高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省金華市十校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】集合，，則.

故選：A.2.“”是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件 D.充要條件【答案】A【解析】當，則，則充分性可證，

當，則或，，故必要性不成立．

故是的充分不必要條件，故選：A.3.數(shù)據(jù)2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的中位數(shù)為()A. B.4 C. D.5【答案】C【解析】由中位數(shù)的定義可得數(shù)據(jù)2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的中位數(shù)為：.

故選：C.4.復(fù)數(shù)，則()A.5 B. C. D.32【答案】B【解析】，

故選：B.5.已知，點關(guān)于點的對稱點為，點關(guān)于點的對稱點為，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意知：，

，且，

，

．故選：D.6.某圓錐的底面半徑為6，其內(nèi)切球半徑為3，則該圓錐的側(cè)面積為()A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)圓錐的高為，母線長為，畫出圓錐的軸截面，如圖所示：

則，

設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，

由可得，，即，

整理得，代入，，解得，

所以該圓錐的側(cè)面積為.

故選：C.7.若函數(shù)（是常數(shù)）有且只有一個零點，則的值為()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，因為函數(shù)有且只有一個零點，所以函數(shù)過坐標原點，，解得.

故選：B．8.已知三個內(nèi)角的對邊分別是，且滿足，則面積的最大值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，當時，取得最大值，

所以的最大值為．故選：B．二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.對于事件和事件，，則下列說法正確的是()A.若與互斥，則 B.若與互斥，則C.若，則 D.若與相互獨立，則【答案】BD【解析】事件和事件，，對于A，若與互斥，則，故A錯誤；

對于B，若A與B互斥，則，故B正確；

對于C，若，則，故C錯誤；

對于D，若A與B相互獨立，則，故D正確．

故選：BD.10.已知與分別是異面直線與上的不同點，分別是線段上的點.以下命題正確的是()A.直線與直線可以相交，不可以平行B.直線與直線可以異面，不可以平行C.直線與直線可以垂直，可以相交 D.直線與直線可以異面，可以相交【答案】BCD【解析】A選項，若直線與直線相交，則四點共面，則直線與共面，與題目條件直線與異面矛盾，故直線與直線不可以相交，A錯誤；B選項，當分別和重合時，直線與直線異面，直線與直線不可以平行，假如直線與直線平行，平面，平面，故平面，但與平面有交點，顯然這是不可能的，假設(shè)不成立，B正確；C選項，當均與重合，此時直線與直線相交，當調(diào)整的位置，可能有，且令分別與重合，此時滿足直線與直線垂直，故直線與直線可以垂直，可以相交，C正確；D選項，當均與重合，或均與重合時，直線與直線相交，當時，與平行，當時，與平行，此時與平行，其他情況，直線與直線異面，故直線與直線可以異面，可以相交，D正確．故選：BCD.11.小明在研究物理中某種粒子點的運動軌跡，想找到與的函數(shù)關(guān)系，從而解決物理問題，但百思不得其解，經(jīng)過繼續(xù)深入研究，他發(fā)現(xiàn)和都與某個變量有關(guān)聯(lián)，且有，小明以此為依據(jù)去判斷函數(shù)的性質(zhì)，得到了一些結(jié)論，有些正確的結(jié)論幫助小明順利的解決了物理問題，同時也讓小明深深感受到學(xué)好數(shù)學(xué)對物理學(xué)習(xí)幫助很大!我們來看看，小明的以下結(jié)論正確的是()A.函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱 B.函數(shù)是以為周期的函數(shù)C.函數(shù)的圖象存在多條對稱軸 D.函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】BCD【解析】對于A：由題意知，故不可能關(guān)于原點對稱，A選項錯誤；對于B：周期為，則是以為周期的函數(shù)，B選項正確；對于C：當時，，此時有多條對稱軸，C選項正確；對于D：，設(shè)，，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在單調(diào)遞增，D選頂正確．

故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)，則______.【答案】2【解析】因為，所以，則故答案為：2.13.甲船在島的正南方向處，千米，甲船向正北方向航行，同時乙船自島出發(fā)向北偏東的方向航行，兩船航行速度相同，則甲、乙兩船的最近距離為______千米.【答案】【解析】設(shè)甲、乙兩船相距最近時，甲、乙分別行至處，如圖所示，則，設(shè)，則，在中，由余弦定理知，當時，取得最小值75，即取得最小值，所以甲、乙兩船的最近距離為千米．故答案為：.14.在中，，在邊上，延長到，使.若，則______.【答案】4【解析】如圖，建立平面直角坐標系，則，所以，可知設(shè)，得，因為，則，即，解得且，可得.所以.故答案為：4.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.已知是夾角為的兩個單位向量，.（1）若可以作為一組基底，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若垂直，求實數(shù)的值；

（3）求的最小值.解：（1）因為可以作為一組基底，所以不平行，所以，即，所以實數(shù)的取值范圍為；（2）因為是夾角為的兩個單位向量，所以，因為垂直，所以，解得；（3），當時，取得最小值.16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的值域和其圖象的對稱中心；

（2）在中，三個內(nèi)角的對邊分別是，滿足，求的面積的值.解：（1），因為，所以的值域為，令，得，所以圖象的對稱中心為.（2）由，得，因為，所以，所以或，即或，又，所以，由余弦定理得，，所以，即，解得或4，當時，；當時，，故所求的面積為或.17.在五一假期中，某校組織全校學(xué)生開展了社會實踐活動，抽樣調(diào)查了其中的100名學(xué)生，統(tǒng)計他們參加社會實踐活動的時間（單位：小時），并將統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制成如圖的頻率分布直方圖.另外，根據(jù)參加社會實踐活動的時間從長到短按的比例分別被評為優(yōu)秀、良好、合格.

（1）求的值并估計該學(xué)校學(xué)生在這個五一假期中參加社會實踐活動的時間的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表）；（2）試估計至少參加多少小時的社會實踐活動，方可被評為優(yōu)秀.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.（3）根據(jù)社會實踐活動的成績，按分層抽樣的方式抽取5名學(xué)生.從這5名學(xué)生中，任選3人，求這3名學(xué)生成績各不相同的概率.解：（1）由，解得，，該學(xué)校學(xué)生假期中參加社會實踐活動的時間的平均數(shù)約為小時．（2）由題意可知，即求60百分位數(shù)，又百分位數(shù)位于之間，設(shè)60百分位數(shù)為，則，解得，故至少參加小時的社會實踐活動，方可被評為優(yōu)秀．（3）易知，5名學(xué)生中，優(yōu)秀有人，設(shè)為，良好有人，設(shè)為，合格有人，設(shè)為.任選3人，總共有,，，10種情況，其中符合的有共4種，故概率為.18.在四棱臺中，，平面平面，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與直線所成角的余弦值；（3）若是的中點，求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：連接，，，四邊形是平行四邊形，，又平面，面，平面.（2）解：平面平面，平面平面，，平面，如圖，以為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系，則，則，設(shè)直線與直線所成角為，.（3），，設(shè)是平面的法向量，則令，得，又是平面的一個法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則19.假設(shè)是定義在一個區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且.對，記，，，.若某一個函數(shù)滿足，則有（其中為關(guān)