2025年道數(shù)列競賽題庫本文借鑒了近年相關(guān)經(jīng)典試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測試題型，掌握答題技巧，提升應(yīng)試能力。一、選擇題（每題3分，共30分）1.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)且\(a_{n+1}=2a_n+1\)，則\(a_5\)的值為：A.31B.33C.35D.372.數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n=3^n-1\)，則\(b_3\)的值為：A.18B.27C.36D.453.若數(shù)列\(zhòng)(\{c_n\}\)滿足\(c_n=n(n+1)\)，則\(c_1+c_2+c_3+\cdots+c_5\)的值為：A.55B.65C.75D.854.已知數(shù)列\(zhòng)(\{d_n\}\)滿足\(d_1=2\)且\(d_{n+1}=\frac{d_n}{2}+1\)，則\(d_4\)的值為：A.1.5B.1.75C.2D.2.255.數(shù)列\(zhòng)(\{e_n\}\)的通項公式為\(e_n=\frac{n}{n+1}\)，則\(e_1+e_2+e_3+\cdots+e_5\)的值為：A.2.5B.2.75C.3D.3.256.若數(shù)列\(zhòng)(\{f_n\}\)滿足\(f_n=2^n-1\)，則\(f_4\)的值為：A.15B.31C.63D.1277.已知數(shù)列\(zhòng)(\{g_n\}\)滿足\(g_1=3\)且\(g_{n+1}=2g_n-1\)，則\(g_5\)的值為：A.11B.13C.15D.178.數(shù)列\(zhòng)(\{h_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n=2^n+1\)，則\(h_3\)的值為：A.7B.9C.11D.139.若數(shù)列\(zhòng)(\{i_n\}\)滿足\(i_n=n^2\)，則\(i_1+i_2+i_3+\cdots+i_5\)的值為：A.55B.65C.75D.8510.已知數(shù)列\(zhòng)(\{j_n\}\)滿足\(j_1=1\)且\(j_{n+1}=3j_n+2\)，則\(j_4\)的值為：A.19B.21C.23D.25二、填空題（每題4分，共40分）1.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=2\)且\(a_{n+1}=3a_n-1\)，則\(a_4\)的值為：________。2.數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n=4^n-1\)，則\(b_2\)的值為：________。3.若數(shù)列\(zhòng)(\{c_n\}\)滿足\(c_n=n^2\)，則\(c_1+c_2+c_3+\cdots+c_5\)的值為：________。4.已知數(shù)列\(zhòng)(\{d_n\}\)滿足\(d_1=1\)且\(d_{n+1}=2d_n+3\)，則\(d_3\)的值為：________。5.數(shù)列\(zhòng)(\{e_n\}\)的通項公式為\(e_n=\frac{1}{n(n+1)}\)，則\(e_1+e_2+e_3+\cdots+e_5\)的值為：________。6.若數(shù)列\(zhòng)(\{f_n\}\)滿足\(f_n=3^n\)，則\(f_3\)的值為：________。7.已知數(shù)列\(zhòng)(\{g_n\}\)滿足\(g_1=5\)且\(g_{n+1}=g_n-2\)，則\(g_4\)的值為：________。8.數(shù)列\(zhòng)(\{h_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n=5^n-1\)，則\(h_2\)的值為：________。9.若數(shù)列\(zhòng)(\{i_n\}\)滿足\(i_n=2^n\)，則\(i_1+i_2+i_3+\cdots+i_5\)的值為：________。10.已知數(shù)列\(zhòng)(\{j_n\}\)滿足\(j_1=3\)且\(j_{n+1}=j_n+4\)，則\(j_5\)的值為：________。三、解答題（每題10分，共50分）1.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)且\(a_{n+1}=2a_n+3\)，求\(a_n\)的通項公式。2.數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n=2^n-1\)，求\(b_n\)的通項公式。3.若數(shù)列\(zhòng)(\{c_n\}\)滿足\(c_n=n(n+1)\)，求\(c_1+c_2+c_3+\cdots+c_n\)的表達(dá)式。4.已知數(shù)列\(zhòng)(\{d_n\}\)滿足\(d_1=2\)且\(d_{n+1}=\frac{d_n}{2}+1\)，求\(d_n\)的通項公式。5.數(shù)列\(zhòng)(\{e_n\}\)的通項公式為\(e_n=\frac{1}{n(n+1)}\)，求\(e_1+e_2+e_3+\cdots+e_n\)的表達(dá)式。答案與解析選擇題1.D解析：\(a_2=2a_1+1=3\)，\(a_3=2a_2+1=7\)，\(a_4=2a_3+1=15\)，\(a_5=2a_4+1=31\)。2.B解析：\(b_1=S_1=2^1-1=1\)，\(b_2=S_2-S_1=(2^2-1)-1=3\)，\(b_3=S_3-S_2=(2^3-1)-(2^2-1)=5\)。3.C解析：\(c_1+c_2+c_3+\cdots+c_5=1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+4\cdot5+5\cdot6=55\)。4.B解析：\(d_2=\frac{d_1}{2}+1=2\)，\(d_3=\frac{d_2}{2}+1=2\)，\(d_4=\frac{d_3}{2}+1=1.75\)。5.A解析：\(e_1+e_2+e_3+\cdots+e_5=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}=2.5\)。6.B解析：\(f_4=2^4-1=15\)。7.D解析：\(g_2=2g_1-1=7\)，\(g_3=2g_2-1=13\)，\(g_4=2g_3-1=25\)，\(g_5=2g_4-1=49-1=48\)。8.A解析：\(h_1=S_1=2^1+1=3\)，\(h_2=S_2-S_1=(2^2+1)-(2^1+1)=3\)，\(h_3=S_3-S_2=(2^3+1)-(2^2+1)=7\)。9.C解析：\(i_1+i_2+i_3+\cdots+i_5=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55\)。10.B解析：\(j_2=j_1+4=7\)，\(j_3=j_2+4=11\)，\(j_4=j_3+4=15\)，\(j_5=j_4+4=19\)。填空題1.19解析：\(a_2=2\cdot1+3=5\)，\(a_3=2\cdot5+3=13\)，\(a_4=2\cdot13+3=29\)。2.15解析：\(b_1=S_1=2^1-1=1\)，\(b_2=S_2-S_1=(2^2-1)-1=3\)。3.55解析：\(c_1+c_2+c_3+\cdots+c_5=1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+4\cdot5+5\cdot6=55\)。4.11解析：\(d_2=2\cdot1+3=5\)，\(d_3=2\cdot5+3=13\)。5.1解析：\(e_1+e_2+e_3+\cdots+e_5=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot6}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)。6.27解析：\(f_3=3^3=27\)。7.1解析：\(g_2=g_1-2=3\)，\(g_3=g_2-2=1\)，\(g_4=g_3-2=-1\)。8.24解析：\(h_1=S_1=5^1-1=4\)，\(h_2=S_2-S_1=(5^2-1)-(5^1-1)=24\)。9.62解析：\(i_1+i_2+i_3+\cdots+i_5=2^1+2^2+2^3+2^4+2^5=62\)。10.23解析：\(j_2=j_1+4=7\)，\(j_3=j_2+4=11\)，\(j_4=j_3+4=15\)，\(j_5=j_4+4=19\)。解答題1.解析：\(a_{n+1}=2a_n+3\)，令\(b_n=a_n+1\)，則\(b_{n+1}=2b_n\)，即\(b_n=b_1\cdot2^{n-1}\)，\(b_1=a_1+1=2\)，所以\(b_n=2\cdot2^{n-1}=2^n\)，即\(a_n=2^n-1\)。2.解析：\(S_n=2^n-1\)，\(S_{n-1}=2^{n-1}-1\)，所以\(b_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}\)。3.解析：\(c_n=n(n+1)=n^2+n\)，所以\(c_1+c_2+c_3+\cdots+c_n=\sum_{k=1}^{n}(k^2+k)=\sum_{k=1}^{n}k^2+\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+4)}{6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\)。4.解析：\(d_{n+1}=\frac{d_n}{2}+1\)，令\(e_n=d_n-2\)，則\(e_{n+1}=\frac{e_n}{2}\)，即\(e_n=e_1\cdot(\frac{1}{2})^{n-1}\)，\(e_1=d_1-2=0\)，所以\(e_