大三數(shù)學競賽試題及答案

一、單項選擇題(每題2分,共10題)1.函數(shù)$f(x)=x^3-3x$的駐點是(）A.$x=1$B.$x=-1$C.$x=\pm1$D.$x=0$2.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$的值為()A.0B.1C.不存在D.$\infty$3.設函數(shù)$y=e^{2x}$,則$y^\prime$等于()A.$e^{2x}$B.$2e^{2x}$C.$e^{x}$D.$2e^{x}$4.定積分$\int_{0}^{1}x^2dx$的值是()A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.1D.25.已知向量$\vec{a}=(1,2)$,$\vec=(3,-1)$,則$\vec{a}\cdot\vec$等于()A.1B.5C.-1D.-56.二元函數(shù)$z=x^2+y^2$在點$(1,1)$處對$x$的偏導數(shù)為()A.1B.2C.0D.47.冪級數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}x^n$的收斂半徑是()A.0B.1C.$\infty$D.28.微分方程$y^\prime-y=0$的通解是()A.$y=e^{x}$B.$y=Ce^{x}$C.$y=C$D.$y=x$9.曲線$y=x^2$與直線$y=x$所圍成圖形的面積為()A.$\frac{1}{6}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{2}$D.110.行列式$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}$的值為()A.-2B.2C.10D.-10二、多項選擇題(每題2分,共10題)1.下列函數(shù)中,在定義域內連續(xù)的有（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\sinx$C.$y=\sqrt{x}$D.$y=e^{x}$2.以下哪些是求導公式()A.$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$B.$(\sinx)^\prime=\cosx$C.$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}$D.$(e^{x})^\prime=e^{x}$3.定積分的性質包括()A.$\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx$($k$為常數(shù)）B.$\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx$C.$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$D.$\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx$($a<c<b$)4.向量的運算包括(）A.加法B.減法C.數(shù)量積D.向量積5.下列哪些是二元函數(shù)$z=f(x,y)$的極值點的必要條件()A.$f_x(x_0,y_0)=0$B.$f_y(x_0,y_0)=0$C.$f_{xx}(x_0,y_0)=0$D.$f_{xy}(x_0,y_0)=0$6.冪級數(shù)的收斂性判別方法有()A.比值判別法B.根值判別法C.比較判別法D.萊布尼茨判別法7.一階線性微分方程的形式為()A.$y^\prime+P(x)y=Q(x)$B.$y^\prime=f(x,y)$C.$y^{\prime\prime}+P(x)y^\prime+Q(x)y=0$D.$y^\prime+P(x)y=0$8.計算二重積分的方法有()A.直角坐標下先對$x$后對$y$積分B.直角坐標下先對$y$后對$x$積分C.極坐標積分D.利用積分區(qū)域對稱性9.以下哪些是矩陣的運算()A.加法B.乘法C.求逆D.轉置10.數(shù)列極限的性質有()A.唯一性B.有界性C.保號性D.四則運算法則三、判斷題(每題2分,共10題)1.函數(shù)在某點可導,則一定在該點連續(xù)。（)2.$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$($f(x)$為奇函數(shù))。()3.兩個向量平行,則它們的向量積為零向量。(）4.二元函數(shù)的兩個偏導數(shù)都存在,則函數(shù)一定可微。（)5.冪級數(shù)在收斂區(qū)間內絕對收斂。()6.微分方程的通解包含了所有的解。()7.矩陣的乘法滿足交換律。()8.若行列式某一行元素全為零,則行列式的值為零。（)9.函數(shù)$y=x^3$是單調遞增函數(shù)。()10.無窮小量與有界量的乘積是無窮小量。(）四、簡答題(每題5分,共4題)1.求函數(shù)$f(x)=x^4-4x^3+4x^2$的極值。答案:先求導$f^\prime(x)=4x^3-12x^2+8x=4x(x-1)(x-2)$,令$f^\prime(x)=0$得駐點$x=0,1,2$。再求二階導$f^{\prime\prime}(x)=12x^2-24x+8$,分別代入駐點判斷,得極大值$f(0)=0$,極小值$f(1)=1$,$f(2)=0$。2.計算定積分$\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx$。答案:根據(jù)基本積分公式$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$,則$\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=[\lnx]_{1}^{e}=\lne-\ln1=1-0=1$。3.求向量$\vec{a}=(2,-3,1)$與向量$\vec=(1,1,-1)$的夾角余弦值。答案:根據(jù)向量數(shù)量積公式$\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}||\vec|\cos\theta$,先求$\vec{a}\cdot\vec=2\times1+(-3)\times1+1\times(-1)=-2$,$|\vec{a}|=\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}=\sqrt{14}$,$|\vec|=\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{3}$,則$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}=-\frac{2}{\sqrt{42}}$。4.求微分方程$y^\prime+2y=0$的通解。答案:這是一階線性齊次微分方程,其通解公式為$y=Ce^{-\intP(x)dx}$,這里$P(x)=2$,則$\intP(x)dx=2x$,所以通解為$y=Ce^{-2x}$。五、討論題(每題5分,共4題)1.討論函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$處的連續(xù)性。答案:先化簡$f(x)=x+1(x\neq1)$,$\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(x+1)=2$,但$f(1)$無定義,所以函數(shù)在$x=1$處不連續(xù),是可去間斷點。2.討論多元函數(shù)求極值的方法及步驟。答案:先求一階偏導數(shù),令其為零得駐點。再求二階偏導數(shù),計算$A=f_{xx}$,$B=f_{xy}$,$C=f_{yy}$。根據(jù)判別式$AC-B^2$判斷,$AC-B^2>0$且$A>0$為極小值點,$AC-B^2>0$且$A<0$為極大值點,$AC-B^2<0$非極值點,$AC-B^2=0$需進一步討論。3.討論冪級數(shù)在實際應用中的意義。答案:冪級數(shù)在近似計算、求解微分方程等方面有重要意義。如用冪級數(shù)展開式近似計算函數(shù)值,提高計算效率和精度;在求解微分方程時,可將未知函數(shù)表示為冪級數(shù)形式,確定系數(shù)從而得到方程解,廣泛應用于物理、工程等領域。4.討論矩陣在不同學科領域的應用。答案:在計算機圖形學中用于圖形變換;在物理學中描述力學系統(tǒng)的運動、量子力學的態(tài)矢等;在經(jīng)濟學里分析投入產(chǎn)出模型、線性規(guī)劃問題等;在通信領域用于信號處理、編碼解碼等,能簡化復雜問題的分析與計算。答案一、單項選擇題1.C2.