高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省臺(tái)金七校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期5月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】集合，，則故選：A.2.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C.3.在中，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，故選：C.4.最早的測(cè)雨器記載見(jiàn)于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書(shū)九章》（1247年）.該書(shū)第二章為“天時(shí)類(lèi)”，收錄了有關(guān)降水量計(jì)算的四個(gè)例子，分別是“天池測(cè)雨”、“圓罌測(cè)雨”、“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”.如圖“竹器驗(yàn)雪”法是下雪時(shí)用一個(gè)圓臺(tái)形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中積雪體積除以器皿口面積），已知數(shù)據(jù)如圖（注意：?jiǎn)挝唬瑒t平地降雪厚度的近似值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示，可求得器皿中雪表面的半徑為，所以平地降雪厚度的近似值為.故選：C5.已知平面，直線(xiàn)，直線(xiàn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】A【解析】對(duì)于A，若，則，又，則，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)橹本€(xiàn)，直線(xiàn)，若，則若，則或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則，或l與m異面，或l與m相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，則或與重合或與相交，故D錯(cuò)誤．故選:.6.如圖，已知平面內(nèi)并列的八個(gè)全等的正方形，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意易得，，，，故，，所以，因?yàn)椋?，同理，所以，故選：B.7.已知，則下列不正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，，所以分別是，與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)?，的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，也關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以?xún)山稽c(diǎn)，關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以，，所以，故A正確；因?yàn)?，，所以，故B正確；因?yàn)椋?，故C正確；若成立，再結(jié)合，可得，與矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：D.8.已知一件工藝品由外層一個(gè)封閉的大正方體，內(nèi)層一個(gè)正四面體構(gòu)成，已知外層正方體的棱長(zhǎng)為2，在該大正方體內(nèi)放置一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正四面體，并且正四面體可在大正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則a的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，過(guò)作底面，連接并延長(zhǎng)交于，則，，設(shè)正四面體的外接球的半徑為r，則，，解得，要使正四面體可以在棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則，得.正四面體的棱長(zhǎng)的最大值為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知平面向量，，則下列正確的是（）A.B.若，則C.當(dāng)時(shí)，則向量在向量上的投影向量為D.若向量與向量夾角為鈍角，則【答案】AC【解析】選項(xiàng)由題，A正確，選項(xiàng)若，則，解得，B錯(cuò)誤，選項(xiàng)當(dāng)時(shí)，，，，則投影向量為，C正確，選項(xiàng)若向量與向量夾角為鈍角，則且與不共線(xiàn)，得，共線(xiàn)時(shí)，故且，D錯(cuò)誤，故選：AC10.在中，角的對(duì)邊分別為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則滿(mǎn)足條件的三角形有兩個(gè)B.若，則為銳角三角形C.若為銳角三角形，則D.若，則的面積最大值為3【答案】BCD【解析】A選項(xiàng)：根據(jù)正弦定理，可得，代入，，，可得，因?yàn)檎液瘮?shù)的值域是，所以不存在這樣的角，滿(mǎn)足條件的三角形個(gè)數(shù)為0，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，，根?jù)兩角和的正切公式，則，移項(xiàng)可得，即，已知，所以，因?yàn)?，，若，則，，，所以都為銳角，為銳角三角形，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，又，，所以，所以，所以，同理，，所以，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)：已知，，根據(jù)余弦定理，的面積，因?yàn)?，則令，則，其對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)時(shí)，，所以，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.11.如圖1，矩形，已知，為中點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折后得到如圖2的四棱錐，點(diǎn)是線(xiàn)段上（不含端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，則下列正確的是（）A.當(dāng)為線(xiàn)段中點(diǎn)時(shí)，平面B.當(dāng)為線(xiàn)段中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的截面交于點(diǎn)，則C.在翻折過(guò)程中，存在一個(gè)位置使得D.當(dāng)時(shí)，的最小值為【答案】ABD【解析】A.取中點(diǎn)，連接.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?在矩形中，，故四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫?，故A正確.B.由題意得，平面，，由平面，得平面，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則平面平面，所以，故.由，，得分別為的中點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則，所以，即，故B正確.C.假設(shè)，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，顯然不成立，假設(shè)錯(cuò)誤，故C錯(cuò)誤.D.當(dāng)時(shí)，把與展開(kāi)在一個(gè)平面上.展開(kāi)后，的最小值為線(xiàn)段AC的長(zhǎng)度.在矩形ABCD中，，，因?yàn)?，所以，則，，.因?yàn)?，，所以，所以在中?因?yàn)?，所以，故，又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，所?如圖，在展開(kāi)后的平面四邊形中，是等腰三角形，，則，則，所以.在中，由余弦定理得，，所以，當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.如圖，若斜邊長(zhǎng)為的等腰直角（與重合）是水平放置的的直觀圖，則的面積為_(kāi)_______．【答案】【解析】在斜二測(cè)直觀圖中，由為等腰直角三角形，，可得，．還原原圖形如圖：則，則，故答案為：.13.已知向量，且向量與向量的夾角為，則_______．【答案】6【解析】向量，且與的夾角為，則，.故答案為：614.已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，在平面內(nèi)有一動(dòng)直線(xiàn)，求直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的正弦值最小為_(kāi)______．【答案】【解析】設(shè)正四面體的頂點(diǎn)在平面上的射影為，則是正三角形的中心.因?yàn)檎切蔚倪呴L(zhǎng)為，則.當(dāng)直線(xiàn)與平行時(shí)為與正三角形中心的連線(xiàn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角最小.此時(shí)就是直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角或其補(bǔ)角，在直角三角形中，，，由勾股定理可得在直角三角形中，，，則直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的正弦值最小為故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)（，i為虛數(shù)單位），是純虛數(shù).（1）求復(fù)數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程的根，求實(shí)數(shù)和的值.解：（1）因?yàn)?，所以，又由是純虛?shù)，可得，解得，所以．（2）因?yàn)槭欠匠痰母?，所以，即，可得解得?6.在中，角的對(duì)邊分別為，角的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)且．（1）求角；（2）若，求面積的最大值．解：（1）因?yàn)?，且平分，所以，因?yàn)?，所以，整理得，因?yàn)?，所以，故，即，因?yàn)?，所以，得．?）由余弦定理可得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最大值為.17.已知函數(shù)．（1）解方程；（2）若恒成立，求的取值范圍．解：（1）即令，則或或．（2），，故，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以.18.如圖，已知多面體的底面為直角梯形，四邊形為矩形，且平面平面，，，．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)異面直線(xiàn)與所成角取最大時(shí)，求；（3）當(dāng)時(shí)，求二面角的正弦值．解：（1）由為矩形可得：，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又，同理可得平面，因?yàn)?，平面，所以平面平?（2）如圖，取中點(diǎn)，連接，由且，則四邊形為平行四邊形，則，所以即為異面直線(xiàn)與所成角的平面角；設(shè)，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等．（3）過(guò)點(diǎn)作，易知平面與平面所成角為直線(xiàn)與平面所成角，設(shè)為，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，由，則，由，，，則中邊上的高為，設(shè)點(diǎn)到面的距離為，由，，即，故．19.向量作為一種重要的數(shù)學(xué)工具，在代數(shù)與幾何中發(fā)揮著重要橋梁作用，不僅在平面幾何學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，在空間中、物理學(xué)、工程學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域也同樣發(fā)揮著重要的作用．它們通過(guò)向量的運(yùn)算，使得我們能夠描述和分析現(xiàn)實(shí)世界中的各種現(xiàn)象和問(wèn)題．其中數(shù)量積的運(yùn)算就很好的解決了物理中做功的概念，其運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)．向量在空間中還有一種運(yùn)算，其運(yùn)算結(jié)果仍是一個(gè)向量，即向量的叉積（外積），記作：．規(guī)定：①為同時(shí)與，垂直的向量，且與為相反向量；②（為向量與的夾角）；（1）證明：；（2）如圖，已知棱長(zhǎng)均為1的平行六面體，且，計(jì)算的值，并解釋其幾何意義．（3）有一正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四個(gè)平行平面，，，上，且兩相鄰平行平面距離為1，求該四面體的棱長(zhǎng)．解：（1）左邊由定義可得：