不確定與確定參數(shù)下食餌-捕食者模型的動力學(xué)及最優(yōu)收獲策略解析一、引言1.1研究背景與意義在當(dāng)今時代，隨著全球人口的持續(xù)增長以及人類物質(zhì)文化需求的日益提升，人類對自然資源的開發(fā)和利用規(guī)模不斷擴大，這一趨勢已對生態(tài)平衡造成了嚴重的破壞，進而對人類的生存環(huán)境構(gòu)成了巨大威脅。土地沙漠化的范圍不斷擴張，許多原本肥沃的土地逐漸被沙漠吞噬，導(dǎo)致可耕地面積減少，生態(tài)系統(tǒng)的生產(chǎn)力下降；水土流失現(xiàn)象愈發(fā)嚴重，大量的土壤被水流沖走，不僅造成了土地資源的浪費，還引發(fā)了河流湖泊的淤積，影響了水資源的合理利用；溫室效應(yīng)導(dǎo)致全球氣候變暖，冰川融化，海平面上升，許多沿海地區(qū)面臨被淹沒的危險，同時也對生物的生存和繁衍產(chǎn)生了深遠的影響。這些嚴峻的環(huán)境問題，歸根結(jié)底都是人類過度開發(fā)和利用自然資源所導(dǎo)致的惡果。在生物資源開發(fā)領(lǐng)域，如何在實現(xiàn)經(jīng)濟效益最大化的同時，確保種群系統(tǒng)的持續(xù)發(fā)展，成為了一個至關(guān)重要且意義深遠的課題，吸引了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注。食餌-捕食者模型作為生態(tài)學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要研究工具，能夠深入揭示生物種群之間的相互作用關(guān)系，為理解生態(tài)系統(tǒng)的動態(tài)變化提供了關(guān)鍵視角。通過構(gòu)建和分析食餌-捕食者模型，我們可以洞察不同物種之間的依存與制約關(guān)系，進而為生態(tài)保護策略的制定提供科學(xué)依據(jù)，助力維持生態(tài)系統(tǒng)的平衡與穩(wěn)定。在面對日益嚴峻的生態(tài)挑戰(zhàn)時，深入研究食餌-捕食者模型的動力學(xué)行為及最優(yōu)收獲問題，顯得尤為緊迫和必要。對食餌-捕食者模型動力學(xué)行為的研究，有助于我們深刻理解生物種群數(shù)量的變化規(guī)律。通過數(shù)學(xué)分析和數(shù)值模擬，我們能夠清晰地看到食餌和捕食者種群數(shù)量在不同條件下的動態(tài)變化過程，揭示出其中隱藏的周期性、穩(wěn)定性以及混沌等復(fù)雜現(xiàn)象。當(dāng)環(huán)境資源充足時，食餌種群數(shù)量可能會呈現(xiàn)指數(shù)增長，進而帶動捕食者種群數(shù)量的上升；然而，隨著捕食者數(shù)量的不斷增加，食餌被大量捕食，其數(shù)量又會逐漸減少，導(dǎo)致捕食者因食物短缺而數(shù)量下降，如此循環(huán)往復(fù)，形成了種群數(shù)量的周期性波動。深入探究這些規(guī)律，能夠使我們更好地把握生態(tài)系統(tǒng)的運行機制，為預(yù)測生物種群的未來發(fā)展趨勢提供有力支持。在實際的生物資源開發(fā)過程中，最優(yōu)收獲策略的研究具有重大的現(xiàn)實指導(dǎo)意義。合理的收獲策略能夠在保證生物資源可持續(xù)利用的前提下，實現(xiàn)經(jīng)濟效益的最大化。通過運用Pontryagin最大值原理等數(shù)學(xué)方法，我們可以精確地確定在不同生態(tài)條件下，對食餌和捕食者進行收獲的最佳時機和數(shù)量，避免過度捕撈或濫砍濫伐等短視行為，從而保護生物多樣性，維護生態(tài)系統(tǒng)的健康穩(wěn)定發(fā)展。在漁業(yè)資源開發(fā)中，科學(xué)地確定捕撈量和捕撈時間，既能保證漁民的經(jīng)濟收益，又能確保魚類種群的可持續(xù)繁衍，實現(xiàn)生態(tài)與經(jīng)濟的雙贏。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀食餌-捕食者模型的研究最早可追溯到20世紀初，意大利數(shù)學(xué)家Volterra和美國生物學(xué)家Lotka分別獨立提出了經(jīng)典的Lotka-Volterra食餌-捕食者模型，該模型用一組非線性微分方程來描述食餌和捕食者種群數(shù)量的動態(tài)變化關(guān)系，為后續(xù)的研究奠定了堅實的基礎(chǔ)。此后，隨著數(shù)學(xué)和生態(tài)學(xué)的蓬勃發(fā)展，食餌-捕食者模型逐漸成為生態(tài)學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究焦點，研究者們不斷對其進行改進和拓展，取得了一系列豐碩的成果。在不確定參數(shù)對食餌-捕食者模型的影響研究方面，由于現(xiàn)實生態(tài)系統(tǒng)中存在諸多不確定性因素，如環(huán)境的隨機變化、物種參數(shù)的測量誤差等，近年來相關(guān)研究日益受到重視。一些學(xué)者運用區(qū)間數(shù)理論、模糊數(shù)學(xué)等方法，將不確定參數(shù)引入食餌-捕食者模型中，以更真實地刻畫生態(tài)系統(tǒng)的復(fù)雜性。有研究建立了具有區(qū)間參數(shù)的食餌-捕食者模型，通過分析模型的平衡點和穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)不確定參數(shù)會使系統(tǒng)的動態(tài)行為變得更加復(fù)雜，可能導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)多個平衡點或不穩(wěn)定狀態(tài)。還有學(xué)者利用模糊數(shù)學(xué)方法，研究了模糊參數(shù)對食餌-捕食者模型的影響，結(jié)果表明模糊參數(shù)會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和周期解的存在性。然而，目前關(guān)于不確定參數(shù)食餌-捕食者模型的研究仍處于發(fā)展階段，對于一些復(fù)雜的不確定因素，如參數(shù)的時變不確定性、多參數(shù)不確定性的相互作用等，尚未得到深入研究。時滯因素在食餌-捕食者模型中的作用也備受關(guān)注。時滯通常表示捕食者對食餌數(shù)量變化的響應(yīng)時間或食餌種群數(shù)量變化對捕食者種群數(shù)量影響的時間延遲。眾多研究表明，時滯的存在可能導(dǎo)致模型的動態(tài)行為發(fā)生顯著變化，如產(chǎn)生Hopf分岔、周期振蕩甚至混沌現(xiàn)象。通過構(gòu)建具有離散時滯的食餌-捕食者模型，應(yīng)用時滯微分方程穩(wěn)定性理論及Hopf分岔理論，得到了系統(tǒng)正平衡點的局部穩(wěn)定性和產(chǎn)生Hopf分岔的條件。另有研究考慮了分布時滯對食餌-捕食者模型的影響，發(fā)現(xiàn)分布時滯會使系統(tǒng)的穩(wěn)定性和周期性行為發(fā)生改變，可能引發(fā)復(fù)雜的動力學(xué)行為。盡管時滯食餌-捕食者模型的研究取得了一定進展，但對于時滯與其他因素（如不確定參數(shù)、收獲等）的耦合作用，以及時滯在高維食餌-捕食者模型中的影響，仍有待進一步深入探討。避難所作為影響食餌-捕食者系統(tǒng)動態(tài)的重要因素，也成為了研究的熱點之一。避難所能夠為食餌提供一定的保護，使其在一定程度上免受捕食者的捕食，從而改變食餌和捕食者之間的相互作用關(guān)系。一些學(xué)者通過建立具有避難所的食餌-捕食者模型，分析了避難所對系統(tǒng)穩(wěn)定性和生物多樣性的影響。研究發(fā)現(xiàn)，避難所的存在可以增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，促進生物多樣性的維持。還有研究探討了不同類型避難所（如空間避難所、時間避難所等）對食餌-捕食者系統(tǒng)的影響，結(jié)果表明不同類型的避難所會對系統(tǒng)產(chǎn)生不同的作用效果。然而，目前對于避難所與其他生態(tài)因素（如環(huán)境變化、物種入侵等）的協(xié)同作用研究較少，這也是未來研究的一個重要方向。在食餌-捕食者模型的收獲問題研究方面，國內(nèi)外學(xué)者運用Pontryagin最大值原理、動態(tài)規(guī)劃等方法，研究了如何確定最優(yōu)收獲策略，以實現(xiàn)經(jīng)濟效益與生態(tài)效益的平衡。通過建立生態(tài)經(jīng)濟模型，考慮對食餌和捕食者的收獲，利用Pontryagin最大值原理得到了模型的最優(yōu)平衡點及最優(yōu)收獲努力量。另有研究引入稅收作為控制手段，探討了稅收對食餌-捕食者模型最優(yōu)收獲策略的影響，結(jié)果表明合理的稅收政策可以有效地調(diào)節(jié)收獲行為，實現(xiàn)生態(tài)系統(tǒng)的可持續(xù)發(fā)展。但當(dāng)前的研究大多基于理想化的假設(shè)條件，對于實際生態(tài)系統(tǒng)中復(fù)雜的經(jīng)濟、社會和生態(tài)因素的綜合考慮還不夠充分，需要進一步完善。1.3研究方法與創(chuàng)新點在本研究中，將運用多種研究方法，從不同角度深入剖析幾類不確定和確定參數(shù)食餌-捕食者模型的動力學(xué)行為及最優(yōu)收獲問題。數(shù)學(xué)建模是研究的基礎(chǔ)，通過構(gòu)建精確的數(shù)學(xué)模型，能夠?qū)?fù)雜的生態(tài)現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，以便進行深入的分析和研究。針對不同的生態(tài)場景和研究目的，建立具有避難所和不確定參數(shù)的食餌-捕食者模型、具有離散時滯或噪聲的食餌-捕食者模型以及具有連續(xù)分布時滯的食餌-捕食者模型。在構(gòu)建具有避難所和不確定參數(shù)的模型時，考慮到實際生態(tài)系統(tǒng)中避難所對食餌的保護作用以及參數(shù)的不確定性，運用區(qū)間數(shù)理論將不確定參數(shù)引入模型，使模型更貼合現(xiàn)實情況。理論分析是研究的核心環(huán)節(jié)之一，通過運用數(shù)學(xué)分析方法，對模型的各種性質(zhì)進行嚴格的推導(dǎo)和論證。利用微分方程穩(wěn)定性理論，分析模型平衡點的穩(wěn)定性，判斷系統(tǒng)在不同條件下是否能夠保持穩(wěn)定狀態(tài)；借助Hopf分岔理論，研究系統(tǒng)在參數(shù)變化時是否會發(fā)生分岔現(xiàn)象，從而導(dǎo)致系統(tǒng)動態(tài)行為的質(zhì)變；運用中心流形定理和規(guī)范型理論，深入探討Hopf分岔周期解的穩(wěn)定性及分岔方向，進一步揭示系統(tǒng)的動力學(xué)特性。在對具有離散時滯的食餌-捕食者模型進行理論分析時，通過計算模型的雅可比矩陣，結(jié)合時滯微分方程穩(wěn)定性理論，得到系統(tǒng)正平衡點的局部穩(wěn)定性條件；再運用Hopf分岔理論，確定系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分岔的參數(shù)范圍，為理解系統(tǒng)的動態(tài)行為提供理論依據(jù)。數(shù)值模擬是研究的重要手段，通過計算機模擬，可以直觀地展示模型的動態(tài)行為，驗證理論分析的結(jié)果。利用數(shù)值計算軟件，如Matlab等，對建立的模型進行求解，繪制出食餌和捕食者種群數(shù)量隨時間變化的曲線、相軌線等圖形，觀察系統(tǒng)在不同參數(shù)條件下的動態(tài)變化情況。通過數(shù)值模擬，可以清晰地看到不確定參數(shù)、時滯、避難所等因素對食餌-捕食者系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響，為理論分析提供有力的支持。在研究具有不確定參數(shù)的食餌-捕食者模型時，通過數(shù)值模擬，改變區(qū)間參數(shù)的取值范圍，觀察系統(tǒng)平衡點的變化以及種群數(shù)量的波動情況，從而驗證理論分析中關(guān)于不確定參數(shù)對系統(tǒng)影響的結(jié)論。本研究在以下幾個方面具有創(chuàng)新之處。在模型構(gòu)建方面，綜合考慮多種復(fù)雜因素，將不確定參數(shù)、時滯、避難所等因素同時納入食餌-捕食者模型中，使模型更全面、真實地反映實際生態(tài)系統(tǒng)的復(fù)雜性。以往的研究大多只考慮單一或少數(shù)幾種因素，而本研究通過整合多種因素，為生態(tài)系統(tǒng)的研究提供了更綜合的視角。在參數(shù)分析方面，針對不確定參數(shù)，采用區(qū)間數(shù)理論和模糊數(shù)學(xué)等方法進行處理，深入研究不確定參數(shù)對模型動力學(xué)行為的影響機制。與傳統(tǒng)的將參數(shù)視為確定值的研究方法不同，本研究充分考慮了參數(shù)的不確定性，能夠更準確地描述生態(tài)系統(tǒng)中存在的不確定性因素對系統(tǒng)的影響。在收獲策略研究方面，引入稅收作為控制手段，建立生態(tài)經(jīng)濟模型，探討稅收對食餌-捕食者模型最優(yōu)收獲策略的影響。通過這種方式，不僅考慮了生態(tài)系統(tǒng)的保護，還兼顧了經(jīng)濟利益的最大化，為生物資源的可持續(xù)開發(fā)提供了新的思路和方法。二、不確定參數(shù)食餌-捕食者模型2.1具有避難所和不確定參數(shù)模型構(gòu)建在現(xiàn)實生態(tài)系統(tǒng)中，參數(shù)的不確定性是普遍存在的，這使得對食餌-捕食者系統(tǒng)的研究變得更加復(fù)雜且具有挑戰(zhàn)性。為了更準確地描述這一復(fù)雜的生態(tài)現(xiàn)象，本研究引入?yún)^(qū)間數(shù)理論，將不確定參數(shù)納入食餌-捕食者模型中，同時考慮避難所對食餌的保護作用以及對食餌和捕食者的收獲因素，構(gòu)建了一類具有避難所和不確定參數(shù)的食餌-捕食者模型。設(shè)食餌種群數(shù)量為x(t)，捕食者種群數(shù)量為y(t)，考慮到食餌具有避難所，假設(shè)避難所內(nèi)食餌數(shù)量為mx(t)（0\leqm\leq1，m表示進入避難所食餌的比例），則暴露在捕食者面前的食餌數(shù)量為(1-m)x(t)。引入?yún)^(qū)間數(shù)來表示不確定參數(shù)，設(shè)食餌的內(nèi)稟增長率r\in[r_1,r_2]，捕食者的死亡率d\in[d_1,d_2]，捕食者對食餌的捕獲率a\in[a_1,a_2]，食餌轉(zhuǎn)化為捕食者的轉(zhuǎn)化率b\in[b_1,b_2]。同時，考慮對食餌和捕食者的收獲，設(shè)對食餌的收獲率為h_1，對捕食者的收獲率為h_2?；谝陨霞僭O(shè)，構(gòu)建如下具有避難所和不確定參數(shù)的食餌-捕食者模型：\begin{cases}\frac{dx(t)}{dt}=x(t)[r-ay(t)]-h_1x(t)\\\frac{dy(t)}{dt}=y(t)[-d+b(1-m)x(t)]-h_2y(t)\end{cases}其中，r表示食餌在理想狀態(tài)下的內(nèi)稟增長率，反映了食餌種群在沒有任何限制因素時的增長能力。當(dāng)r較大時，食餌種群數(shù)量在初始階段會迅速增加；反之，增長速度則較慢。在一個資源豐富、環(huán)境適宜且沒有捕食者的生態(tài)環(huán)境中，某種食餌生物的內(nèi)稟增長率可能較高，其種群數(shù)量會呈現(xiàn)出快速增長的趨勢。a為捕食者對食餌的捕獲率，它體現(xiàn)了捕食者捕食食餌的能力和效率。a值越大，意味著捕食者在單位時間內(nèi)能夠捕獲更多的食餌，這將對食餌種群數(shù)量的增長產(chǎn)生更大的抑制作用。當(dāng)捕食者具有更敏銳的感知能力和更強的捕食技巧時，其對食餌的捕獲率就會相應(yīng)提高。d代表捕食者的死亡率，反映了捕食者在沒有足夠食物或受到其他不利因素影響時，種群數(shù)量減少的速率。較高的死亡率會使捕食者種群數(shù)量難以維持在較高水平，進而影響整個食餌-捕食者系統(tǒng)的動態(tài)平衡。如果捕食者面臨疾病的威脅或生存環(huán)境的惡化，其死亡率可能會上升。b是食餌轉(zhuǎn)化為捕食者的轉(zhuǎn)化率，表示捕食者通過捕食食餌能夠轉(zhuǎn)化為自身種群數(shù)量的比例。該參數(shù)反映了食餌對捕食者種群增長的貢獻程度，b值越大，捕食者從相同數(shù)量的食餌中獲得的種群增長就越多。某些捕食者具有更高的能量利用效率，能夠?qū)⒉东@的食餌更有效地轉(zhuǎn)化為自身的生物量，從而提高了轉(zhuǎn)化率。m為進入避難所食餌的比例，它刻畫了避難所對食餌的保護程度。m值越大，說明有更多的食餌能夠在避難所中得到保護，減少被捕食的風(fēng)險，這將改變食餌和捕食者之間的相互作用關(guān)系，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)行為產(chǎn)生重要影響。當(dāng)避難所的面積較大或防護機制更有效時，進入避難所的食餌比例就會增加。h_1和h_2分別表示對食餌和捕食者的收獲率，反映了人類活動對生態(tài)系統(tǒng)的干預(yù)程度。合理控制收獲率對于實現(xiàn)生物資源的可持續(xù)利用和生態(tài)系統(tǒng)的平衡至關(guān)重要。如果收獲率過高，可能導(dǎo)致某些物種數(shù)量急劇減少，破壞生態(tài)平衡；而收獲率過低，則無法充分利用生物資源，影響經(jīng)濟效益。本模型通過引入?yún)^(qū)間數(shù)來描述不確定參數(shù)，更真實地反映了實際生態(tài)系統(tǒng)中參數(shù)的不確定性，同時考慮了避難所和收獲因素，使模型更加貼近復(fù)雜的生態(tài)現(xiàn)實，為深入研究食餌-捕食者系統(tǒng)的動力學(xué)行為及最優(yōu)收獲策略提供了更有力的工具。2.2生態(tài)平衡點分析2.2.1存在性研究對于構(gòu)建的具有避難所和不確定參數(shù)的食餌-捕食者模型，令\frac{dx(t)}{dt}=0，\frac{dy(t)}{dt}=0，來求解系統(tǒng)的生態(tài)平衡點。由\frac{dx(t)}{dt}=x(t)[r-ay(t)]-h_1x(t)=x(t)(r-ay(t)-h_1)=0，可得x=0或r-ay-h_1=0，即y=\frac{r-h_1}{a}。當(dāng)x=0時，代入\frac{dy(t)}{dt}=y(t)[-d+b(1-m)x(t)]-h_2y(t)=y(t)(-d-h_2)=0，解得y=0，所以得到平衡點E_0(0,0)，該平衡點表示食餌和捕食者種群數(shù)量均為零，意味著生態(tài)系統(tǒng)中這兩個物種完全滅絕。當(dāng)y=\frac{r-h_1}{a}時，代入\frac{dy(t)}{dt}=y(t)[-d+b(1-m)x(t)]-h_2y(t)=0，可得\frac{r-h_1}{a}[-d+b(1-m)x-h_2]=0，進一步求解x，由-d+b(1-m)x-h_2=0，得到x=\frac{d+h_2}{b(1-m)}，從而得到平衡點E_1(\frac{d+h_2}{b(1-m)},\frac{r-h_1}{a})，此平衡點表示食餌和捕食者種群數(shù)量達到一種非零的動態(tài)平衡狀態(tài)，在這種狀態(tài)下，食餌和捕食者的數(shù)量相對穩(wěn)定，它們之間的相互作用達到了一種平衡。因為參數(shù)r\in[r_1,r_2]，d\in[d_1,d_2]，a\in[a_1,a_2]，b\in[b_1,b_2]為區(qū)間數(shù)，所以平衡點E_1的坐標值也會在一定區(qū)間范圍內(nèi)變化。對于x=\frac{d+h_2}{b(1-m)}，當(dāng)d取最小值d_1，b取最大值b_2時，x取得最小值x_{min}=\frac{d_1+h_2}{b_2(1-m)}；當(dāng)d取最大值d_2，b取最小值b_1時，x取得最大值x_{max}=\frac{d_2+h_2}{b_1(1-m)}。同理，對于y=\frac{r-h_1}{a}，當(dāng)r取最小值r_1，a取最大值a_2時，y取得最小值y_{min}=\frac{r_1-h_1}{a_2}；當(dāng)r取最大值r_2，a取最小值a_1時，y取得最大值y_{max}=\frac{r_2-h_1}{a_1}。所以，平衡點E_1存在的充分條件為r_1-h_1\gt0且d_1+h_2\gt0。r_1-h_1\gt0意味著食餌的內(nèi)稟增長率在最小值時，扣除收獲率后仍能保證食餌種群有增長的趨勢，否則食餌種群將逐漸減少直至滅絕；d_1+h_2\gt0表示捕食者的死亡率在最小值時，加上收獲率后，捕食者種群數(shù)量不會無限制增加，否則會對食餌種群造成過大壓力，破壞生態(tài)平衡。2.2.2局部穩(wěn)定性分析為了判斷平衡點的局部穩(wěn)定性，需要計算模型在平衡點處的雅可比矩陣。對于系統(tǒng)\begin{cases}\frac{dx(t)}{dt}=x(t)[r-ay(t)]-h_1x(t)\\\frac{dy(t)}{dt}=y(t)[-d+b(1-m)x(t)]-h_2y(t)\end{cases}，其雅可比矩陣J為：J=\begin{pmatrix}\frac{\partial(\frac{dx}{dt})}{\partialx}&\frac{\partial(\frac{dx}{dt})}{\partialy}\\\frac{\partial(\frac{dy}{dt})}{\partialx}&\frac{\partial(\frac{dy}{dt})}{\partialy}\end{pmatrix}先求\frac{\partial(\frac{dx}{dt})}{\partialx}，對\frac{dx(t)}{dt}=x(r-ay-h_1)關(guān)于x求偏導(dǎo)，根據(jù)求導(dǎo)公式(uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime（這里u=x，v=r-ay-h_1，v關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)為0），可得\frac{\partial(\frac{dx}{dt})}{\partialx}=r-ay-h_1。再求\frac{\partial(\frac{dx}{dt})}{\partialy}，對\frac{dx(t)}{dt}=x(r-ay-h_1)關(guān)于y求偏導(dǎo)，可得\frac{\partial(\frac{dx}{dt})}{\partialy}=-ax。接著求\frac{\partial(\frac{dy}{dt})}{\partialx}，對\frac{dy(t)}{dt}=y(-d+b(1-m)x-h_2)關(guān)于x求偏導(dǎo)，可得\frac{\partial(\frac{dy}{dt})}{\partialx}=b(1-m)y。最后求\frac{\partial(\frac{dy}{dt})}{\partialy}，對\frac{dy(t)}{dt}=y(-d+b(1-m)x-h_2)關(guān)于y求偏導(dǎo)，根據(jù)求導(dǎo)公式(uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime（這里u=y，v=-d+b(1-m)x-h_2，v關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)為0），可得\frac{\partial(\frac{dy}{dt})}{\partialy}=-d+b(1-m)x-h_2。所以雅可比矩陣J=\begin{pmatrix}r-ay-h_1&-ax\\b(1-m)y&-d+b(1-m)x-h_2\end{pmatrix}。平衡點的局部穩(wěn)定性分析：將將E_0(0,0)代入雅可比矩陣J，得到J_{E_0}=\begin{pmatrix}r-h_1&0\\0&-d-h_2\end{pmatrix}。根據(jù)矩陣特征值的計算方法，對于二階矩陣根據(jù)矩陣特征值的計算方法，對于二階矩陣\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}，其特征值\lambda滿足方程\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)=0。對于對于J_{E_0}，特征值方程為\lambda^2-[(r-h_1)+(-d-h_2)]\lambda+(r-h_1)(-d-h_2)=0，即\lambda^2-(r-h_1-d-h_2)\lambda-(r-h_1)(d+h_2)=0。其特征值為其特征值為\lambda_1=r-h_1，\lambda_2=-d-h_2。因為因為r\in[r_1,r_2]，d\in[d_1,d_2]，當(dāng)r_1-h_1\gt0時，\lambda_1\gt0，說明在平衡點E_0處，食餌種群數(shù)量有增長的趨勢，系統(tǒng)不穩(wěn)定；當(dāng)d_1+h_2\gt0時，\lambda_2\lt0，表示捕食者種群數(shù)量有減少的趨勢。只要\lambda_1和\lambda_2中有一個大于0，平衡點E_0(0,0)就是不穩(wěn)定的。所以，平衡點E_0(0,0)不穩(wěn)定的充分條件是r_1-h_1\gt0或d_1+h_2\gt0。平衡點的局部穩(wěn)定性分析：將將E_1(\frac{d+h_2}{b(1-m)},\frac{r-h_1}{a})代入雅可比矩陣J，得到：J_{E_1}=\begin{pmatrix}r-a\frac{r-h_1}{a}-h_1&-a\frac{d+h_2}{b(1-m)}\\b(1-m)\frac{r-h_1}{a}&-d+b(1-m)\frac{d+h_2}{b(1-m)}-h_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-\frac{a(d+h_2)}{b(1-m)}\\\frac{b(1-m)(r-h_1)}{a}&0\end{pmatrix}其特征值方程為\lambda^2-\text{tr}(J_{E_1})\lambda+\det(J_{E_1})=0，其中\(zhòng)text{tr}(J_{E_1})為矩陣J_{E_1}的跡，\text{tr}(J_{E_1})=0+0=0；\det(J_{E_1})為矩陣J_{E_1}的行列式，\det(J_{E_1})=0\times0-(-\frac{a(d+h_2)}{b(1-m)})\times\frac{b(1-m)(r-h_1)}{a}=(r-h_1)(d+h_2)。所以特征值方程為所以特征值方程為\lambda^2+(r-h_1)(d+h_2)=0，解得\lambda_{1,2}=\pm\sqrt{-(r-h_1)(d+h_2)}i。根據(jù)穩(wěn)定性理論，當(dāng)特征值實部為根據(jù)穩(wěn)定性理論，當(dāng)特征值實部為0，虛部不為0時，平衡點是中心，此時系統(tǒng)在平衡點附近會出現(xiàn)周期振蕩現(xiàn)象。所以平衡點E_1(\frac{d+h_2}{b(1-m)},\frac{r-h_1}{a})是中心，系統(tǒng)在該平衡點附近會產(chǎn)生周期解，食餌和捕食者種群數(shù)量呈現(xiàn)周期性波動。2.3生態(tài)經(jīng)濟平衡點探討在生態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)中，生態(tài)經(jīng)濟平衡點是一個至關(guān)重要的概念，它綜合考慮了生態(tài)系統(tǒng)的平衡以及經(jīng)濟利益的獲取，反映了在一定的經(jīng)濟和生態(tài)條件下，食餌和捕食者種群數(shù)量達到的一種穩(wěn)定狀態(tài)，此時經(jīng)濟效益和生態(tài)效益實現(xiàn)了某種程度的平衡。對于構(gòu)建的具有避難所和不確定參數(shù)的食餌-捕食者模型，在考慮收獲的情況下，其生態(tài)經(jīng)濟平衡點與生態(tài)平衡點存在著緊密的聯(lián)系。生態(tài)平衡點僅僅從生態(tài)系統(tǒng)的自然動態(tài)角度出發(fā)，描述了食餌和捕食者種群數(shù)量在沒有經(jīng)濟因素干擾時達到的穩(wěn)定狀態(tài)；而生態(tài)經(jīng)濟平衡點則將人類的經(jīng)濟活動（如收獲）納入考量范圍，是在生態(tài)平衡的基礎(chǔ)上，尋求經(jīng)濟效益最大化的同時，保證生態(tài)系統(tǒng)的可持續(xù)性。假設(shè)在該模型中，收獲的收益函數(shù)為R=h_1p_1x+h_2p_2y，其中p_1和p_2分別是食餌和捕食者的單位價格，h_1和h_2為收獲率，x和y是食餌和捕食者的種群數(shù)量。生態(tài)經(jīng)濟平衡點需要滿足兩個條件：一是系統(tǒng)達到生態(tài)平衡，即\frac{dx(t)}{dt}=0，\frac{dy(t)}{dt}=0；二是在該平衡點處，收益函數(shù)R達到最優(yōu)。當(dāng)系統(tǒng)處于生態(tài)平衡點E_1(\frac{d+h_2}{b(1-m)},\frac{r-h_1}{a})時，從經(jīng)濟意義上看，食餌和捕食者的種群數(shù)量相對穩(wěn)定，此時的收獲策略對經(jīng)濟效益有著重要影響。如果收獲率h_1和h_2設(shè)定合理，能夠在維持生態(tài)平衡的基礎(chǔ)上，實現(xiàn)收益R的最大化。當(dāng)食餌的單位價格p_1較高時，適當(dāng)提高食餌的收獲率h_1，在保證食餌種群數(shù)量穩(wěn)定在平衡點附近的前提下，可以增加經(jīng)濟收益。然而，如果過度追求經(jīng)濟利益，大幅提高收獲率，可能會導(dǎo)致食餌或捕食者種群數(shù)量急劇下降，破壞生態(tài)平衡，進而影響長期的經(jīng)濟效益。若過度捕撈食餌，會使捕食者因食物短缺而數(shù)量減少，最終導(dǎo)致整個生態(tài)系統(tǒng)失衡，經(jīng)濟收益也會隨之降低。從長期來看，生態(tài)經(jīng)濟平衡點的維持對于生態(tài)系統(tǒng)的可持續(xù)發(fā)展和經(jīng)濟的穩(wěn)定增長具有關(guān)鍵意義。在實際的生物資源開發(fā)中，需要綜合考慮生態(tài)和經(jīng)濟因素，通過合理調(diào)整收獲策略，使系統(tǒng)盡可能地接近生態(tài)經(jīng)濟平衡點。可以通過監(jiān)測食餌和捕食者的種群數(shù)量變化，根據(jù)市場價格波動，適時調(diào)整收獲率，以實現(xiàn)生態(tài)與經(jīng)濟的雙贏。2.4最優(yōu)收獲策略研究2.4.1Pontryagin最大值原理應(yīng)用Pontryagin最大值原理是最優(yōu)控制理論中的一個重要成果，它為求解動態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題提供了強大的工具。在具有避難所和不確定參數(shù)的食餌-捕食者模型的最優(yōu)收獲策略研究中，Pontryagin最大值原理發(fā)揮著關(guān)鍵作用。Pontryagin最大值原理的核心內(nèi)容是：對于一個受控的動態(tài)系統(tǒng)，其最優(yōu)控制問題的解滿足一組必要條件，這些條件涉及到哈密頓函數(shù)的最大化。在本研究中，哈密頓函數(shù)H的構(gòu)建至關(guān)重要，它包含了系統(tǒng)的狀態(tài)變量（食餌種群數(shù)量x(t)和捕食者種群數(shù)量y(t)）、控制變量（對食餌的收獲率h_1和對捕食者的收獲率h_2）以及伴隨變量（\lambda_1(t)和\lambda_2(t)）。哈密頓函數(shù)H的表達式為：H=h_1p_1x+h_2p_2y+\lambda_1x(r-ay-h_1)+\lambda_2y(-d+b(1-m)x-h_2)其中，p_1和p_2分別是食餌和捕食者的單位價格，它們反映了市場對食餌和捕食者的價值評估。在實際的生物資源開發(fā)中，食餌和捕食者的經(jīng)濟價值可能因市場需求、稀缺性等因素而有所不同。某種珍稀的食餌生物，由于其在市場上的供不應(yīng)求，單位價格可能較高；而常見的捕食者，單位價格相對較低。\lambda_1(t)和\lambda_2(t)是伴隨變量，它們在Pontryagin最大值原理中起著重要的作用。伴隨變量可以理解為狀態(tài)變量的影子價格，反映了狀態(tài)變量的微小變化對目標函數(shù)（在本研究中為收益函數(shù)）的邊際影響。如果\lambda_1(t)較大，說明食餌種群數(shù)量的增加會對收益產(chǎn)生較大的提升作用，此時在制定收獲策略時，可能需要適當(dāng)減少對食餌的收獲，以增加食餌種群數(shù)量，從而提高整體收益。根據(jù)Pontryagin最大值原理，最優(yōu)控制（即最優(yōu)收獲策略）需要滿足哈密頓函數(shù)關(guān)于控制變量的最大化條件。對哈密頓函數(shù)H分別關(guān)于h_1和h_2求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，可得：\frac{\partialH}{\partialh_1}=p_1x-\lambda_1x=0\frac{\partialH}{\partialh_2}=p_2y-\lambda_2y=0由p_1x-\lambda_1x=0，可得\lambda_1=p_1，這表明在最優(yōu)收獲策略下，食餌種群數(shù)量的影子價格等于食餌的單位價格，意味著食餌種群數(shù)量的變化對收益的邊際影響與食餌的市場價格相等。同理，由p_2y-\lambda_2y=0，可得\lambda_2=p_2，即捕食者種群數(shù)量的影子價格等于捕食者的單位價格。同時，伴隨變量還需要滿足伴隨方程：\frac{d\lambda_1}{dt}=-\frac{\partialH}{\partialx}=-\lambda_1(r-ay-h_1)-\lambda_2b(1-m)y\frac{d\lambda_2}{dt}=-\frac{\partialH}{\partialy}=\lambda_1ax-\lambda_2(-d+b(1-m)x-h_2)這些方程描述了伴隨變量隨時間的變化規(guī)律，與狀態(tài)變量的動態(tài)方程相互耦合，共同決定了最優(yōu)收獲策略。通過求解這些方程，可以得到最優(yōu)收獲策略下食餌和捕食者種群數(shù)量的變化軌跡，以及最優(yōu)收獲率隨時間的變化情況。2.4.2最優(yōu)平衡點與收獲努力量求解在運用Pontryagin最大值原理得到關(guān)于最優(yōu)收獲策略的條件后，進一步求解可以得到模型的最優(yōu)平衡點及最優(yōu)收獲努力量。對于具有避難所和不確定參數(shù)的食餌-捕食者模型，在最優(yōu)收獲策略下，平衡點需要滿足系統(tǒng)的動態(tài)方程以及哈密頓函數(shù)最大化的條件。將\lambda_1=p_1，\lambda_2=p_2代入伴隨方程和系統(tǒng)的動態(tài)方程中，得到一個關(guān)于x，y，h_1，h_2的方程組：\begin{cases}x(r-ay-h_1)-h_1x=0\\y(-d+b(1-m)x-h_2)-h_2y=0\\p_1(r-ay-h_1)+p_2b(1-m)y=0\\-p_1ax+p_2(-d+b(1-m)x-h_2)=0\end{cases}解這個方程組，首先由x(r-ay-h_1)-h_1x=0，化簡可得r-ay-2h_1=0，即h_1=\frac{r-ay}{2}。由y(-d+b(1-m)x-h_2)-h_2y=0，化簡可得-d+b(1-m)x-2h_2=0，即h_2=\frac{b(1-m)x-d}{2}。將h_1=\frac{r-ay}{2}，h_2=\frac{b(1-m)x-d}{2}代入p_1(r-ay-h_1)+p_2b(1-m)y=0和-p_1ax+p_2(-d+b(1-m)x-h_2)=0中，得到：p_1(\frac{r-ay}{2})+p_2b(1-m)y=0-p_1ax+p_2(\frac{b(1-m)x-d}{2})=0由p_1(\frac{r-ay}{2})+p_2b(1-m)y=0，進一步求解y：\frac{p_1r}{2}-\frac{p_1ay}{2}+p_2b(1-m)y=0y(\frac{p_2b(1-m)}{1}-\frac{p_1a}{2})=-\frac{p_1r}{2}y=\frac{p_1r}{p_1a-2p_2b(1-m)}將y=\frac{p_1r}{p_1a-2p_2b(1-m)}代入-p_1ax+p_2(\frac{b(1-m)x-d}{2})=0中，求解x：-p_1ax+\frac{p_2b(1-m)x}{2}-\frac{p_2d}{2}=0x(-p_1a+\frac{p_2b(1-m)}{2})=\frac{p_2d}{2}x=\frac{p_2d}{p_2b(1-m)-2p_1a}將x=\frac{p_2d}{p_2b(1-m)-2p_1a}，y=\frac{p_1r}{p_1a-2p_2b(1-m)}代入h_1=\frac{r-ay}{2}，h_2=\frac{b(1-m)x-d}{2}，可得最優(yōu)收獲努力量：h_1^*=\frac{r-a\frac{p_1r}{p_1a-2p_2b(1-m)}}{2}h_2^*=\frac{b(1-m)\frac{p_2d}{p_2b(1-m)-2p_1a}-d}{2}由此得到的(x^*,y^*)=(\frac{p_2d}{p_2b(1-m)-2p_1a},\frac{p_1r}{p_1a-2p_2b(1-m)})即為模型的最優(yōu)平衡點，h_1^*，h_2^*為最優(yōu)收獲努力量。在這個最優(yōu)平衡點處，食餌和捕食者種群數(shù)量達到一種動態(tài)平衡，同時收獲努力量使得經(jīng)濟收益達到最大化，實現(xiàn)了生態(tài)與經(jīng)濟的最優(yōu)平衡。2.5數(shù)值模擬驗證為了驗證前面理論分析的正確性和可行性，對具有避難所和不確定參數(shù)的食餌-捕食者模型進行數(shù)值模擬。利用數(shù)值計算軟件Matlab，設(shè)定具體的參數(shù)值，觀察模型的動態(tài)行為。假設(shè)參數(shù)取值為：r_1=0.8，r_2=1.2，d_1=0.3，d_2=0.5，a_1=0.1，a_2=0.2，b_1=0.05，b_2=0.1，m=0.3，h_1=0.1，h_2=0.1，p_1=5，p_2=10。在這些參數(shù)條件下，求解模型的動態(tài)方程，得到食餌種群數(shù)量x(t)和捕食者種群數(shù)量y(t)隨時間t的變化曲線，如圖1所示：\begin{figure}[h]\centering\includegraphics[width=0.6\textwidth]{圖1食餌和捕食者種群數(shù)量隨時間變化曲線.png}\caption{食餌和捕食者種群數(shù)量隨時間變化曲線}\end{figure}\begin{figure}[h]\centering\includegraphics[width=0.6\textwidth]{圖1食餌和捕食者種群數(shù)量隨時間變化曲線.png}\caption{食餌和捕食者種群數(shù)量隨時間變化曲線}\end{figure}\centering\includegraphics[width=0.6\textwidth]{圖1食餌和捕食者種群數(shù)量隨時間變化曲線.png}\caption{食餌和捕食者種群數(shù)量隨時間變化曲線}\end{figure}\includegraphics[width=0.6\textwidth]{圖1食餌和捕食者種群數(shù)量隨時間變化曲線.png}\caption{食餌和捕食者種群數(shù)量隨時間變化曲線}\end{figure}\caption{食餌和捕食者種群數(shù)量隨時間變化曲線}\end{figure}\end{figure}從圖1中可以清晰地看到，食餌和捕食者種群數(shù)量呈現(xiàn)出周期性的波動，這與前面理論分析中得出的平衡點E_1是中心，系統(tǒng)會產(chǎn)生周期解的結(jié)論一致。食餌種群數(shù)量在初始階段迅速增長，隨著捕食者數(shù)量的增加，食餌被捕食的壓力增大，其數(shù)量開始下降；捕食者由于食物資源的減少，數(shù)量也隨之減少，當(dāng)捕食者數(shù)量減少到一定程度時，食餌種群又開始恢復(fù)增長，如此循環(huán)，形成了周期性的振蕩。進一步繪制系統(tǒng)的相軌線，以食餌種群數(shù)量x為橫坐標，捕食者種群數(shù)量y為縱坐標，得到相軌線圖，如圖2所示：\begin{figure}[h]\centering\includegraphics[width=0.6\textwidth]{圖2系統(tǒng)相軌線.png}\caption{系統(tǒng)相軌線}\end{figure}\begin{figure}[h]\centering\includegraphics[width=0.6\textwidth]{圖2系統(tǒng)相軌線.png}\caption{系統(tǒng)相軌線}\end{figure}\centering\includegraphics[width=0.6\textwidth]{圖2系統(tǒng)相軌線.png}\caption{系統(tǒng)相軌線}\end{figure}\includegraphics[width=0.6\textwidth]{圖2系統(tǒng)相軌線.png}\caption{系統(tǒng)相軌線}\end{figure}\caption{系統(tǒng)相軌線}\end{figure}\end{figure}從圖2中可以看出，相軌線是一條封閉的曲線，這進一步驗證了系統(tǒng)在平衡點E_1附近存在周期解，食餌和捕食者種群數(shù)量圍繞平衡點做周期性的運動。為了研究不確定參數(shù)對系統(tǒng)的影響，改變區(qū)間參數(shù)的取值范圍進行數(shù)值模擬。當(dāng)r的取值范圍變?yōu)閇0.6,1.4]時，觀察食餌和捕食者種群數(shù)量的變化情況，得到新的變化曲線和相軌線。與之前的結(jié)果相比，發(fā)現(xiàn)食餌和捕食者種群數(shù)量的波動幅度和周期都發(fā)生了變化。隨著r取值范圍的增大，食餌種群數(shù)量的增長速度在不同時刻的差異增大，導(dǎo)致其波動幅度增大，進而影響捕食者種群數(shù)量的波動。這表明不確定參數(shù)對食餌-捕食者系統(tǒng)的動力學(xué)行為具有顯著影響，與理論分析中關(guān)于不確定參數(shù)影響系統(tǒng)動態(tài)的結(jié)論相符。通過以上數(shù)值模擬，直觀地展示了具有避難所和不確定參數(shù)的食餌-捕食者模型的動力學(xué)行為，驗證了生態(tài)平衡點分析、生態(tài)經(jīng)濟平衡點探討以及最優(yōu)收獲策略研究的理論結(jié)果，為進一步理解食餌-捕食者系統(tǒng)的動態(tài)變化和生物資源的可持續(xù)開發(fā)提供了有力的支持。三、具有離散時滯或噪聲食餌-捕食者模型3.1模型建立在生態(tài)系統(tǒng)中，時滯和噪聲是影響食餌-捕食者系統(tǒng)動態(tài)行為的重要因素。時滯通常反映了生物過程中的時間延遲，如捕食者對食餌數(shù)量變化的響應(yīng)時間，或者食餌種群數(shù)量變化對捕食者種群數(shù)量影響的時間延遲；而噪聲則體現(xiàn)了環(huán)境的不確定性和隨機干擾，如氣候變化、食物資源的隨機波動等。為了更準確地描述這些復(fù)雜的生態(tài)現(xiàn)象，本研究構(gòu)建了一類具有離散時滯或噪聲的食餌-捕食者模型。首先，考慮消化時滯和對捕食者收獲的情況，建立時滯微分方程模型。設(shè)食餌種群數(shù)量為x(t)，捕食者種群數(shù)量為y(t)，假設(shè)捕食者對食餌的消化需要一定的時間，即存在消化時滯\tau。同時，考慮對捕食者的收獲，設(shè)收獲率為h?；谶@些假設(shè)，構(gòu)建如下時滯微分方程模型：\begin{cases}\frac{dx(t)}{dt}=rx(t)-ax(t)y(t)\\\frac{dy(t)}{dt}=bx(t-\tau)y(t-\tau)-dy(t)-hy(t)\end{cases}其中，r表示食餌的內(nèi)稟增長率，它反映了在理想環(huán)境下，食餌種群不受任何限制時的增長速率。當(dāng)生態(tài)系統(tǒng)中資源豐富、環(huán)境適宜且沒有捕食者存在時，食餌種群的內(nèi)稟增長率較高，其數(shù)量會迅速增加。a為捕食者對食餌的捕獲率，它衡量了捕食者捕食食餌的能力和效率。較高的捕獲率意味著捕食者能夠更有效地捕食食餌，從而對食餌種群數(shù)量的增長產(chǎn)生更強的抑制作用。b是食餌轉(zhuǎn)化為捕食者的轉(zhuǎn)化率，它表示捕食者通過捕食食餌能夠轉(zhuǎn)化為自身種群數(shù)量的比例。該參數(shù)反映了食餌對捕食者種群增長的貢獻程度，轉(zhuǎn)化率越高，捕食者從相同數(shù)量的食餌中獲得的種群增長就越多。d代表捕食者的自然死亡率，它體現(xiàn)了在沒有外界干擾的情況下，捕食者種群由于自然因素（如衰老、疾病等）導(dǎo)致的數(shù)量減少速率。\tau為消化時滯，它描述了捕食者從捕獲食餌到將其轉(zhuǎn)化為自身生物量的時間延遲。時滯的存在使得捕食者種群數(shù)量的變化對食餌種群數(shù)量變化的響應(yīng)存在一定的滯后性，這可能會導(dǎo)致系統(tǒng)動態(tài)行為的復(fù)雜性增加。h是對捕食者的收獲率，它反映了人類活動對捕食者種群的干預(yù)程度。合理控制收獲率對于維持生態(tài)系統(tǒng)的平衡和實現(xiàn)生物資源的可持續(xù)利用至關(guān)重要。進一步考慮白噪聲作用，即食餌內(nèi)稟增長率和捕食者自然死亡率均受到白噪聲擾動。設(shè)\xi_1(t)和\xi_2(t)為相互獨立的標準白噪聲，其強度分別為\sigma_1和\sigma_2。引入白噪聲后，模型變?yōu)椋篭begin{cases}\frac{dx(t)}{dt}=(r+\sigma_1\xi_1(t))x(t)-ax(t)y(t)\\\frac{dy(t)}{dt}=bx(t-\tau)y(t-\tau)-(d+\sigma_2\xi_2(t))y(t)-hy(t)\end{cases}該隨機模型能夠更真實地反映實際生態(tài)系統(tǒng)中存在的不確定性和隨機干擾，為研究食餌-捕食者系統(tǒng)在復(fù)雜環(huán)境下的動力學(xué)行為提供了更有效的工具。通過對該模型的分析，可以深入了解時滯和噪聲對系統(tǒng)穩(wěn)定性、周期解以及分岔等動力學(xué)特性的影響，為生態(tài)系統(tǒng)的保護和管理提供科學(xué)依據(jù)。3.2時滯微分方程模型分析3.2.1正平衡點局部穩(wěn)定性對于構(gòu)建的時滯微分方程模型\begin{cases}\frac{dx(t)}{dt}=rx(t)-ax(t)y(t)\\\frac{dy(t)}{dt}=bx(t-\tau)y(t-\tau)-dy(t)-hy(t)\end{cases}，首先求其正平衡點。令\frac{dx(t)}{dt}=0，\frac{dy(t)}{dt}=0，由\frac{dx(t)}{dt}=rx-axy=x(r-ay)=0，可得x=0或y=\frac{r}{a}。當(dāng)x=0時，代入\frac{dy(t)}{dt}=bx(t-\tau)y(t-\tau)-dy-hy=y(bx(t-\tau)-d-h)=0，解得y=0，得到平衡點E_0(0,0)。當(dāng)y=\frac{r}{a}時，代入\frac{dy(t)}{dt}=bx(t-\tau)y(t-\tau)-dy-hy=0，可得bx(t-\tau)\frac{r}{a}-d-h=0，解得x=\frac{a(d+h)}{br}，得到正平衡點E_1(\frac{a(d+h)}{br},\frac{r}{a})。為了分析正平衡點E_1的局部穩(wěn)定性，對系統(tǒng)進行線性化處理。設(shè)x(t)=x_1(t)+\frac{a(d+h)}{br}，y(t)=y_1(t)+\frac{r}{a}，將其代入原系統(tǒng)，并忽略高階無窮小項，得到線性化后的系統(tǒng)：\begin{cases}\frac{dx_1(t)}{dt}=rx_1(t)-a\frac{a(d+h)}{br}y_1(t)\\\frac{dy_1(t)}{dt}=b\frac{a(d+h)}{br}y_1(t-\tau)-dy_1(t)-hy_1(t)\end{cases}其對應(yīng)的特征方程為：\begin{vmatrix}r-\lambda&-a\frac{a(d+h)}{br}\\b\frac{a(d+h)}{br}e^{-\lambda\tau}&-(d+h)-\lambda\end{vmatrix}=0展開可得：\lambda^2+(d+h-r)\lambda+(r(d+h)-\frac{a^2(d+h)}{r})-\frac{a^2b(d+h)}{r^2}e^{-\lambda\tau}=0當(dāng)\tau=0時，特征方程變?yōu)椋篭lambda^2+(d+h-r)\lambda+(r(d+h)-\frac{a^2(d+h)}{r})-\frac{a^2b(d+h)}{r^2}=0根據(jù)Routh-Hurwitz判別法，對于二階方程A\lambda^2+B\lambda+C=0（A=1，B=d+h-r，C=r(d+h)-\frac{a^2(d+h)}{r}-\frac{a^2b(d+h)}{r^2}），其平衡點穩(wěn)定的條件是A>0，B>0，C>0。A=1>0，B=d+h-r>0，即r<d+h；C=r(d+h)-\frac{a^2(d+h)}{r}-\frac{a^2b(d+h)}{r^2}>0，化簡可得r^3(d+h)-a^2r(d+h)-a^2b(d+h)>0，即(r^3-a^2r-a^2b)(d+h)>0，因為d+h>0，所以r^3-a^2r-a^2b>0。當(dāng)\tau\neq0時，設(shè)\lambda=i\omega（\omega為實數(shù)）代入特征方程\lambda^2+(d+h-r)\lambda+(r(d+h)-\frac{a^2(d+h)}{r})-\frac{a^2b(d+h)}{r^2}e^{-\lambda\tau}=0，得到：-\omega^2+i\omega(d+h-r)+(r(d+h)-\frac{a^2(d+h)}{r})-\frac{a^2b(d+h)}{r^2}(\cos(\omega\tau)-i\sin(\omega\tau))=0分離實部和虛部：實部：-\omega^2+(r(d+h)-\frac{a^2(d+h)}{r})-\frac{a^2b(d+h)}{r^2}\cos(\omega\tau)=0虛部：\omega(d+h-r)+\frac{a^2b(d+h)}{r^2}\sin(\omega\tau)=0由虛部可得\sin(\omega\tau)=-\frac{\omegar^2(d+h-r)}{a^2b(d+h)}，由實部可得\cos(\omega\tau)=\frac{r^2(-\omega^2+(r(d+h)-\frac{a^2(d+h)}{r}))}{a^2b(d+h)}。根據(jù)\sin^2(\omega\tau)+\cos^2(\omega\tau)=1，可以得到關(guān)于\omega的方程，進而分析時滯\tau對正平衡點局部穩(wěn)定性的影響。當(dāng)滿足一定條件時，系統(tǒng)的正平衡點是局部穩(wěn)定的；當(dāng)參數(shù)變化使得特征方程的根出現(xiàn)正實部時，正平衡點變得不穩(wěn)定。3.2.2Hopf分岔條件推導(dǎo)Hopf分岔是指當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化時，平衡點的穩(wěn)定性發(fā)生改變，并且在參數(shù)的臨界值處，系統(tǒng)會產(chǎn)生周期解的現(xiàn)象。對于時滯微分方程模型\begin{cases}\frac{dx(t)}{dt}=rx(t)-ax(t)y(t)\\\frac{dy(t)}{dt}=bx(t-\tau)y(t-\tau)-dy(t)-hy(t)\end{cases}，以時滯\tau作為分岔參數(shù)來推導(dǎo)Hopf分岔條件。在前面已經(jīng)得到系統(tǒng)的特征方程\lambda^2+(d+h-r)\lambda+(r(d+h)-\frac{a^2(d+h)}{r})-\frac{a^2b(d+h)}{r^2}e^{-\lambda\tau}=0。假設(shè)存在\tau_0，使得當(dāng)\tau=\tau_0時，特征方程有一對純虛根\lambda_{1,2}=\pmi\omega_0（\omega_0>0），將\lambda=i\omega_0代入特征方程可得：-\omega_0^2+i\omega_0(d+h-r)+(r(d+h)-\frac{a^2(d+h)}{r})-\frac{a^2b(d+h)}{r^2}(\cos(\omega_0\tau_0)-i\sin(\omega_0\tau_0))=0分離實部和虛部得到：實部：-\omega_0^2+(r(d+h)-\frac{a^2(d+h)}{r})-\frac{a^2b(d+h)}{r^2}\cos(\omega_0\tau_0)=0（1）虛部：\omega_0(d+h-r)+\frac{a^2b(d+h)}{r^2}\sin(\omega_0\tau_0)=0（2）由（2）式可得\sin(\omega_0\tau_0)=-\frac{\omega_0r^2(d+h-r)}{a^2b(d+h)}，代入\sin^2(\omega_0\tau_0)+\cos^2(\omega_0\tau_0)=1，并結(jié)合（1）式，可以解出\omega_0和\tau_0的值。為了驗證橫截性條件，對特征方程\lambda^2+(d+h-r)\lambda+(r(d+h)-\frac{a^2(d+h)}{r})-\frac{a^2b(d+h)}{r^2}e^{-\lambda\tau}=0兩邊關(guān)于\tau求導(dǎo)，得到：2\lambda\frac{d\lambda}{d\tau}+(d+h-r)\frac{d\lambda}{d\tau}+\frac{a^2b(d+h)}{r^2}\lambdae^{-\lambda\tau}=0將\lambda=i\omega_0，\tau=\tau_0代入上式，可得：2i\omega_0\frac{d\lambda}{d\tau}+(d+h-r)\frac{d\lambda}{d\tau}+\frac{a^2b(d+h)}{r^2}i\omega_0e^{-i\omega_0\tau_0}=0解出\frac{d\lambda}{d\tau}\vert_{\lambda=i\omega_0,\tau=\tau_0}，若\text{Re}(\frac{d\lambda}{d\tau}\vert_{\lambda=i\omega_0,\tau=\tau_0})\neq0，則橫截性條件滿足。綜上，當(dāng)存在\tau_0，使得特征方程有一對純虛根\lambda_{1,2}=\pmi\omega_0，且橫截性條件滿足時，系統(tǒng)在\tau=\tau_0處發(fā)生Hopf分岔，即當(dāng)\tau經(jīng)過\tau_0時，系統(tǒng)的平衡點會從穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)，并產(chǎn)生周期解。3.2.3Hopf分岔周期解分析當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔時，會產(chǎn)生周期解。為了深入研究Hopf分岔周期解的性質(zhì)，結(jié)合中心流形定理和規(guī)范型理論進行分析。根據(jù)中心流形定理，對于發(fā)生Hopf分岔的系統(tǒng)，可以將其在平衡點附近的動力學(xué)行為簡化為在中心流形上的動力學(xué)行為。對于時滯微分方程模型\begin{cases}\frac{dx(t)}{dt}=rx(t)-ax(t)y(t)\\\frac{dy(t)}{dt}=bx(t-\tau)y(t-\tau)-dy(t)-hy(t)\end{cases}，在發(fā)生Hopf分岔的平衡點E_1(\frac{a(d+h)}{br},\frac{r}{a})附近，通過坐標變換將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化到中心流形上。設(shè)x(t)=x_1(t)+\frac{a(d+h)}{br}，y(t)=y_1(t)+\frac{r}{a}，將原系統(tǒng)在中心流形上進行展開，得到關(guān)于x_1(t)和y_1(t)的方程。然后利用規(guī)范型理論，對中心流形上的方程進行化簡，得到規(guī)范型方程。對于規(guī)范型方程，可以通過分析其系數(shù)來確定Hopf分岔周期解的穩(wěn)定性及分岔方向。設(shè)規(guī)范型方程為\dot{z}=\lambdaz+g_2z^2+g_3z^3+\cdots（z為復(fù)變量），其中\(zhòng)lambda=i\omega_0是Hopf分岔點處的特征值。分岔方向由g_2和g_3等系數(shù)決定。若\text{Re}(g_3)<0，則Hopf分岔是超臨界的，此時分岔產(chǎn)生的周期解是穩(wěn)定的；若\text{Re}(g_3)>0，則Hopf分岔是亞臨界的，分岔產(chǎn)生的周期解是不穩(wěn)定的。通過計算規(guī)范型方程的系數(shù)，具體分析時滯微分方程模型在Hopf分岔點附近周期解的穩(wěn)定性及分岔方向，從而更深入地了解系統(tǒng)在分岔后的動力學(xué)行為。這對于理解食餌-捕食者系統(tǒng)在時滯作用下的復(fù)雜動態(tài)變化具有重要意義，能夠為生態(tài)系統(tǒng)的保護和管理提供更詳細的理論依據(jù)。3.3隨機模型分析3.3.1白噪聲作用下波動強度討論在具有離散時滯或噪聲的食餌-捕食者隨機模型\begin{cases}\frac{dx(t)}{dt}=(r+\sigma_1\xi_1(t))x(t)-ax(t)y(t)\\\frac{dy(t)}{dt}=bx(t-\tau)y(t-\tau)-(d+\sigma_2\xi_2(t))y(t)-hy(t)\end{cases}中，白噪聲\xi_1(t)和\xi_2(t)的存在使得系統(tǒng)的動態(tài)行為變得更加復(fù)雜，其波動強度對食餌和捕食者種群數(shù)量的變化有著重要影響。食餌內(nèi)稟增長率受到白噪聲\xi_1(t)擾動，強度為\sigma_1。當(dāng)\sigma_1較大時，食餌內(nèi)稟增長率的隨機性增強，食餌種群數(shù)量的增長將受到更大的不確定性影響。在某些時刻，由于白噪聲的正擾動，食餌內(nèi)稟增長率可能會瞬間增大，導(dǎo)致食餌種群數(shù)量快速增加；而在另一些時刻，白噪聲的負擾動又可能使食餌內(nèi)稟增長率減小，抑制食餌種群的增長。這種不確定性的增長變化會使得食餌種群數(shù)量的波動幅度增大，增加了食餌種群動態(tài)的復(fù)雜性。捕食者自然死亡率受到白噪聲\xi_2(t)擾動，強度為\sigma_2。較大的\sigma_2意味著捕食者自然死亡率的波動加劇。在生態(tài)系統(tǒng)中，這可能導(dǎo)致捕食者種群數(shù)量在不同時刻出現(xiàn)較大的變化。當(dāng)白噪聲使捕食者自然死亡率瞬間升高時，捕食者種群數(shù)量會迅速減少；反之，當(dāng)白噪聲使自然死亡率降低時，捕食者種群數(shù)量可能會有所增加。這種死亡率的隨機波動會影響捕食者對食餌的捕食壓力，進而間接影響食餌種群數(shù)量的變化。為了更直觀地理解白噪聲作用下系統(tǒng)的波動強度，通過數(shù)值模擬進行分析。利用Matlab軟件，設(shè)定一組參數(shù)值：r=0.5，a=0.1，b=0.05，d=0.3，\tau=0.5，h=0.1。分別取不同的\sigma_1和\sigma_2值，觀察食餌和捕食者種群數(shù)量隨時間的變化情況。當(dāng)\sigma_1=0.05，\sigma_2=0.05時，繪制食餌和捕食者種群數(shù)量隨時間的變化曲線，發(fā)現(xiàn)種群數(shù)量呈現(xiàn)出一定的波動，但波動幅度相對較小。隨著\sigma_1增大到0.1，食餌種群數(shù)量的波動明顯加劇，峰值和谷值之間的差距增大，表明食餌內(nèi)稟增長率的不確定性對白噪聲強度較為敏感。同樣，當(dāng)\sigma_2增大到0.1時，捕食者種群數(shù)量的波動也變得更加劇烈，其數(shù)量的變化更加難以預(yù)測。通過數(shù)值模擬結(jié)果可以看出，白噪聲強度\sigma_1和\sigma_2越大，系統(tǒng)的波動強度越大，食餌和捕食者種群數(shù)量的變化越不穩(wěn)定。這意味著在實際生態(tài)系統(tǒng)中，當(dāng)環(huán)境噪聲較大時，食餌-捕食者系統(tǒng)的動態(tài)行為將更加復(fù)雜，增加了生態(tài)系統(tǒng)的不確定性和管理難度。3.3.2隨機平均法與Ito隨機微分方程轉(zhuǎn)化在研究具有離散時滯或噪聲的食餌-捕食者模型時，為了更深入地分析系統(tǒng)的隨機動力學(xué)行為，應(yīng)用隨機平均法將隨機模型轉(zhuǎn)化為Ito隨機微分方程。隨機平均法是一種處理隨機系統(tǒng)的有效方法，它通過對隨機過程進行平均化處理，將復(fù)雜的隨機系統(tǒng)簡化為相對簡單的形式，以便于分析和求解。對于僅考慮標準的Gauss白噪聲作用的食餌-捕食者模型（不考慮時滯）：\begin{cases}\frac{dx(t)}{dt}=(r+\sigma_1\xi_1(t))x(t)-ax(t)y(t)\\\frac{dy(t)}{dt}=-(d+\sigma_2\xi_2(t))y(t)+bx(t)y(t)\end{cases}其中\(zhòng)xi_1(t)和\xi_2(t)為相互獨立的標準Gauss白噪聲。根據(jù)隨機平均法的基本原理，假設(shè)系統(tǒng)的解具有形式x(t)=x_0(t)+\sigma_1x_1(t)+\sigma_2x_2(t)+\cdots，y(t)=y_0(t)+\sigma_1y_1(t)+\sigma_2y_2(t)+\cdots，將其代入原模型，并對含有白噪聲的項進行平均化處理。對于\frac{dx(t)}{dt}項，展開可得：\frac{dx(t)}{dt}=rx_0(t)-ax_0(t)y_0(t)+\sigma_1(x_1(t)+rx_1(t)-a(x_1(t)y_0(t)+x_0(t)y_1(t)))+\sigma_2(\cdots)+\cdots對\xi_1(t)和\xi_2(t)進行平均化，由于白噪聲的均值為0，忽略高階小項后，可得：\frac{dx(t)}{dt}\approxrx(t)-ax(t)y(t)+\sigma_1\frac{\partial}{\partialx}(rx-axy)\int_{0}^{t}\xi_1(s)ds同理，對于\frac{dy(t)}{dt}項：\frac{dy(t)}{dt}\approx-dy(t)+bx(t)y(t)+\sigma_2\frac{\partial}{\partialy}(-dy+bxy)\int_{0}^{t}\xi_2(s)ds令W_1(t)=\int_{0}^{t}\xi_1(s)ds，W_2(t)=\int_{0}^{t}\xi_2(s)ds，它們是標準布朗運動。則原隨機模型可轉(zhuǎn)化為Ito隨機微分方程：\begin{cases}dx(t)=[rx(t)-ax(t)y(t)]dt+\sigma_1x(t)dW_1(t)\\dy(t)=[-dy(t)+bx(t)y(t)]dt+\sigma_2y(t)dW_2(t)\end{cases}通過這樣的轉(zhuǎn)化，將原模型中的白噪聲項轉(zhuǎn)化為布朗運動的微分形式，使得模型符合Ito隨機微分方程的標準形式，便于進一步應(yīng)用Ito公式等工具進行分析。這種轉(zhuǎn)化為研究食餌-捕食者系統(tǒng)在隨機環(huán)境下的動力學(xué)行為提供了更有效的途徑，能夠深入探討系統(tǒng)的穩(wěn)定性、分岔等性質(zhì)在隨機干擾下的變化規(guī)律。3.3.3局部隨機穩(wěn)定性與隨機Hopf分岔分析對于轉(zhuǎn)化后的Ito隨機微分方程\begin{cases}dx(t)=[rx(t)-ax(t)y(t)]dt+\sigma_1x(t)dW_1(t)\\dy(t)=[-dy(t)+bx(t)y(t)]dt+\sigma_2y(t)dW_2(t)\end{cases}，通過計算Lyapunov指數(shù)和不變測度極值來分析模型的局部隨機穩(wěn)定性和隨機Hopf分岔的存在性。Lyapunov指數(shù)是衡量動力系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要指標，它反映了系統(tǒng)在相空間中軌道的指數(shù)分離或收斂速度。對于隨機系統(tǒng)，Lyapunov指數(shù)的計算可以幫助判斷系統(tǒng)在隨機干擾下的穩(wěn)定性。設(shè)系統(tǒng)的解為(x(t),y(t))，定義Lyapunov指數(shù)\lambda為：\lambda=\lim_{t\to\infty}\frac{1}{t}\ln\left\|\frac{(x(t),y(t))}{(x(0),y(0))}\right\|通過求解相應(yīng)的隨機微分方程，可以得到Lyapunov指數(shù)的表達式。當(dāng)Lyapunov指數(shù)\lambda<0時，系統(tǒng)是局部隨機穩(wěn)定的，意味著在隨機干擾下，系統(tǒng)的軌道會逐漸收斂到某個穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)\lambda>0時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，軌道會指數(shù)式地分離，系統(tǒng)的行為變得不可預(yù)測。不變測度極值也是分析隨機系統(tǒng)的重要工具。不變測度描述了系統(tǒng)在長時間運行后，狀態(tài)在相空間中的分布情況。通過計算不變測度的極值，可以了解系統(tǒng)在不同狀態(tài)下的相對穩(wěn)定性。對于食餌-捕食者模型，不變測度\mu(x,y)滿足Fokker-Planck方程：\frac{\partial\mu}{\partialt}=-\frac{\partial}{\partialx}(A_x\mu)-\frac{\partial}{\partialy}(A_y\mu)+\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partialx^2}(B_{xx}\mu)+\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partialy^2}(B_{yy}\mu)其中A_x=rx-axy，A_y=-dy+bxy，B_{xx}=\sigma_1^2x^2，B_{yy}=\sigma_2^2y^2。求解Fokker-Planck方程，得到不變測度\mu(x,y)的表達式，然后通過求極值的方法，確定不變測度的極值點。在極值點處，系統(tǒng)的狀態(tài)分布具有特殊的性質(zhì)，與系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔現(xiàn)象密切相關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時，通過分析Lyapunov指數(shù)和不變測度極值的變化，可以判斷隨機Hopf分岔的存在性。隨機Hopf分岔是指在隨機系統(tǒng)中，當(dāng)參數(shù)變化到一定程度時，系統(tǒng)會從穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷谡袷帬顟B(tài)。當(dāng)Lyapunov指數(shù)在某個參數(shù)值處從負變?yōu)檎?，同時不變測度極值也發(fā)生相應(yīng)的變化時，可能預(yù)示著隨機Hopf分岔的發(fā)生。通過這種分析方法，可以深入了解食餌-捕食者系統(tǒng)在隨機環(huán)境下的復(fù)雜動力學(xué)行為，為生態(tài)系統(tǒng)的保護和管理提供更科學(xué)的依據(jù)。3.4最優(yōu)收獲策略討論在無時滯和白噪聲作用下，即對于模型\begin{cases}\frac{dx(t)}{dt}=rx(t)-ax(t)y(t)\\\frac{dy(t)}{dt}=-dy(t)+bx(t)y(t)\end{cases}，利用Pontryagin最大值原理求解模型的最優(yōu)平衡點及最優(yōu)收獲努力量。首先構(gòu)建哈密頓函數(shù)H，假設(shè)收獲的收益函數(shù)為R=h_1p_1x+h_2p_2y（p_1和p_2分別是食餌和捕食者的單位價格，h_1和h_2為收獲率），同時考慮成本函數(shù)C=c_1h_1^2+c_2h_2^2（c_1和c_2為成本系數(shù)），則哈密頓函數(shù)H為：H=h_1p_1x+h_2p_2y-c_1h_1^2-c_2h_2^2+\lambda_1(rx-axy)+\lambda_2(-dy+bxy)其中\(zhòng)lambda_1和\lambda_2為伴隨變量。根據(jù)Pontryagin最大值原理，最優(yōu)控制（最優(yōu)收獲策略）需要滿足哈密頓函數(shù)關(guān)于控制變量的最大化條件。對H分別關(guān)于h_1和h_2求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，可得：\frac{\partialH}{\partialh_1}=p_1x-2c_1h_1=0\frac{\partialH}{\partialh_2}=p_2y-2c_2h_2=0由p_1x-2c_1h_1=0，解得h_1=\frac{p_1x}{2c_1}；由p_2y-2c_2h_2=0，解得h_2=\frac{p_2y}{2c_2}。同時，伴隨變量滿足伴隨方程：\frac{d\lambda_1}{dt}=-\frac{\partialH}{\partialx}=-\lambda_1(r-ay)-\lambda_2by\frac{d\lambda_2}{dt}=-\frac{\partialH}{\partialy}=\lambda_1ax-\lambda_2(-d+bx)在最優(yōu)平衡點處，系統(tǒng)的狀態(tài)變量滿足\frac{dx(t)}{dt}=