有理函數(shù)題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中是有理函數(shù)的是（）A.$y=\sqrt{x}$B.$y=\frac{1}{x^2+1}$C.$y=e^x$D.$y=\sinx$2.有理函數(shù)$y=\frac{x+1}{x-1}$的定義域是（）A.$x\neq0$B.$x\neq1$C.$x\neq-1$D.$x\inR$3.當(dāng)$x\to\infty$時(shí)，有理函數(shù)$y=\frac{3x^2+1}{2x^2-3}$的極限是（）A.0B.$\frac{3}{2}$C.$\infty$D.14.有理函數(shù)$y=\frac{x}{x^2-4}$的間斷點(diǎn)是（）A.$x=2$B.$x=-2$C.$x=\pm2$D.無(wú)間斷點(diǎn)5.若有理函數(shù)$y=\frac{ax+b}{cx+d}$是奇函數(shù)，則（）A.$a=0$B.$b=0$C.$c=0$D.$d=0$6.有理函數(shù)$y=\frac{1}{x^2}$的值域是（）A.$y\gt0$B.$y\geq0$C.$y\neq0$D.$y\inR$7.函數(shù)$y=\frac{x^3}{x^2+1}$的導(dǎo)數(shù)為（）A.$\frac{3x^2(x^2+1)-2x\cdotx^3}{(x^2+1)^2}$B.$\frac{3x^2}{(x^2+1)^2}$C.$\frac{x^3}{(x^2+1)^2}$D.$\frac{3x^2(x^2+1)-x^3}{(x^2+1)^2}$8.有理函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$在區(qū)間$(2,3)$上是（）A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先增后減D.先減后增9.積分$\int\frac{1}{x^2}dx$等于（）A.$\frac{1}{x}+C$B.$-\frac{1}{x}+C$C.$x^{-1}+C$D.$x^2+C$10.有理函數(shù)$y=\frac{x+2}{x^2+3x+2}$可分解為部分分式（）A.$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}$B.$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$C.$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}$D.$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-2}$二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于有理函數(shù)的有（）A.$y=\frac{2x+1}{x^2-1}$B.$y=\frac{1}{x^3}$C.$y=\frac{x^4+1}{x}$D.$y=\frac{\sinx}{x}$2.有理函數(shù)$y=\frac{ax+b}{cx+d}$（$c\neq0$）具有以下性質(zhì)（）A.定義域?yàn)?x\neq-\fracz3jilz61osys{c}$B.可能有水平漸近線C.一定是單調(diào)函數(shù)D.一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)3.對(duì)于有理函數(shù)$y=\frac{x^2-1}{x+1}$，下列說(shuō)法正確的是（）A.定義域?yàn)?x\neq-1$B.化簡(jiǎn)后為$y=x-1$（$x\neq-1$）C.有間斷點(diǎn)$x=-1$D.極限$\lim_{x\to-1}y=-2$4.有理函數(shù)的部分分式分解可能包含以下形式（）A.$\frac{A}{x-a}$B.$\frac{Ax+B}{x^2+bx+c}$C.$\frac{A}{(x-a)^n}$D.$\frac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^n}$5.函數(shù)$y=\frac{1}{x^2-4}$的性質(zhì)有（）A.有兩個(gè)垂直漸近線$x=\pm2$B.值域?yàn)?y\gt0$或$y\lt-\frac{1}{4}$C.是偶函數(shù)D.在區(qū)間$(-2,2)$上單調(diào)遞增6.若有理函數(shù)$y=\frac{f(x)}{g(x)}$（$f(x)$、$g(x)$為多項(xiàng)式），則（）A.當(dāng)$\text{deg}(f(x))\lt\text{deg}(g(x))$時(shí)，$\lim_{x\to\infty}y=0$B.當(dāng)$\text{deg}(f(x))=\text{deg}(g(x))$時(shí)，$\lim_{x\to\infty}y$為非零常數(shù)C.當(dāng)$\text{deg}(f(x))\gt\text{deg}(g(x))$時(shí)，$\lim_{x\to\infty}y=\infty$D.其間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)一定有限7.有理函數(shù)求導(dǎo)可運(yùn)用以下法則（）A.商的求導(dǎo)法則B.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則C.加法求導(dǎo)法則D.乘法求導(dǎo)法則8.下列積分中，可通過(guò)有理函數(shù)積分方法求解的有（）A.$\int\frac{1}{x^2+1}dx$B.$\int\frac{x}{x^2+1}dx$C.$\int\frac{1}{x^3-1}dx$D.$\int\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx$9.對(duì)于有理函數(shù)$y=\frac{2x}{x^2+1}$，說(shuō)法正確的是（）A.是奇函數(shù)B.有最大值1和最小值-1C.在$R$上單調(diào)遞增D.其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)10.有理函數(shù)$y=\frac{x^2+1}{x^2-1}$的漸近線有（）A.水平漸近線$y=1$B.垂直漸近線$x=\pm1$C.斜漸近線D.沒(méi)有漸近線三、判斷題（每題2分，共10題）1.有理函數(shù)一定是初等函數(shù)。（）2.有理函數(shù)的圖像一定有漸近線。（）3.若有理函數(shù)$y=\frac{f(x)}{g(x)}$，當(dāng)$g(x)$的次數(shù)大于$f(x)$的次數(shù)時(shí)，$\lim_{x\to\infty}y=0$。（）4.有理函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是有理函數(shù)。（）5.所有有理函數(shù)都可以分解為部分分式之和。（）6.有理函數(shù)在其定義域內(nèi)一定是連續(xù)的。（）7.積分$\int\frac{1}{x^2-1}dx$可以用部分分式分解來(lái)求解。（）8.函數(shù)$y=\frac{x}{x^2+1}$在$x=1$處取得最大值。（）9.有理函數(shù)$y=\frac{1}{x^3}$是奇函數(shù)。（）10.有理函數(shù)$y=\frac{x^2}{x^2+1}$有水平漸近線$y=1$。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述有理函數(shù)的定義。答：有理函數(shù)是指兩個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)的商，即$y=\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中$P(x)$、$Q(x)$是多項(xiàng)式，且$Q(x)\neq0$。2.求有理函數(shù)$y=\frac{x^2-4}{x-2}$的定義域并化簡(jiǎn)。答：定義域?yàn)?x\neq2$?；?jiǎn)：$y=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2$（$x\neq2$）。3.如何判斷有理函數(shù)的水平漸近線？答：當(dāng)$x\to\infty$時(shí)，若$\text{deg}(P(x))\lt\text{deg}(Q(x))$，水平漸近線為$y=0$；若$\text{deg}(P(x))=\text{deg}(Q(x))$，水平漸近線為$y=\frac{a_n}{b_n}$（$a_n$、$b_n$分別為$P(x)$、$Q(x)$最高次項(xiàng)系數(shù)）。4.說(shuō)明有理函數(shù)積分的一般步驟。答：先將有理函數(shù)分解為部分分式，再對(duì)各部分分式分別積分，利用常見(jiàn)積分公式求出結(jié)果，最后將各積分結(jié)果相加。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論有理函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，舉例說(shuō)明。答：在物理中，物體運(yùn)動(dòng)的速度與時(shí)間關(guān)系可用有理函數(shù)描述。比如汽車(chē)行駛中，其速度隨時(shí)間變化可能符合某種有理函數(shù)關(guān)系，通過(guò)研究它可分析汽車(chē)加速、減速等情況。2.探討有理函數(shù)的單調(diào)性與其分子分母多項(xiàng)式次數(shù)的關(guān)系。答：一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)分子次數(shù)小于分母次數(shù)時(shí)，函數(shù)在不同區(qū)間單調(diào)性相對(duì)簡(jiǎn)單，多為單調(diào)遞減或遞增。當(dāng)分子分母次數(shù)相當(dāng)時(shí)，單調(diào)性較復(fù)雜，需結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析，導(dǎo)數(shù)正負(fù)決定函數(shù)單調(diào)性。3.分析有理函數(shù)部分分式分解的意義和作用。答：部分分式分解可將復(fù)雜有理函數(shù)化為簡(jiǎn)單分式之和，便于積分運(yùn)算，還能更清晰分析函數(shù)性質(zhì)，如間斷點(diǎn)、漸近線等，在數(shù)學(xué)和工程等領(lǐng)域都有重要應(yīng)用。4.討論如何通過(guò)有理函數(shù)的圖像特征確定其表達(dá)式中的參數(shù)。答：可根據(jù)垂直漸近線確定分母中因式，水平漸近線確定分子分母次數(shù)關(guān)系及系數(shù)比例，再結(jié)合特殊點(diǎn)（如零點(diǎn)、最值點(diǎn)）坐標(biāo)代入表達(dá)式，聯(lián)立方程求解參數(shù)。答案一、單項(xiàng)選擇題1.