高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省楚雄彝族自治州2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期5月期中數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版必修第二冊(cè)第六章~第八章第5節(jié).一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若點(diǎn)A在直線m上，直線m在平面內(nèi)，則下列關(guān)系表示正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由點(diǎn)、線、面關(guān)系的表示方式知A、B、D錯(cuò)誤，C正確.故選:C.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A.的虛部為 B.C. D.【答案】C【解析】由已知可得的虛部為，故錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤；，故正確；虛部不為0的復(fù)數(shù)不能比較大小，故錯(cuò)誤.故選：C.3.已知平面向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，解?故選：B.4.已知為三條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，若，，，且與異面，則（）A.l至多與m，n中的一條相交 B.l與m，n均相交C.l與m，n均平行 D.l至少與m，n中的一條相交【答案】D【解析】由題意知m與l平行或相交，n與l平行或相交，但直線l與m，n不能同時(shí)平行，若直線l與m，n同時(shí)平行，則m與n平行，與兩直線異面矛盾，所以l與m，n中的一條相交或與m，n都相交.故選：D.5.已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（）A.7 B.3 C. D.【答案】D【解析】因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的一個(gè)根，所以，即，所以且，解得，，所以．故選：D．6.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在中，由，得，由正弦定理得，所以.故選：A7.如圖是一個(gè)正方體的展開圖，若將它還原為正方體，則（）A. B.C.與共面 D.與異面【答案】C【解析】根據(jù)題意，畫出該正方體的直觀圖，A選項(xiàng)，，為等邊三角形，與所成的角為，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，與異面，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，直線與相交，所以直線與共面，C正確；D選項(xiàng)，，直線與共面，D錯(cuò)誤.故選：C.8.中國(guó)冶煉鑄鐵的技術(shù)起源于春秋時(shí)期，并在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期取得了顯著的進(jìn)步，推動(dòng)了當(dāng)時(shí)社會(huì)的發(fā)展.現(xiàn)將一個(gè)體積為的實(shí)心鐵球熔化后，澆鑄成一個(gè)圓臺(tái)狀的實(shí)心鐵錠（不考慮損耗），若該圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的2倍，高為，則該圓臺(tái)的表面積為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如圖所示，設(shè)圓臺(tái)較大的底面半徑為，較小的底面半徑為，則，解得.過點(diǎn)作，垂足為，則母線.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列關(guān)于空間幾何體的敘述錯(cuò)誤的是（）A.底面是正方形的棱錐是正四棱錐B.任何一個(gè)幾何體都必須有頂點(diǎn)、棱和面C.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)D.一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面【答案】ABC【解析】底面是正方形，且頂點(diǎn)在底面上的射影為底面正方形的中心的四棱錐是正四棱錐，A錯(cuò)誤；球沒有頂點(diǎn)和棱，B錯(cuò)誤；將兩個(gè)相同的棱臺(tái)的底面重合得到的多面體滿足有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形，但是這樣的多面體不是棱臺(tái)，C錯(cuò)誤；棱柱的底面至少有3條邊，所以一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面，D正確．故選：ABC．10.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則（）A.B.若，則C.若，則為銳角三角形D.若，則的形狀能唯一確定【答案】AB【解析】因?yàn)?，所以，故A正確；因?yàn)椋瑒t，故B正確；由余弦定理，可知為銳角，但無法判斷角和角是否為銳角，不一定為銳角三角形，故C錯(cuò)誤；由正弦定理得，即，又，所以，所以或，故D錯(cuò)誤.故選：AB11.已知，均為復(fù)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則是實(shí)數(shù)C.若，則是純虛數(shù) D.若，則【答案】ABC【解析】因?yàn)椋?，所以，A正確；設(shè)，則，所以為實(shí)數(shù)，B正確；設(shè)，則，又，所以，，所以是純虛數(shù)，C正確；若，，則滿足，而，D錯(cuò)誤.故選：ABC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)、對(duì)應(yīng)的向量分別是、，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為______.【答案】【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)、對(duì)應(yīng)的向量分別是、，則，，所以，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故答案為：.13.已知向量在向量上的投影向量，且，則_____________.【答案】【解析】由題意知向量在向量上的投影向量為，設(shè)，由，得，故，即，故，故答案為：14.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，若過的平面平面，則截該正方體所得截面圖形的面積為__________.【答案】【解析】如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，因?yàn)榉謩e為，的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理平面，又，，平面，所以平面平面，即四邊形為截正方體所得截面圖形.由正方體的棱長(zhǎng)為2，易得四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，對(duì)角線即為正方體的體對(duì)角線，又，所求截面的面積.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟.15.已知復(fù)數(shù)，（，為虛數(shù)單位）．（1）若為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求的取值范圍．（1）解：由復(fù)數(shù)，，可得，因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得．（2）解：由，可得，因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，可得，解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．16.如圖所示，為四邊形的直觀圖，其中，，，.（1）畫出四邊形的平面圖并標(biāo)出邊長(zhǎng)，并求平面四邊形的面積；（2）若該四邊形以為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積.解：（1）在直觀圖中，，，，則在平面圖形中，，，，，于是，所以平面四邊形的平面圖形如下圖所示：由上圖可知，平面四邊形為直角梯形，所以面積為.（2）直角梯形以為軸，旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體可以看成圓柱加上一個(gè)同底的圓錐，由（1）可知幾何體底面圓半徑為，圓柱母線長(zhǎng)和高都為1，即；圓錐的高為，母線長(zhǎng)為，所以體積；所以表面積.17.在等腰梯形中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，記.（1）用向量表示向量；（2）求的值.解：（1）如圖所示，連接，則四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在上，且，所以，所以.（2）由（1）可知，，在等腰梯形中，過分別作的垂線，垂足分別為，則，所以，由題意知，且，.18.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求角的大小；（2）若點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，求的值．解：（1）易知由以及正弦定理邊化角可得，，整理可得.又，，所以，，.（2）由已知可得，所以為銳角，，，.設(shè)，則，，在中，由余弦定理可得，所以.在中，由余弦定理可得.在中，由余弦定理可得，即，整理可得，平方可得，整理可得.所以有，解得，所以.又為銳角，所以.19.如圖，在正方體中，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，且．（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）求證：平面；（3）