高二數(shù)學(xué)期中質(zhì)量檢測試卷考試說明考試時間：120分鐘滿分：150分考試范圍：人教A版高二上冊（選擇性必修第一冊）：第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（1.1-1.5）、第二章圓錐曲線與方程（2.1-2.3）、第三章空間向量與立體幾何（3.1-3.3）；選擇性必修第二冊：第四章統(tǒng)計(jì)（4.1-4.3）、第五章概率（5.1-5.3）。命題意圖：考查學(xué)生對高二數(shù)學(xué)核心知識點(diǎn)的掌握情況，注重基礎(chǔ)與能力結(jié)合，突出數(shù)學(xué)思維與應(yīng)用意識。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線\(f(x)=x^3-2x+1\)在點(diǎn)\((1,f(1))\)處的切線方程為（）A.\(y=x-1\)B.\(y=-x+1\)C.\(y=2x-2\)D.\(y=-2x+2\)命題意圖：考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線斜率）及切線方程的求解，屬于基礎(chǔ)題。2.橢圓的基本性質(zhì)已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的左焦點(diǎn)為\(F\)，上頂點(diǎn)為\(B\)，且\(|BF|=2b\)，則橢圓的離心率為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)D.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)命題意圖：考查橢圓的基本量關(guān)系（\(a,b,c\)）及離心率計(jì)算，強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)的應(yīng)用。3.線性回歸分析某同學(xué)收集了10組數(shù)據(jù)\((x_i,y_i)\)，計(jì)算得\(\sum_{i=1}^{10}x_i=40\)，\(\sum_{i=1}^{10}y_i=50\)，\(\sum_{i=1}^{10}x_iy_i=210\)，\(\sum_{i=1}^{10}x_i^2=170\)，則線性回歸方程\(\hat{y}=\hatx+\hat{a}\)中的\(\hat\)為（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8命題意圖：考查線性回歸方程中斜率\(\hat\)的計(jì)算公式，注重?cái)?shù)據(jù)處理能力。4.空間向量的平行條件已知空間向量\(\vec{a}=(1,2,-3)\)，\(\vec=(2,m,n)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(m+n=\)（）A.-2B.-1C.0D.1命題意圖：考查空間向量平行的充要條件（坐標(biāo)成比例），屬于基礎(chǔ)題。5.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+1\)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.\((-\infty,0)\)B.\((0,2)\)C.\((2,+\infty)\)D.\((-\infty,0)\cup(2,+\infty)\)命題意圖：考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)符號與單調(diào)性的關(guān)系。6.雙曲線的漸近線雙曲線\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1\)的漸近線方程為（）A.\(y=\pm\frac{3}{2}x\)B.\(y=\pm\frac{2}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{9}{4}x\)D.\(y=\pm\frac{4}{9}x\)命題意圖：考查雙曲線漸近線方程的求法（令右邊為0分解因式），屬于基礎(chǔ)題。7.獨(dú)立事件的概率甲、乙兩人獨(dú)立解同一道題，甲解出的概率為0.6，乙解出的概率為0.5，則至少有一人解出的概率為（）A.0.3B.0.6C.0.8D.0.9命題意圖：考查獨(dú)立事件的概率計(jì)算（對立事件法），注重邏輯思維。8.導(dǎo)數(shù)與極值點(diǎn)函數(shù)\(f(x)=x\lnx\)的極值點(diǎn)為（）A.\(x=e\)B.\(x=\frac{1}{e}\)C.\(x=1\)D.不存在命題意圖：考查利用導(dǎo)數(shù)求極值點(diǎn)的方法（導(dǎo)數(shù)為0且左右符號變化），強(qiáng)調(diào)極值點(diǎn)的定義。9.拋物線的焦點(diǎn)弦過拋物線\(y^2=4x\)的焦點(diǎn)\(F\)作直線交拋物線于\(A,B\)兩點(diǎn)，若\(|AF|=3\)，則\(|BF|=\)（）A.1B.\(\frac{3}{2}\)C.2D.3命題意圖：考查拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)（\(\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}\)），注重幾何性質(zhì)的應(yīng)用。10.函數(shù)零點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)函數(shù)\(f(x)=e^x-x-2\)的零點(diǎn)個數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3命題意圖：考查函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷（結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、極值），強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想。11.立體幾何中的線面角在棱長為2的正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，直線\(A_1B\)與平面\(A_1B_1CD\)所成角的正弦值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)D.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)命題意圖：考查利用空間向量求線面角（線面角的正弦值等于直線方向向量與平面法向量夾角的余弦值的絕對值），注重空間想象能力。12.圓錐曲線綜合應(yīng)用已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的右焦點(diǎn)為\(F\)，過\(F\)作直線與橢圓交于\(A,B\)兩點(diǎn)，若\(\triangleAOB\)（\(O\)為原點(diǎn)）的面積最大值為\(\frac{ab}{2}\)，則橢圓的離心率為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)D.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)命題意圖：考查橢圓與直線的位置關(guān)系、面積最值問題，強(qiáng)調(diào)代數(shù)運(yùn)算與幾何分析的結(jié)合，屬于中檔題。二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）13.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算函數(shù)\(f(x)=\sinx+x^2\cosx\)的導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=\)__________。命題意圖：考查導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算（乘積法則），注重基本運(yùn)算能力。14.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程已知雙曲線的焦點(diǎn)在\(y\)軸上，且經(jīng)過點(diǎn)\((2,-5)\)，漸近線方程為\(y=\pm\frac{5}{2}x\)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________。命題意圖：考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法（利用漸近線設(shè)方程），強(qiáng)調(diào)待定系數(shù)法。15.統(tǒng)計(jì)中的方差一組數(shù)據(jù)\(1,2,3,4,5\)的方差為__________。命題意圖：考查方差的計(jì)算公式（先求均值，再求偏差平方和的平均值），屬于基礎(chǔ)題。16.空間向量的夾角已知空間向量\(\vec{a}=(1,0,1)\)，\(\vec=(0,1,1)\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角為__________。命題意圖：考查空間向量夾角的計(jì)算公式（點(diǎn)積公式），注重向量運(yùn)算。17.函數(shù)的最值函數(shù)\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)在區(qū)間\([2,3]\)上的最小值為__________。命題意圖：考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值（先判斷單調(diào)性），強(qiáng)調(diào)極值與端點(diǎn)值的比較。18.橢圓與直線的位置關(guān)系若直線\(y=kx+1\)與橢圓\(\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1\)（\(m>0\)且\(m\neq5\)）總有公共點(diǎn)，則\(m\)的取值范圍為__________。命題意圖：考查橢圓與直線的位置關(guān)系（聯(lián)立方程判別式非負(fù)），強(qiáng)調(diào)分類討論思想。三、解答題（本大題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（12分）已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+1\)。（1）求曲線\(f(x)\)在點(diǎn)\((1,f(1))\)處的切線方程；（2）求函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間。命題意圖：考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)解答題，強(qiáng)調(diào)規(guī)范步驟。20.統(tǒng)計(jì)概率（12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的睡眠情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們每天的睡眠時間（單位：小時），得到頻率分布直方圖如下：（圖略，各組區(qū)間為\([6,7),[7,8),[8,9),[9,10),[10,11]\)，對應(yīng)的頻率分別為0.1,0.2,0.4,0.2,0.1）（1）求這100名學(xué)生睡眠時間的平均值；（2）若睡眠時間不少于9小時為“充足”，求從這100名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，至少有1人睡眠充足的概率。命題意圖：考查頻率分布直方圖的應(yīng)用（平均值計(jì)算）及古典概型（組合數(shù)），注重統(tǒng)計(jì)與概率的結(jié)合。21.立體幾何（12分）在直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(AB=AC=1\)，\(\angleBAC=90^\circ\)，\(AA_1=2\)，\(D\)為\(BC\)的中點(diǎn)。（1）求異面直線\(A_1D\)與\(B_1C\)所成角的余弦值；（2）求直線\(A_1D\)與平面\(B_1BC\)所成角的正弦值。命題意圖：考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用（異面直線夾角、線面角），強(qiáng)調(diào)坐標(biāo)系建立與向量運(yùn)算。22.圓錐曲線綜合（12分）已知橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的離心率為\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且過點(diǎn)\((2,1)\)。（1）求橢圓\(C\)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線\(l:y=kx+m\)與橢圓\(C\)交于\(A,B\)兩點(diǎn)，若\(OA\perpOB\)（\(O\)為原點(diǎn)），求\(m\)的取值范圍。命題意圖：考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法（離心率與點(diǎn)坐標(biāo)）及直線與橢圓的位置關(guān)系（聯(lián)立方程、向量垂直），屬于中檔綜合題。23.導(dǎo)數(shù)綜合（12分）已知函數(shù)\(f(x)=e^x-ax-1\)（\(a\in\mathbb{R}\)）。（1）討論函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)性；（2）若\(f(x)\geq0\)對任意\(x\in\mathbb{R}\)成立，求\(a\)的值；（3）證明：\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}<\ln(n+1)+1\)（\(n\in\mathbb{N}^*\)）。命題意圖：考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性、最值中的應(yīng)用（分類討論）及不等式證明（構(gòu)造函數(shù)），屬于難題，強(qiáng)調(diào)邏輯推理與綜合應(yīng)用能力。四、選做題（本大題共2小題，每小題10分，考生任選一題作答，若兩題都答，則按第一題計(jì)分）24.坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系\(xOy\)中，直線\(l\)的參數(shù)方程為\(\begin{cases}x=1+t\cos\alpha\\y=t\sin\alpha\end{cases}\)（\(t\)為參數(shù)，\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)），曲線\(C\)的參數(shù)方程為\(\begin{cases}x=2\cos\theta\\y=\sin\theta\end{cases}\)（\(\theta\)為參數(shù)）。（1）求直線\(l\)的普通方程和曲線\(C\)的普通方程；（2）若直線\(l\)與曲線\(C\)交于\(A,B\)兩點(diǎn)，且\(|AB|=\frac{4\sqrt{5}}{5}\)，求\(\cos\alpha\)的值。命題意圖：考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化（消參）及直線與橢圓的位置關(guān)系（弦長公式），屬于選考基礎(chǔ)題。25.不等式選講已知函數(shù)\(f(x)=|x-1|+|x+2|\)。（1）求不等式\(f(x)\geq5\)的解集；（2）若\(f(x)\geqa^2-2a\)對任