高級中學名校試卷PAGEPAGE1天津市河西區(qū)2024-2025學年高二上學期期中質(zhì)量調(diào)查數(shù)學試卷第Ⅰ卷一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知向量，則等于（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】由題意得：，，故選：C.2.直線的傾斜角是（）A.30° B.60° C.120° D.135°【答案】B【解析】直線的斜率為，對應的傾斜角為60°.故選：B.3.在空間直角坐標系中，已知點，給出下列4條敘述：①點關于軸的對稱點的坐標是；②點關于平面的對稱點的坐標是；③點關于軸的對稱點的坐標是；④點關于原點的對稱點的坐標是．其中正確的個數(shù)是（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】C【解析】空間直角坐標系中，點.對于①，點關于軸對稱的點的坐標是，①錯誤；對于②，點關于平面對稱的點的坐標是，②錯誤；對于③，點關于軸對稱的點的坐標是，③錯誤；對于④，點關于原點的對稱點的坐標是，④正確；綜上知，正確的個數(shù)是1.故選：C.4.已知向量是直線的方向向量，是平面的法向量，且，則直線與平面所成的角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為向量是直線的方向向量，是平面的法向量，且，設直線與平面所成的角為，則，又，所以，即直線與平面所成的角為.故選：A.5.若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.（－∞，－2）∪ B.C.（－2，0） D.【答案】D【解析】由題得方程為＋（y＋a）2＝1－a－因為方程＋（y＋a）2＝1－a－表示圓，則1－a－＞0，解得－2＜a＜故選：D6.若直線與直線l2關于點(2,1)對稱，則直線l2過定點（）A. B.C. D.【答案】B【解析】直線恒過定點(4,0)，其關于點(2,1)對稱的點為(0,2)，又由于直線與直線l2關于點(2,1)對稱，故直線l2恒過定點(0,2).7.設空間四點滿足，其中，則（）A.點一定在直線上 B.點一定不在直線上C.點不一定在直線上 D.以上答案都不對【答案】A【解析】因為，所以，而，故，所以，所以，則點一定在直線上，故A正確.故選：A.8.在棱長為2的正方體中，O是底面的中心，E，F(xiàn)分別是的中點，那么異面直線和所成角的余弦值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】取BC的中點G．連接GC1，則GC1FD1，再取GC的中點H，連接HE、OH，如圖所示，∵E是CC1的中點，∴GC1EH，∴∠OEH為異面直線和所成的角．在△OEH中，，HE＝，OH＝．由余弦定理，可得cos∠OEH＝．故選：B.9.已知點，且，則直線AB的方程為（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】B【解析】因為點，，且，所以，所以，所以，所以，所以，所以直線的方程：．即或．故選：．Ⅱ卷二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分．10.．已知向量，使成立的x與使成立的x分別為______．【答案】，－6【解析】因為，當時，，解得；當時，，解得．11.點A(4,5)關于直線l的對稱點為B(－2,7)，則l的方程為_______【答案】3x－y＋3＝0【解析】對稱軸是以兩對稱點為端點的線段的中垂線，A、B的中點坐標(1,6)，AB的斜率為：，中垂線的斜率為：3，則l的方程為：y?6=3(x?1)，即：3x?y+3=0.12.已知圓C經(jīng)過兩點，圓心在軸上，則C的方程為__________．【答案】【解析】由圓的幾何性質(zhì)得，圓心在的垂直平分線上,結合題意知，的垂直平分線為，令，得，故圓心坐標為，所以圓的半徑，故圓的方程為.13.已知直線與直線垂直，點為垂足，則等于________．【答案】【解析】因為，所以，因為兩條直線垂直，且，所以，解得，此時，將代入中，得到，解得，此時垂足為點，將代入中，得到，解得，故.14.已知圓C1：，圓C2：，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為軸上的動點，則的最小值_____．【答案】【解析】如圖所示，圓關于軸對稱圓的圓心坐標，以及半徑，圓的圓心坐標為，半徑為，所以的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即.15.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為BB1，CD的中點，則點F到平面A1D1E的距離為________．【答案】【解析】取射線AB，AD，AA1分別為x軸、y軸、z軸非負半軸建立空間直角坐標系，如圖所示．則A1(0，0，1)，E，F(xiàn)，D1(0，1，1)．所以＝，＝(0，1，0)．設平面A1D1E的法向量為=(x，y，z)．則即，令z＝2，則x＝1，得=(1，0，2)，又＝，所以點F到平面A1D1E的距離.三、解答題：本大題共5小題，共49分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.如圖，在平行六面體中，是的中點，是的中點，是的中點，點在上，且，設，用基底表示以下向量：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）如圖，連接，則，（2）連接，則．（3），（4）.17.已知空間三點，設．（1）若，，求；（2）求與的夾角的余弦值；（3）若與互相垂直，求k．解：（1）因為，所以，又因為，所以，又因為，所以，因此或；（2）因為所以與的夾角的余弦值為；（3）因為與互相垂直，所以或.18.已知點到直線的距離均為，求直線的方程．解：當點在直線的同側時，得到，由斜率公式得直線的斜率為，故直線的方程為，化簡得，則可設直線的方程為，因為兩平行直線間的距離為，所以，解得或，直線的方程為或，當點在直線的兩側時，得到線段的中點在直線上，即點在直線上，且直線的斜率存在，可設直線為，由點到直線的距離公式得，解得．所以直線的方程為．綜上，直線的方程為線或或．19.在平面直角坐標系中，以坐標原點為圓心的圓與直線相切．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）若圓上有兩點關于直線對稱，且，求直線的方程．解：（Ⅰ）依題意知圓的半徑等于原點到直線的距離，即，所以圓的方程為．（Ⅱ）由題意，可設直線的方程為，則圓心到直線的距離．故，即．所以直線的方程為或．20.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，，點E為棱PC的中點．（1）證明：；（2）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；（3）若F為棱PC上一點，滿足，求平面FAB與平面PAB所成角的余弦值．（1）證明：在四棱錐中，底面ABCD，，以點為原點建立空間直角坐標系，如圖，依題意，，的中點，向量