1．1.2相似三角形的性質(zhì)eq\a\vs4\al([對應(yīng)學(xué)生用書P4])[讀教材·填要點]相似三角形的性質(zhì)定理(1)性質(zhì)定理1：相似三角形對應(yīng)邊上的高、中線和它們周長的比都等于相似比．(2)性質(zhì)定理2：相似三角形面積的比等于相似比的平方．[小問題·大思維]1．兩個相似三角形的外接圓的直徑比、周長比、面積比與相似比有什么關(guān)系？提示：相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方．2．兩個相似三角形的內(nèi)切圓的直徑比、周長比、面積比與相似比之間又有什么關(guān)系？提示：相似三角形內(nèi)切圓的直徑比、周長比等于相似比，內(nèi)切圓的面積比等于相似比的平方．eq\a\vs4\al([對應(yīng)學(xué)生用書P5])利用性質(zhì)1求邊長或面積[例1]如圖，梯形ABCD，AB∥CD，E是對角線AC和BD的交點，S△DEC∶S△DBC＝1∶3，求：eq\f(S△DEC,S△ABD)的值．[思路點撥]本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用．解答本題需要利用相似三角形的性質(zhì)求得eq\f(DE,BE)之比，進(jìn)而求得eq\f(S△ABE,S△ABD)的值，最后求得eq\f(S△DEC,S△ABD)的值．[精解詳析]∵S△DEC∶S△DBC＝1∶3，∴DE∶DB＝1∶3，即DE∶EB＝1∶2.又∵DC∥AB，∴△DEC∽△BEA.∴S△DEC∶S△BEA＝1∶4.又∵DE∶EB＝CE∶EA＝1∶2，∴S△DEC∶S△DEA＝1∶2.∴S△DEC∶S△ABD＝1∶6.即eq\f(S△DEC,S△ABD)＝eq\f(1,6).相似三角形的性質(zhì)把相似三角形對應(yīng)邊上的高、中線，以及周長、面積都與相似三角形的對應(yīng)邊的比(相似比)聯(lián)系起來，利用相似三角形的性質(zhì)可得到線段的比例，線段的平方比或角相等，有時還可用來計算三角形的面積、周長和邊長．1．△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的中線，且AD∶A′D′＝7∶3，下面給出四個結(jié)論：①BC∶B′C′＝7∶3；②△ABC的周長與△A′B′C′的周長之比為7∶3；③△ABC與△A′B′C′的對應(yīng)高之比為7∶3；④△ABC與△A′B′C′的對應(yīng)中線之比為7∶3.其中正確的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：由相似三角形的性質(zhì)知4個命題均正確，故選D.答案：D利用相似三角形的性質(zhì)解決實際問題[例2]如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝200mm，高AD＝300mm，要把它加工成長是寬的2倍的矩形零件，使矩形較短的邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，求這個矩形零件的邊長．[思路點撥]本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用．解答本題需要設(shè)出所求矩形零件的某一邊長，然后借助△AEH∽△ABC求解．[精解詳析]設(shè)矩形EFGH為加工成的矩形零件，邊FG在BC上，則點E、H分別在AB、AC上，△ABC的高AD與邊EH相交于點P，設(shè)矩形的邊EH的長為xmm.因為EH∥BC，所以△AEH∽△ABC.所以eq\f(AP,AD)＝eq\f(EH,BC).所以eq\f(300－2x,300)＝eq\f(x,200)，解得x＝eq\f(600,7)(mm)，2x＝eq\f(1200,7)(mm)．答：加工成的矩形零件的邊長分別為eq\f(600,7)mm和eq\f(1200,7)mm.將實際問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題是解決此題的關(guān)鍵，要注意相似三角形的性質(zhì)在實際問題中的作用．2．如圖，小明欲測量一座古塔的高度，他站在該塔的影子上前后移動，直到他本身影子的頂端正好與塔的影子的頂端重疊，此時他距離該塔18m，已知小明的身高是1.6m，他的影長是2m.(1)圖中△ABC與△ADE是否相似？為什么？(2)求古塔的高度．解：(1)△ABC∽△ADE.∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB＝∠AED＝90°.∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE.(2)由(1)得△ABC∽△ADE，∴eq\f(AC,AE)＝eq\f(BC,DE).∵AC＝2m，AE＝2＋18＝20m，BC＝1.6m.∴eq\f(2,20)＝eq\f(1.6,DE)，∴DE＝16m.答：古塔的高度為16m.相似三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用[例3]如圖，已知矩形ABCD的邊長AB＝2，BC＝3，點P是AD邊上的一動點(P異于A、D)，Q是BC邊上的任意一點．連AQ、DQ，過P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.(1)求證：△APE∽△ADQ；(2)設(shè)AP的長為x，試求△PEF的面積S△PEF關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)P在何處時，S△PEF取得最大值？最大值為多少？(3)當(dāng)Q在何處時，△ADQ的周長最小？(必須給出確定Q在何處的過程或方法，不必給出證明)[思路點撥]本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)的綜合應(yīng)用．解答問題(1)只需證明△APE和△ADQ中有兩個角對應(yīng)相等即可；解答問題(2)要注意△ADQ的面積為定值，且S△PEF＝eq\f(1,2)(S△ADQ－S△APE－S△PDF)；解答問題(3)可作點A關(guān)于直線BC的對稱點A′，利用三點共線解決．[精解詳析](1)證明：因為PE∥DQ，所以∠APE＝∠ADQ，∠AEP＝∠AQD，所以△APE∽△ADQ.(2)因為△APE∽△ADQ，所以eq\f(S△APE,S△ADQ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AP,AD)))2.因為AD∥BC，所以△ADQ的高等于AB.所以S△ADQ＝3.所以S△APE＝eq\f(1,3)x2.同理，由PF∥AQ，可證得△PDF∽△ADQ，所以eq\f(S△PDF,S△ADQ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PD,AD)))2.因為PD＝3－x，所以S△PDF＝eq\f(1,3)(3－x)2.因為PE∥DQ，PF∥AQ，所以四邊形PEQF是平行四邊形．所以S△PEF＝eq\f(1,2)S?PEQF＝eq\f(1,2)(S△ADQ－S△APE－S△PDF)＝－eq\f(1,3)x2＋x＝－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋eq\f(3,4).所以當(dāng)x＝eq\f(3,2)時，即P是AD的中點時，S△PEF取得最大值，最大值為eq\f(3,4).(3)作A關(guān)于直線BC的對稱點A′，連接DA′交BC于Q，則這個Q點就是使△ADQ周長最小的點，此時Q是BC的中點．在三角形中有平行于一邊的直線時，通?？紤]三角形相似，利用比值獲得線段的長或三角形的面積．3．如圖(1)，已知矩形ABCD中，AB＝1，點M在對角線AC上，AM＝eq\f(1,4)AC，直線l過點M且與AC垂直，與邊AD相交于點E.(1)如果AD＝eq\r(3)，求證點B在直線l上；(2)如圖(2)，如果直線l與邊BC相交于點H，直線l把矩形分成的兩部分的面積之比為2∶7，求AD的長；(3)如果直線l分別與邊AD，AB相交于E，G.當(dāng)直線l把矩形分成的兩部分的面積之比為1∶6時，求AE的長是多少？解：(1)證明：連接BD，交AC于O點，∵四邊形ABCD為矩形，∴OA＝eq\f(1,2)AC.∵AM＝eq\f(1,4)AC，∴AM＝OM.在Rt△ABD中，AB＝1，AD＝eq\r(3)，∴BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝2.∴BO＝OA＝AB＝1，∴△AOB是等邊三角形，又AM＝OM，∴BM⊥AO，∴點B在直線l上．(2)設(shè)AD＝a，則AC＝eq\r(1＋a2).∵∠EAM＝∠CAD，∠AME＝∠D＝90°，∴△AEM∽△ACD，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(AM,AD).又AM＝eq\f(1,4)AC＝eq\f(1,4)eq\r(1＋a2)，∴AE＝eq\f(AC·AM,AD)＝eq\f(1＋a2,4a).由AE∥HC，得△AEM∽△CHM，∴eq\f(AE,HC)＝eq\f(AM,MC)＝eq\f(1,3)，∴HC＝3AE.又BH＝BC－HC＝a－eq\f(31＋a2,4a)＝eq\f(a2－3,4a)，而S梯形ABHE＝eq\f(1,2)(AE＋BH)·AB＝eq\f(1,2)(eq\f(1＋a2,4a)＋eq\f(a2－3,4a))·1＝eq\f(a2－1,4a).∵S梯形ABHE∶S梯形EHCD＝2∶7，∴S梯形ABHE＝eq\f(2,9)S矩形ABCD＝eq\f(2,9)a，∴eq\f(a2－1,4a)＝eq\f(2,9)a，解得a＝3，即AD＝3.(3)如圖，設(shè)l分別交AD、AC、AB于E、M、G三點，則有△AEG∽△DCA，∴eq\f(AG,AD)＝eq\f(AE,DC).∵DC＝1，∴AE＝eq\f(AG,AD).∵S△AEG＝eq\f(1,2)AE·AG，eq\f(S△AEG,S多邊形EGBCD)＝eq\f(1,6)，∴eq\f(S△AEG,S矩形ABCD)＝eq\f(1,7).∴eq\f(\f(1,2)AE·AG,AD·DC)＝eq\f(1,7)，即eq\f(AE·AG,AD)＝eq\f(2,7).∴AE2＝eq\f(2,7)，AE＝eq\f(\r(14),7).eq\a\vs4\al([對應(yīng)學(xué)生用書P7])一、選擇題1．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周長是16，面積是12，那么△DEF的周長、面積依次為()A．8,3 B．8,6C．4,3 D．4,6解析：∵AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF，且相似比為2.∵△ABC的周長是16，面積是12，∴△DEF的周長是8，面積是3.答案：A2．如圖，在四邊形ABCD中，EF∥BC，F(xiàn)G∥AD，則eq\f(EF,BC)＋eq\f(FG,AD)＝()A．1 B．2C．3 D．4解析：∵EF∥BC，∴eq\f(EF,BC)＝eq\f(AF,AC)，又∵FG∥AD，∴eq\f(FG,AD)＝eq\f(CF,AC)，∴eq\f(EF,BC)＋eq\f(FG,AD)＝eq\f(AF,AC)＋eq\f(CF,AC)＝eq\f(AC,AC)＝1.答案：A3．如圖所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG內(nèi)接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，則AF∶FC等于()A．1∶3 B．1∶4C．1∶2 D．2∶3解析：設(shè)正方形邊長為x，則由△AFE∽△ACB，可得AF∶AC＝FE∶CB，即eq\f(x,2)＝eq\f(1－x,1).所以x＝eq\f(2,3)，于是eq\f(AF,FC)＝eq\f(1,2).答案：C4．如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點，DE∥BC且eq\f(AD,DB)＝2，那么△ADE與四邊形DBCE的面積比是()A.eq\f(2,3) B．eq\f(2,5)C.eq\f(4,5) D．eq\f(4,9)解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\f(AD2,AB2).∵eq\f(AD,DB)＝2，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\f(4,9)，∴eq\f(S△ADE,S四邊形DBCE)＝eq\f(4,5).答案：C二、填空題5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直線EF∥BD，交AB于點E，交AC于點G，交AD于點F.若S△AEG＝eq\f(1,3)S四邊形EGCB，則eq\f(CF,AD)＝________.解析：∵S△AEG＝eq\f(1,3)S四邊形EGCB，∴eq\f(S△AEG,S△ABC)＝eq\f(1,4).由相似三角形的性質(zhì)定理，得eq\f(AE,AB)＝eq\f(1,2)，∴E為AB的中點．由平行線等分線段定理的推論，知G為AC的中點．∵EF∥BC，AC⊥BC，∴FG⊥AC.又點G為AC的中點，∴FG為AC的中垂線．∴FC＝FA.∵EF∥BD，E為AB的中點，∴F為AD的中點，∴eq\f(CF,AD)＝eq\f(AF,AD)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)6．如圖，在△ABC中，D為AC邊上的中點，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延長線于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，則AE的長為________．解析：∵AE∥BC，∴△BGF∽△AGE.∴BF∶AE＝BG∶GA＝3∶1.∵D為AC中點，∴eq\f(AE,CF)＝eq\f(AD,DC)＝1.∴AE＝CF.∴BC∶AE＝2∶1，∵BC＝10，∴AE＝5.答案：5解析：由CD∥AE，得△CDF∽△AEF，于是eq\f(△CDF的面積,△AEF的面積)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,AE)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,AE)))2＝9.答案：98．△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝12cm，高AD＝8cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上，則這個正方形的邊長為________cm.解析：設(shè)正方形PQMN為加工成的正方形零件，邊QM在BC上，頂點P，N分別在AB，AC上，△ABC的高AD與邊PN相交于點E，設(shè)正方形的邊長為xcm.∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC.∴eq\f(AE,AD)＝eq\f(PN,BC)，∴eq\f(8－x,8)＝eq\f(x,12).解得x＝4.8.即加工成的正方形零件的邊長為4.8cm.答案：4.8三、解答題9．如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E是BD的三等分點，AE的延長線交BC于F，求eq\f(S△BEF,S四邊形DEFC)的值．解：過D點作DM∥AF交BC于M，因為DM∥AF，所以eq\f(BF,BM)＝eq\f(BE,BD)＝eq\f(1,3)，因為EF∥DM，所以eq\f(S△BEF,SBDM)＝eq\f(1,9)，即S△BDM＝9S△BEF，因為D為AC的中心，且AF∥DM，則M為FC的中點．所以eq\f(S△DMC,S△BDM)＝eq\f(2,3)，即S△DMC＝eq\f(2,3)S△BDM＝6S△BEF，所以S四邊形DEFC＝14S△BEF，因此eq\f(S△BEF,S四邊形DEFC)＝eq\f(1,14).10．有一塊三角形鐵片ABC，已知最長邊BC＝12cm，高AD＝8cm，要把它加工成一個矩形鐵片，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，且矩形的長是寬的2倍．則加工成的鐵片的面積為多少？解：本題有圖(1)和圖(2)兩種情況．如圖(1)，矩形的長EF在BC上，G、H分別在AC、AB上，高AD交GH于K，設(shè)矩形的寬為xcm，則長為2xcm.由HG∥BC，得△AHG∽△ABC.得AK∶AD＝HG∶BC，所以(8－x)∶8＝2x∶12，即x＝eq\f(24,7)(cm)．則S矩形EFGH＝2x2＝eq\f(1152,49)(cm2