1.2.4誘導公式(一)[學習目標]1.了解三角函數(shù)的誘導公式一～三的意義和作用.2.理解誘導公式的推導過程.3.能運用有關誘導公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡和證明問題．[知識鏈接]1．對于任意一個角α，與它終邊相同的角的集合應如何表示？答所有與α終邊相同的角，連同α在內(nèi)，可以構(gòu)成一個集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一個與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和．2．設α為任意角，則π＋α，－α，π－α的終邊與α的終邊之間有什么對稱關系？答相關角終邊之間的對稱關系π＋α與α關于原點對稱－α與α關于x軸對稱π－α與α關于y軸對稱[預習導引]1．(1)角α與α＋k·2π(k∈Z)的三角函數(shù)間的關系cos(α＋k·2π)＝cos_α，sin(α＋k·2π)＝sin_α，tan(α＋k·2π)＝tan_α.(一)(2)角α與－α的三角函數(shù)間的關系cos(－α)＝cos_α，sin(－α)＝－sin_α，tan(－α)＝－tan_α.(二)(3)角α與α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函數(shù)間的關系cos[α＋(2k＋1)π]＝－cos_α，sin[α＋(2k＋1)π]＝－sin_α，tan[α＋(2k＋1)π]＝tan_α.(三)要點一給角求值問題例1求下列各三角函數(shù)式的值：(1)sin1320°；(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))；(3)tan(－945°)．解(1)方法一sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).方法二sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).(2)方法一coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))＝coseq\f(31π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(7π,6)))＝cos(π＋eq\f(π,6))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).方法二coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(5π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.規(guī)律方法此問題為已知角求值，主要是利用誘導公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)求解．如果是負角，一般先將負角的三角函數(shù)化為正角的三角函數(shù)．跟蹤演練1求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2nπ＋\f(2π,3)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(nπ＋\f(4π,3)))的值(n∈Z)．解①當n為奇數(shù)時，原式＝sineq\f(2π,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(4π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))))＝sineq\f(π,3)·coseq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),4).②當n為偶數(shù)時，原式＝sineq\f(2π,3)·coseq\f(4π,3)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),4).要點二給值求值問題例2已知cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)，且α為第四象限角，求sin(105°＋α)的值．解∵cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)<0，且α為第四象限角，∴α－75°是第三象限角．∴sin(α－75°)＝－eq\r(1－cos2α－75°)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2)＝－eq\f(2\r(2),3).∴sin(105°＋α)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(180°＋α－75°))＝－sin(α－75°)＝eq\f(2\r(2),3).規(guī)律方法解答這類給值求值的問題，首先應把所給的值進行化簡，再結(jié)合被求值的式子的特點，觀察所給值的式子與被求式的特點，找出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，特別是角之間的關系，恰當?shù)剡x擇誘導公式．跟蹤演練2已知cos(π＋α)＝－eq\f(3,5)，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值．解∵cos(π＋α)＝－cosα＝－eq\f(3,5)，∴cosα＝eq\f(3,5)，∵π<α<2π，∴eq\f(3π,2)<α<2π，∴sinα＝－eq\f(4,5).∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cosα)＝－sinα－cosα＝－(sinα＋cosα)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)＋\f(3,5)))＝eq\f(1,5).要點三三角函數(shù)式的化簡例3化簡下列各式：(1)eq\f(sinkπ－αcos[k－1π－α],sin[k＋1π＋α]coskπ＋α)(k∈Z)；(2)eq\f(\r(1＋2sin290°cos430°),sin250°＋cos790°).解(1)當k＝2n(n∈Z)時，原式＝eq\f(sin2nπ－αcos[2n－1π－α],sin[2n＋1π＋α]cos2nπ＋α)＝eq\f(sin－α·cos－π－α,sinπ＋α·cosα)＝eq\f(－sinα·－cosα,－sinα·cosα)＝－1；當k＝2n＋1(n∈Z)時，原式＝eq\f(sin[2n＋1π－α]·cos[2n＋1－1π－α],sin[2n＋1＋1π＋α]·cos[2n＋1π＋α])＝eq\f(sinπ－α·cosα,sinα·cosπ＋α)＝eq\f(sinα·cosα,sinα·－cosα)＝－1.綜上，原式＝－1.(2)原式＝eq\f(\r(1＋2sin360°－70°cos360°＋70°),sin180°＋70°＋cos720°＋70°)＝eq\f(\r(1－2sin70°cos70°),－sin70°＋cos70°)＝eq\f(|cos70°－sin70°|,cos70°－sin70°)＝eq\f(sin70°－cos70°,cos70°－sin70°)＝－1.規(guī)律方法三角函數(shù)式的化簡方法：(1)利用誘導公式，將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)．(2)常用“切化弦”法，即表達式中的切函數(shù)通?；癁橄液瘮?shù)．(3)注意“1”的變式應用：如1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4).跟蹤演練3化簡下列各式：(1)eq\f(cosπ＋α·sin2π＋α,sin－α－π·cos－π－α)；(2)eq\f(cos190°·sin－210°,cos－350°·tan－585°).解(1)原式＝eq\f(－cosα·sinα,－sinπ＋α·cosπ＋α)＝eq\f(cosαsinα,sinα·cosα)＝1.(2)原式＝eq\f(cos180°＋10°[－sin180°＋30°],cos－360°＋10°[－tan360°＋225°])＝eq\f(－cos10°·sin30°,cos10°·[－tan180°＋45°])1．求下列三角函數(shù)的值：(1)sin690°；(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(20,3)π))；(3)tan(－1845°)．解(1)sin690°＝sin(360°＋330°)＝sin330°＝sin(180°＋150°)＝－sin150°＝－sin(180°－30°)＝－sin30°＝－eq\f(1,2).(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(20,3)π))＝coseq\f(20,3)π＝cos(6π＋eq\f(2,3)π)＝coseq\f(2,3)π＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).(3)tan(－1845°)＝tan(－5×360°－45°)＝tan(－45°)＝－tan45°＝－1.2．化簡：eq\f(cos180°＋αsinα＋360°,sin－α－180°cos－180°－α).解原式＝eq\f(－cosα·sinα,[－sinα＋180°]·cos180°＋α)＝eq\f(sinαcosα,sinα＋180°cos180°＋α)＝eq\f(sinαcosα,－sinα－cosα)＝1.3．已知f(α)＝eq\f(sinπ－αcos2π－αtan－α＋π,－tan－α－πsin－π－α)，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))).解f(α)＝eq\f(sinα·cosα·－tanα,tanα·sinα)＝－cosα，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).4．證明：eq\f(2sinα＋nπcosα－nπ,sinα＋nπ＋sinα－nπ)＝(－1)ncosα，n∈Z.證明當n為偶數(shù)時，令n＝2k，k∈Z，左邊＝eq\f(2sinα＋2kπcosα－2kπ,sinα＋2kπ＋sinα－2kπ)＝eq\f(2sinαcosα,sinα＋sinα)＝eq\f(2sinαcosα,2sinα)＝cosα.右邊＝(－1)2kcosα＝cosα，∴左邊＝右邊．當n為奇數(shù)時，令n＝2k－1，k∈Z，左邊＝eq\f(2sinα＋2kπ－πcosα－2kπ＋π,sinα＋2kπ－π＋sinα－2kπ＋π)＝eq\f(2sinα－πcosα＋π,sinα－π＋sinα＋π)＝eq\f(2[－sinπ－α]－cosα,－sinα＋－sinα)＝eq\f(2sinαcosα,－2sinα)＝－cosα.右邊＝(－1)2k－1cosα＝