(1)bnBCBA,0,1，故點(diǎn)CAB上，則有minanbncnmaxanbnanbn.令10x92xf(x2x10x9x0，則f(x)2xln210，由fx單調(diào)遞增，f(30,f(40x034f(x00即當(dāng)0xx0f(x)0f(xxx0f(x)0f(x)單調(diào)遞增；f(x至多2f(10,f(20,f(50,f(60f(x存在2x1x2(x1x2x1(12x2(56①若anbn，即10n92n時(shí)，此時(shí)n1或n6則ancnbn，可知bncnan成立，要使an、bn、cn的值均能構(gòu)成三角形，綜上可知，正整數(shù)綜上可知，正整數(shù)n的個(gè)數(shù)有3個(gè)n1，解得n4或510n910n9所以有②若anbn，即10n92n時(shí)，此時(shí)n2345則ancnbn，可知ancnbn要使an、bn、cn的值均能構(gòu)成三角形，所以bncnan恒成立，故an2bn，，解得n622(10n10n9所以ancnbn恒成立，故bn2an5（2025·則（q

a S5 D．a(chǎn)nSn8D1 321C1nDa1412223nSn 18n3則anSn8qA，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式得到方程組，解出a1q，再利用其通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)A，由題意得aq2a1 a1，結(jié)合q0，解得 aaqaqq1 1（舍去，故A正確 B，則aaq441 2BCSa1 4116（2025· 【答案】【答案】S6a65d12 7（2025· 11 117法二：設(shè)該等比數(shù)列為anSn是其前n項(xiàng)和，則S44S868，設(shè)an的公比為qq0，S4a1a2a3a44S8a1a2a3a4a5a6a7aaaaaq4aq4aq4a aaa 1 所以41q468，則1q417，所以q2，所以該等比數(shù)列公比為2.【答案】【分析】法一：利用等比數(shù)列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的定義，得到關(guān)于q的方程，解之即可得解；法三：利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)得到關(guān)于q的方程，解之即可【詳解】法一：設(shè)該等比數(shù)列為anSn是其前nS44S868，設(shè)an的公比為qq0，當(dāng)q1S44a14，即a11S88a1868當(dāng)q1Sa1 a1 1 則1q417，所以q2，所以該等比數(shù)列公比為2.14,S168所以該等比數(shù)列公比為所以該等比數(shù)列公比為216，所以q2qS8S4S4a1a2a3a44 SSaaaaaaaaq684法三：設(shè)該等比數(shù)列為anSn是其前n項(xiàng)和，則S44S868設(shè)an的公比為qq08（2025·全國(guó)一卷·高考真題）設(shè)數(shù)列a滿(mǎn)足a3，an1an

n

n(n f(x)axax2

axmf(2na31n1，即a12fxaxaxa fx3x2x 2 m ， x34xm2 在數(shù)列(2)f2 3m7 n1nn1化簡(jiǎn)，即可證明結(jié)論【公眾號(hào)：林樾數(shù)學(xué) n1an1nan1，即n1an1nan∴nan是以a13為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列a nan ，nnm21∴f212 212m22m121 m22m1 3mfx34xm2 x3x4xm2 1x∴1xfx3xx2xm1m2xm31m2xm19（2025·求an，bnnN*I0,1，有Tnp1a1b1p2a2b2pn1an1bn1pnanbn|p1p2pn1pnI求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)tTn，均有tan1bn1求Tn3n1,b（ii）（2（i）（ii）p1p2pn1pn101、20其余為、…0幾個(gè)情況將法二：根據(jù)Tn元素的特征得到Tn中的所有元素的和中各項(xiàng)aibii12n出現(xiàn)的次數(shù)均為2n1次即可求則由題得2d2q1d322d2q q 所以an23n13n1bn22n12n（2（i）證明：由（1）pab3n12np0或pab3n12n0，a 3n22n1nn pnanbn3n12n0

nn

n1Snp1a1b1p2a2b2pn1an1bn1pnanbn225223n42n13n12n所以2S2225233n42n3n12n1所以

Sn432

2

...

3n1

2 n1 21 1 21

843n

n1Sn83n42n1，為T(mén)所以對(duì)tTn，均有tan1bn1（ii）法一：由（i）Sn83n42n1，為T(mén)由題意可得Tnp1,p2,...,pn1,pn1Sn83n42n1即C0p1,p2,...,pn1,pn01Sna1b1,Sna2b2Sna3b3Snanbn共有C112n 則這n個(gè)元素的和為C1SabababC112n p1,p2,...,pn1,pn201Sababi,j12nij共有C2 i j 1 n 則這n個(gè)元素的和為C2SC1abababC1 n p1,p2,...,pn1,pn中有201Sabababi,jk12nijk共有C3 i j k 則這n個(gè)元素的和為C3SC2abababC3C2Sn

1 2

n 當(dāng)p,p,..., ,p中有n1個(gè)為0，1個(gè)為1時(shí)：此時(shí)該系列的元素為ab,ab,...,ab共有Cn1個(gè) 112 n 1n 則這n個(gè)元素的和為Cn1SCn2abababCn1 1n 當(dāng)p,p,..., ,p均為0時(shí)：此時(shí)該系列的元素為0CnCn1S即 SC11SC2C1SC3C2S...Cn1Cn TnSn,Snaibi,Snaibiajbj,Snaibiajbjakbk,...,aibiajbj,aibi,0,i,j,k1,2,...,n,ijkCn2Cn12n1 iabi1,2,...,所以T的所有的元素的和中各 所以T abab1 2a n CC... C C...C n n2 n 2n1法二：由（i）得83n，為T(mén)1（2025·陜西漢中·三模）已知等差數(shù)列annSn，若a4a712S10（ S10【詳解】因?yàn)閍S10(a1a10)5(aa60 2（2025·江蘇南通·三模）在等比數(shù)列ana5a6a78a2a620，則a4（

a4a2a66，由于a20故a40，所以a46a8，a2，a56 中aa3（2025·為（）

d則設(shè)數(shù)列a1、a2、a3、a4、a5 d則設(shè)數(shù)列a1、a2、a3、a4、a5的公差為d5a，解得2a1d3a1d1，故a5a14d3463 【分析】設(shè)第n1n5,n所得錢(qián)數(shù)為錢(qián)，設(shè)數(shù)列a、、、、的公差為d可得出關(guān)于a1、d的值，即可求得a5的值【詳解】設(shè)第n1n5,n所得錢(qián)數(shù)為錢(qián)，則數(shù)列a、、、、

9，則d（ 則則12dd212d9d29，解得d3或d3因?yàn)橐阎頳>0d3，得到d9(1d)12d9a 代入a1a1【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，將a2、a3用a1和d表示出來(lái)，再代入已知等式求解d【詳解】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式ana1n1)da2a1d，已知a11，所以a21da3a12d12d.5（2025·遼寧大連·三模）已知正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為SnS42S3S26a21，則a5（ SnSn1an，再結(jié)合等比數(shù)列基本量運(yùn)算計(jì)算求解S42S3S26a21S4S3S3S26，所以a4a36，因?yàn)閍21，所以q2q6,q0所以q3或q2所以13276（2025·湖南岳陽(yáng)·三模）Sn為正項(xiàng)等比數(shù)列anna3a5a7a4a8S37，則a1（ S11a1q 1qq2 17 q2q3（舍去，故a1q24【分析】等比數(shù)列的性質(zhì)可得a，即a q的一元二次方程，解出公比即得a1的值【詳解】由題意，設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為q，其中q0aaa5 4a1q1qaaq1aq2若q1S33a13qa1 7（2025·41個(gè)月，逐步將男職工的法定退休年齡從原六十周歲延遲至六十19651月－419655月－819659月－1219661月－460歲160歲260歲360歲419705月出生的男職工退休年齡為（A．61歲4個(gè) B．61歲5個(gè)C．61歲6個(gè) D．61歲7個(gè)19651月－4a119655月－8月的人的法定退休年齡記為a219659月－12月的人的法定退休年齡記為a3，分析可知數(shù)列an構(gòu)成等差數(shù)列，求出該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求出a1719651月－4a1，19655月－8月的人的法定退休年齡記為a2，19659月－12月的人的法定退休年齡記為a3則an構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)a160歲1個(gè)月，公差d1個(gè)月，可得an60歲n即他的退休年齡為a1760歲17個(gè)月61歲560歲60歲260歲560歲860歲11個(gè)61歲261歲5 8（2025·

1,n

，則a11（

則 1(1)n， ( ，所以當(dāng)n6a11)633 因此數(shù)列 1}是以1為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列 1，而a1111 1，則1 1 【分析】根據(jù)給定的遞推公式求出a2n1即可求解 9（2025· （

n項(xiàng)和的關(guān)系，分別令n2027n2026當(dāng)n2027a2027a2027a20261，解得a20261，當(dāng)n2026a2026a2026a20251，解得a20253.n兩式相減可得an(a(1)1n (1)則當(dāng)n2n nn【詳解】數(shù)列ann項(xiàng)和是SnSn10（2025·

1an111a，則（

a 1013a2025 D．2025a2025 na a20，則a n，AB，由a1，得a1，當(dāng)n3a1，BCD 21 1 1 12n2 a(2a1 1 n n ，則當(dāng)n22 1 1 1 2 2 2 1=1，因此1n1，a n10132120252202521，C正確，D錯(cuò)誤11（2025·重慶·三模）數(shù)列an滿(mǎn)足an3anan1an2n1，nN又a11，a21，a32則（A．a(chǎn)2024C．a(chǎn)2025

B．a(chǎn)2024D．a(chǎn)2025為1公差為1的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【公眾號(hào)：林樾數(shù)學(xué)】【詳解】因?yàn)閿?shù)列{an}滿(mǎn)足an3anan1an2n1,nN，且a11a21a32，所以a4a1a2a31120；220241010ABa5a2a3a41203a6a3a4a52031；a7a4a5a603(1)4；a8a5a6a73(1)42a9a6a7a81425；a10a7a8a94253；a11a8a9a102536；a12a9a10a115364； 令n2k，則kn，通項(xiàng)公式為a 1k112k2n，通項(xiàng)公式為a2na21a40a61a82a103a124111k11kn1 2k令n2k1，則kn1，通項(xiàng)公式為a12（2025·,偶數(shù)時(shí)，都有aj2ai恒成立，且S20S10的最小值為（） a8a9a10a10的最小值2a2，進(jìn)而求得a11S10有最小值，即可求解S2a1a20，所以a1a2互為相反數(shù)，不妨設(shè)a10a20，S10取最小值，取奇數(shù)項(xiàng)為正值，取偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)值，且各項(xiàng)盡可能小，a3滿(mǎn)足a32a1，取a3的最小值為2a1，則a2a ，因?yàn)閍04a2a，故取a的最小值4a a滿(mǎn)足a2aa7 a2a4a，因?yàn)閍08a4a2a，故取a的最小值8a a2a4aa滿(mǎn)足a2aa8 ，因?yàn)閍0，所以2a4a8a，取a的最小值2a 同理，取a10的最小值2a2，所以a2a4a6a8a10a22a22a22a22a29a2，S1031a19a231a19a122a1， ，因?yàn)閍0，所以2a4a，取a的最小值2a a2a同理，取a9的最小值16a1，所以a1a3a5a7a9a12a14a18a116a131a1a4滿(mǎn)足a42a2，取a4的最小值2a213（2025· an1且a2，則下列說(shuō)法正確的是（a

an

1n數(shù)列a的通項(xiàng)公式為a7 1a an2的等差數(shù)列，B錯(cuò)誤，C1 a ，則an13n1，解得an3n1，D正確7aaa ,aaa 2(a a，Aa BC，由12an2，得 an3(an1)211 ，a 2a14（2025·a1 a 8項(xiàng)和為nn1AB，利用裂項(xiàng)相CD.a,a,13成等比數(shù)列，所以a1 a，即aa6a2 an的前項(xiàng)和為 n BCann1n2n1n2 所以a nn18 9 2 C n n50項(xiàng)和為345505125D正確15（2025·廣東茂名·二模）等差數(shù)列ana2a312a5a72．記數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，下列選項(xiàng)正確的是（） B．Sn取最小值時(shí)，nC．S4

解得d2A則當(dāng)n5Sn取最小值25B9nnn12n210nn5225Ba92n12n11a1410424，7107 ，則得到，最后一一判斷選項(xiàng)即可 a,dA，設(shè)等差數(shù)列的公差為d2a3d2a10d D，數(shù)列an10975311357950D正確 π16（2025·

項(xiàng)和為n，ansinnπ

an1n.

a2+所以a2na2n12n1a2n1a2n2na2n2所以a2na2n12n1a2n1a2n2na2n2a2n12n1nN，可得a2n1a2n11a2n2a2n4n1，其中a2a11a2a1的值不確定.AS102a1a2a3a5a7a9a99a101a4a6a8a10a100a102，其中a2a1A錯(cuò)誤；BS100a1a2a100a1a3a5a7a97a99a2a4a6a8a98a100，BDa2a100a2a4a6a8a98a100D正確；C選項(xiàng)，因?yàn)閍2n1a2n2n，故a2a3a4a5a102a103，S104a1a3a5a7a101a103a2a4a6a8a102a104則a1a104S104a2a3a4a5a102a103C正確.n，n ，即 1aacosnπ【分析】推導(dǎo)出a2n1a2n11，a2n2a2n4n1，其中a2a11，a2a1的值不確定，然后利用分組求和ABCD選項(xiàng). PAGEPAGE17/若a是遞增數(shù)列，且3a、4a、5app

a

a51

3，且

2n是遞減數(shù)列，則

p1，則存在數(shù)列a，使得當(dāng)n4kkN*S p1，則存在數(shù)列a，使得當(dāng)n4k1kN*S apn；再由3a,4a,5a成等差數(shù)列，a1，列出方程求出p a

值即可得出結(jié)果可判斷A選項(xiàng)先由題中條件得到 推出 再由累加法，即可求出數(shù)列anBan1an1，得到an1an1；討論n或n4k3kN*n4k2或n4k1kN*CD選項(xiàng)A選項(xiàng)，因?yàn)閍n是遞增數(shù)列，所以an1anan1anpn因?yàn)閍11，所以a21pa31pp2又因?yàn)?a1、4a2、5a3成等差數(shù)列，所以8a23a15a3即81p351pp2，即5p23p0p0p3當(dāng)p0時(shí)， a，這與a是遞增數(shù)列相矛盾，所以p3，A對(duì) B選項(xiàng)，因?yàn)閍2n1是遞增數(shù)列，則有a2n1a2n10，于是(a2n1a2n)a2na2n1)0①因?yàn)?1，所以 a 32n

a2na2n101

因此a2na2n13 ，即a2na2n1又因?yàn)閍2n是遞減數(shù)列，則有a2n2a2n0，于是(a2n2a2n1(a2n1a2n)0因?yàn)?1，所以

a2n1a2n01

因此a2n1a2n3

，即a2n1a2n

由③、⑥可得an1an PAGEPAGE18/4k1k當(dāng)n4k2或214k0a4k-4k1kS于是當(dāng)n4k2或an1an1，所以an1an1又因?yàn)閍11為奇數(shù)，則當(dāng)nN*a2n1a2n為偶數(shù)，所以當(dāng)kN*時(shí)，S4k2為奇數(shù)，S4k1為偶數(shù)，S4k24k2S4k14k1S 1(1)即an443n1當(dāng)n1時(shí)，代入上式得a113 51(1(1)1 3(1)n111 于是當(dāng)n2ana1(a2a1(a3a2(an此時(shí)數(shù)列an滿(mǎn)足a4k3a4k11a4k20a4k2S 4k10124k，4k3kCD選項(xiàng)，當(dāng)n4k或an443n1nN*，B18（2025· 【詳解】設(shè)an的公比為qq0，又因?yàn)?a1a34a2成等差數(shù)列，所以2a36a14a2，可得q22q30，解得q3或q1（舍去）.19（2025·河南許昌·三模）設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a2a13，a3a26，則S3 【答案】【答案】，解得，解得q2S21 aaaq1a1q 【詳解】設(shè)等比數(shù)列an公比為q，當(dāng)q1a1a2a3，此時(shí)a2a1020（2025·北京·三模）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足a11，2Sn3an13.則S2 Sn5的最小的整數(shù)n 3ln化簡(jiǎn)得513，兩邊取自然對(duì)數(shù)并整理得，n 32.87，故最小整數(shù)n3151Sn5，則138315.44 35 S當(dāng)n3ln是等比數(shù)列，設(shè)公比為， Saa158q 當(dāng)n1Sa1，則2S3a3，a5【分析】將na2，即可求得S2；根據(jù)a1a2及anSn，進(jìn)而解不【詳解】a112Sn3an135355 1 1a1S 21（2025·浙江·二模）已知數(shù)列an和bn滿(mǎn)足a11b104an13anbn44bn13bnan4anbn 【答案】【答案】2n【詳解】因?yàn)?an13anbn44bn13bnan故anbn12n12n1.22（2025·天津·二模）數(shù)列an121，在第k1和第k11之間有2k S2025 12S2025.2041，2的個(gè)數(shù)為135716所以數(shù)列an20S20416236前k11之間有12k1kk2所以k11和k22的個(gè)數(shù)為k2k1，令k2k12025，滿(mǎn)足條件的最大k為44當(dāng)k44442451981451后面有20251981442，S2025452025452400523（2025·遼寧大連·三模）等差數(shù)列a的前n項(xiàng)和為SSnSn1，且aa0S取最大值時(shí) n 6 所以等差數(shù)列a的前nSnad na d na d 2【分析】設(shè)等差數(shù)列 的公差為d，先證明數(shù)nSn n nSn 及調(diào)遞減，即d0，借 【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為da0,aSn1dn1ad，Sn1Sndn 2 n Sn 所以數(shù)列n2 S因?yàn)閚n1，所以數(shù)列n n nd0，即d0，所以等差數(shù)列a單調(diào)遞減 因?yàn)閿?shù)列SnS11S13n S11a111da5da S13a131da6da，所以aa 因?yàn)榈炔顢?shù)列an單調(diào)遞減，且a6a70，所以a60a70，所以當(dāng)n6Sn取最大值.【公眾號(hào)：林樾數(shù)學(xué)】24（2025·Mxn為有界數(shù)列.設(shè)數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S，滿(mǎn)足a

，若S為有界數(shù)列，則實(shí)數(shù)M

n24n 因?yàn)閍0，故數(shù)列SSS11S52n2n32n 5 2 n n3111, 因?yàn)镾S5M5【詳解】因?yàn)閍 2n nn1nn24n, S11111111112 4 25262n1n ,令2n12025，解得n10nN*n2n112n1S所以1n的最大值2令2n12025，解得n10nN*n2n112n1S所以1n的最大值2【分析根據(jù)定義得an 【詳解】因?yàn)檎紨?shù)與2n不互素，正奇數(shù)與2n所以不大于2n且與2n互素的正整數(shù)為所有不超過(guò)2n 26（2025·是“n項(xiàng)優(yōu)待數(shù)列”.若等差數(shù)列bn是“2k1項(xiàng)優(yōu)待數(shù)列”，kN*，則bn 【答案】 【分析】根據(jù)等差數(shù)列分d0d0兩種情況討論，再結(jié)合等差數(shù)列求和公式計(jì)算求解通項(xiàng)【詳解】設(shè)等差數(shù)列b1b2b3b2k1k1的公差為dd0，則b1b2b3b2k10b1b2b3b2k11所以2k1b1k2k1d0，所以b1kd0，所以bk10，所以bk2d當(dāng)d0時(shí)，由①②，得 1，所以kdkk1d1，即d ，k k

k 2k

kk由 0，得b 0，即b1，所以b

1 n1 ，nN*，n2k1k

kk

k

k

kk

kk 當(dāng)d0時(shí)，同理可得kdkk1d1，即d ，由b 0，得b 0，即b1， kk

k

kk

k n 所以bnk ，nN*，n2k1 kk kk 綜上，b 1.

1 27（2025·b2b464,a2b1,S3T2a（2）因5a（2）因5n12,b或an,b若b38，則b12b24a22，公比為2，公差為若b38，則b12,b24,a22，公比為2，公差為5821 兩式相減得，Ann 2222nn2n122n+1n12n12A=12+222323n2n2A=122223324n2n+1cna（1）因數(shù)列S（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)得出a33S33a2，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)得b38，結(jié)合b22b1可 An1 5n12,b【答案】(1an,b2或S33a2S3T2，則3a2b1b2，又a2b1，得b264，解得b2 為等比數(shù)列，則b因數(shù)列a5a15a1

32n求數(shù)列an的前nSn

令bn

an

1 11 221 所以數(shù)列b的最大項(xiàng)為b9所以當(dāng)1n2時(shí)bn1bn0，當(dāng)n3時(shí)bn1bn<0即b1b2b3b4b52n2n n則bn1bn （3）由（2）可得bna1)n2n111111n 2n12 212n1a所以an1 2【詳解（1）因?yàn)閍 （3）由（2）可得bn2n，利用作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，即可求出最大項(xiàng)1 （2）由（1）可得a2a(3)b 2 所以a212 （2）由（1）可得a2a又a11，所以a1229（2025·河南·三模）已知等差數(shù)列ann項(xiàng)和為Sn，且a3a76S1245求an若數(shù)列bn滿(mǎn)足bn

an

【答案】【答案】(1an n2b2n2,n為偶數(shù)故T20b1b2b3b20b1b3b19b2b4b20412101a1（2）先求出bn，再利用分組求和法求解即可由aa6S45，得2a8d 12a66dn1n 1d 所以a1n11n1 （2）因?yàn)閍nan230（2025·an1an12an3設(shè)bnan1an，求證：數(shù)列bn

1若cn3an3n2，求cn項(xiàng)和Tnn（1）由an1an12an3有an12anan13，所以a32a2a13，又a11a36，解得a22，又因?yàn)閎nan1an2anan13ananan13bn13，即bnbn13，所以數(shù)列bn3，首項(xiàng)為b1a2a1211的等差數(shù)列，所以bn1n133n2（2）由（1）有bnan1an3n2 2 n2 111cnn（1）由an1an12an3先求a2，根據(jù)等差數(shù)列的定義驗(yàn)證bnbn1（2）由（1）有an1an3n23nn (3)Tn2n1n【答案】(1)bn3n3n27n(2)an 1 所以T11111111111 12 n22 n n n2111113nn ，2 n n2 2n1n所以Tn2n1n23nn （3）由（2）有cn an n2 所以anan13n12an1an23n22,a3a2322a2a1312上式相加有ana13n123n22322312所以ann13n4a13n27n所以an3n27n 23n27n6 n2nn2nn31（2025·

4,anSn2

設(shè)bn5a，若nN*4m2m2bm anSn n12an， S21 （1）證明：由已知可得，數(shù)列利用（1）的信息即可求出anSn求出bn nnS21【分析（1）根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列定義求 (3),8(2)a(1)n3，Sn121a，即21a可得 21a，又a40a4((21 82n3（3）由bn5a，且a1)n3，得bn5 bn12n21n41當(dāng)n5bn0，當(dāng)n6bn02n2n51若n6，則bb1 若n7bn112n5 31，可得 b因此數(shù)列b的最大項(xiàng)為bb1 n b，得 1即8(2m)222m10，整理得42m122m10，則2m1，即m2m的取值范圍是32（2025·4b22b3b4成等差數(shù)列.求數(shù)列an和bn4項(xiàng)并求tn的前2nS2nn,b(2)3，9，81，243；S2n 又a1b11d0，解得d1q2所以a1n1nb12n12n1（2）由（1）得3 3去掉第3k4S2nt1t2t3t2nc1c2c4c5c3n2c3nc1c4c3n2c2c5313433n232353133n32133n1233n114a24a 1a aa 4b34b24bq4bqb33（2025· 若bn1，2，4，8，12，寫(xiě)出集合AA若數(shù)列bn項(xiàng)數(shù)為r，滿(mǎn)足bn1bnn12,r1，求證：“Ar1”的充要條件是“bn為等比數(shù)列 23b是集合AA3，則b33b，解得b9N （2）由b1，3ab，當(dāng)ab2時(shí)，不妨令a22233bb（1）A32346,8,12}A7 （2）ab3，解出即可（1）bkm即可【答案】(1)A32346,8,12}A7rr1b3 ,,r2,4b b1 b1 ,,r,rb2b2 b2bb3 b,4 ,,r,rA，且,4b2b2 b2綜上，“Ar1”的充要條件是“bn為等比數(shù)列 r 2 2 2,4b Ar必要性：若當(dāng)ijrbjqji 3ab都是集合AA3ab3，解得a9b27則必有3ab33aabbrr 4 ,,rA b1b1 b2b334（2025·天津·三模）已知數(shù)列an和bn的滿(mǎn)足a14,b12an12anbn2,bn12bnan2(1)（i）求a4b4（ii（ii）求(ab的值 (2)若數(shù)列c滿(mǎn)足對(duì)于nN*bcamN*，使得ci2025

（1（i）an1bn12anbn22bnan23(anbn)，又a1b14260（2）根據(jù)b<c<a得 i(ab a （1（i）PAGEPAGE30/an1bn13an所以數(shù)列{anbn是以63為公比的等比數(shù)列 根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得anbn63n23所以a4b4234281162（ii）將an12anbn2與bn12bnan2an1bn12anbn2(2bnan2)anbn即an1bn1anbn4，又a1b1422所以數(shù)列{anbn是以24為公差的等差數(shù)列.【公眾號(hào)：林樾數(shù)學(xué)】所以anbn24(n1)4n2. 由平方差公式a2b2ab)(ab，則(a2b2(ab)(ab)(23i)(4i

i

i1

i4(2i1)iS133325332n13n則3S1323332n33n2n13n12S323223323n(2n1)3n

32 (2n1)16(2n2)S3n1則則(ab)

4[3(n1)3n1]124(n1)3n1i（2）因?yàn)閎

a，所以

>bi 由anbn23nanbn4n2，可得bn3n2n1a3n2n1 3i2i 3i2i 3i2i 3i2i 2i則i

m

m 2i

1

2ic>(

) i1i1i1 4 4i m2i 2m設(shè)Tm i

1T132m32m13 2T12(111)2m3 1(1112 3m12m 1 311(11)2m 22m 所以T1m1 m m m m則c>44(13m