2025年精算師七門考試題及答案本文借鑒了近年相關(guān)經(jīng)典試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測試題型，掌握答題技巧，提升應(yīng)試能力。---2025年精算師七門考試題第一部分：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（共5題，每題20分，共100分）題目1：設(shè)函數(shù)\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)。1.求函數(shù)的定義域。2.求函數(shù)的極限\(\lim_{x\to1}f(x)\)。3.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)\(f'(x)\)。題目2：解下列微分方程：\[\frac{dy}{dx}+2y=3e^x\]題目3：計(jì)算定積分：\[\int_{0}^{1}x^2\ln(x+1)\,dx\]題目4：求級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)的和。題目5：設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求矩陣\(A\)的逆矩陣。---第二部分：概率論（共5題，每題20分，共100分）題目6：一個(gè)袋中有5個(gè)紅球和3個(gè)藍(lán)球，從中隨機(jī)抽取3個(gè)球，求至少有一個(gè)紅球的概率。題目7：設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度函數(shù)為：\[f(x)=\begin{cases}2x&0\leqx\leq1\\0&\text{otherwise}\end{cases}\]求\(X\)的期望\(E(X)\)和方差\(\text{Var}(X)\)。題目8：設(shè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，且\(X\simN(0,1)\)，\(Y\simN(2,1)\)，求\(Z=3X+2Y\)的分布。題目9：一個(gè)系統(tǒng)由兩個(gè)部件組成，每個(gè)部件正常工作的概率為0.9，兩個(gè)部件是否正常工作是相互獨(dú)立的。求系統(tǒng)正常工作的概率。題目10：設(shè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)的聯(lián)合概率分布如下表所示：|\(X\)|0|1||--------|---|---||0|0.1|0.2||1|0.3|0.4|求\(X\)和\(Y\)的邊緣概率分布，并判斷\(X\)和\(Y\)是否獨(dú)立。---第三部分：金融數(shù)學(xué)（共5題，每題20分，共100分）題目11：設(shè)年利率為6%，求一項(xiàng)10年后到期的1000元的現(xiàn)值。題目12：一個(gè)3年期的零息債券面值為1000元，當(dāng)前市場價(jià)格為820元，求該債券的年化收益率。題目13：設(shè)一個(gè)年繳付的終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1元，年繳保費(fèi)為\(P\)，利率為\(i\)，生命表給出\(l_x=1000-10x\)，求\(P\)。題目14：一個(gè)3年期的年金，每年末支付100元，年利率為5%，求該年金的現(xiàn)值。題目15：設(shè)一個(gè)公司發(fā)行了1000萬元的5年期債券，每年付息一次，票面利率為6%，當(dāng)前市場價(jià)格為950萬元，求該債券的久期。---第四部分：精算模型（共5題，每題20分，共100分）題目16：設(shè)理賠額\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的指數(shù)分布，求\(X\)的眾數(shù)和中位數(shù)。題目17：一個(gè)保險(xiǎn)公司收集了1000個(gè)客戶的理賠數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)理賠額\(X\)服從對數(shù)正態(tài)分布，參數(shù)為\(\mu\)和\(\sigma^2\)，求\(X\)的均值和方差。題目18：設(shè)一個(gè)保險(xiǎn)組合中，理賠額\(X\)服從泊松分布，參數(shù)為\(\lambda\)，求理賠次數(shù)為0的概率。題目19：一個(gè)保險(xiǎn)公司有1000個(gè)客戶，每個(gè)客戶的理賠額\(X\)服從均值為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求總理賠額超過1000的概率。題目20：設(shè)一個(gè)保險(xiǎn)組合中，理賠額\(X\)服從伽瑪分布，參數(shù)為\(k\)和\(\theta\)，求\(X\)的均值和方差。---第五部分：風(fēng)險(xiǎn)管理（共5題，每題20分，共100分）題目21：一個(gè)投資組合包含兩種資產(chǎn)，資產(chǎn)A的期望收益率為10%，標(biāo)準(zhǔn)差為15%；資產(chǎn)B的期望收益率為15%，標(biāo)準(zhǔn)差為20%。兩種資產(chǎn)的協(xié)方差為200。求投資組合的期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差，當(dāng)投資比例為50%:50%時(shí)。題目22：一個(gè)公司面臨兩種風(fēng)險(xiǎn)事件，事件A發(fā)生的概率為0.2，發(fā)生時(shí)損失1000萬元；事件B發(fā)生的概率為0.1，發(fā)生時(shí)損失2000萬元。求該公司的期望損失和方差。題目23：一個(gè)公司購買了保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1000萬元，保費(fèi)為50萬元，求該公司的期望損失和方差。題目24：設(shè)一個(gè)投資組合的收益服從正態(tài)分布，期望收益率為12%，標(biāo)準(zhǔn)差為20%。求該投資組合在95%置信水平下的VaR（風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值）。題目25：一個(gè)公司面臨兩種風(fēng)險(xiǎn)事件，事件A和事件B是否發(fā)生是相互獨(dú)立的。事件A發(fā)生的概率為0.3，發(fā)生時(shí)損失500萬元；事件B發(fā)生的概率為0.4，發(fā)生時(shí)損失1000萬元。求該公司的期望損失和方差。---答案及解析第一部分：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題目1：1.定義域：\(x\neq1\)。2.極限：\(\lim_{x\to1}f(x)=2\)。3.導(dǎo)數(shù)：\(f'(x)=1\)（對于\(x\neq1\)）。題目2：解微分方程：\[\frac{dy}{dx}+2y=3e^x\]使用積分因子法，積分因子為\(e^{2x}\)：\[e^{2x}\frac{dy}{dx}+2e^{2x}y=3e^{3x}\]\[\fracz3jilz61osys{dx}(e^{2x}y)=3e^{3x}\]積分：\[e^{2x}y=\int3e^{3x}\,dx=e^{3x}+C\]\[y=e^x+Ce^{-2x}\]題目3：計(jì)算定積分：\[\int_{0}^{1}x^2\ln(x+1)\,dx\]使用分部積分法，設(shè)\(u=\ln(x+1)\)，\(dv=x^2\,dx\)：\[du=\frac{1}{x+1}\,dx\]\[v=\frac{x^3}{3}\]\[\intx^2\ln(x+1)\,dx=\frac{x^3}{3}\ln(x+1)-\int\frac{x^3}{3(x+1)}\,dx\]\[=\frac{x^3}{3}\ln(x+1)-\frac{1}{3}\int\frac{x^3}{x+1}\,dx\]\[=\frac{x^3}{3}\ln(x+1)-\frac{1}{3}\left(\intx^2-x+1-\frac{1}{x+1}\right)\,dx\]\[=\frac{x^3}{3}\ln(x+1)-\frac{1}{3}\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x-\ln(x+1)\right)\]積分上下限為0到1：\[\left[\frac{x^3}{3}\ln(x+1)-\frac{x^3}{9}+\frac{x^2}{6}-\frac{x}{3}+\frac{\ln(x+1)}{3}\right]_{0}^{1}\]\[=\frac{1}{3}\ln2-\frac{1}{9}+\frac{1}{6}-\frac{1}{3}+\frac{\ln2}{3}\]\[=\frac{2}{3}\ln2-\frac{1}{9}+\frac{1}{6}-\frac{1}{3}\]\[=\frac{2}{3}\ln2-\frac{1}{18}\]題目4：求級數(shù)和：\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\]使用部分分式分解：\[\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\]\[\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\]這是一個(gè)望遠(yuǎn)鏡級數(shù)，求和后大部分項(xiàng)抵消：\[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\cdots=1\]題目5：求矩陣逆：\[A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\]逆矩陣公式：\[A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\]計(jì)算行列式：\[\det(A)=1\cdot4-2\cdot3=-2\]\[A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\]---第二部分：概率論題目6：求概率：至少有一個(gè)紅球：\[P(\text{至少一個(gè)紅球})=1-P(\text{全是藍(lán)球})\]全是藍(lán)球的概率：\[P(\text{全是藍(lán)球})=\frac{\binom{3}{3}}{\binom{8}{3}}=\frac{1}{56}\]\[P(\text{至少一個(gè)紅球})=1-\frac{1}{56}=\frac{55}{56}\]題目7：求期望和方差：\[E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot2x\,dx=\int_{0}^{1}2x^2\,dx=\frac{2}{3}\]\[\text{Var}(X)=E(X^2)-(E(X))^2\]\[E(X^2)=\int_{0}^{1}x^2\cdot2x\,dx=\int_{0}^{1}2x^3\,dx=\frac{1}{2}\]\[\text{Var}(X)=\frac{1}{2}-\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{1}{2}-\frac{4}{9}=\frac{1}{18}\]題目8：求分布：\(Z=3X+2Y\)期望：\[E(Z)=3E(X)+2E(Y)=3\cdot0+2\cdot2=4\]方差：\[\text{Var}(Z)=3^2\text{Var}(X)+2^2\text{Var}(Y)=9\cdot1+4\cdot1=13\]\(Z\)服從正態(tài)分布\(N(4,13)\)。題目9：求概率：系統(tǒng)正常工作的概率：\[P(\text{系統(tǒng)正常工作})=P(X\text{正常})\cdotP(Y\text{正常})=0.9\cdot0.9=0.81\]題目10：求邊緣概率和獨(dú)立性：邊緣概率：\[P(X=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)=0.1+0.2=0.3\]\[P(X=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.3+0.4=0.7\]\[P(Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=0)=0.1+0.3=0.4\]\[P(Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=1)=0.2+0.4=0.6\]獨(dú)立性：\[P(X=0,Y=0)=0.1\neqP(X=0)\cdotP(Y=0)=0.3\cdot0.4=0.12\]所以\(X\)和\(Y\)不獨(dú)立。---第三部分：金融數(shù)學(xué)題目11：求現(xiàn)值：\[PV=\frac{1000}{(1+0.06)^{10}}=\frac{1000}{1.790847}\approx558.39\]題目12：求收益率：\[YTM=\frac{1000-820}{820\cdot3}=\frac{180}{2460}\approx0.0732\text{or}7.32\%\]題目13：求保費(fèi)：\[P=\frac{A\cdotv^n}{\ddot{a}_{x:n}}\]生命表給出\(l_x=1000-10x\)，求\(\ddot{a}_{x:n}\)：\[\ddot{a}_{x:n}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{l_{x+k}}{l_x}\]\[\ddot{a}_{x:10}=\sum_{k=0}^{9}\frac{1000-10(x+k)}{1000-10x}\]計(jì)算具體數(shù)值后求\(P\)。題目14：求現(xiàn)值：\[PV=\sum_{k=1}^{3}\frac{100}{(1+0.05)^k}=\frac{100}{1.05}+\frac{100}{1.05^2}+\frac{100}{1.05^3}\approx283.29\]題目15：求久期：久期公式：\[\text{Duration}=\frac{\sum_{t=1}^{n}t\cdotC\cdotv^t}{PV}\]計(jì)算具體數(shù)值后求久期。---第四部分：精算模型題目16：求眾數(shù)和中位數(shù)：指數(shù)分布\(X\sim\text{Exp}(\lambda)\)：眾數(shù)：\(\lambda\)中位數(shù)：\(\frac{\ln2}{\lambda}\)題目17：求均值和方差：對數(shù)正態(tài)分布\(X\sim\text{LogNorm}(\mu,\sigma^2)\)：均值：\(e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}\)方差：\((e^{\sigma^2}-1)e^{2\mu+\sigma^2}\)題目18：求概率：泊松分布\(X\sim\text{Poisson}(\lambda)\)：\[P(X=0)=e^{-\lambda}\]題目19：求概率：正態(tài)分布\(X\simN(0,1)\)：總理賠額\(S=\sum_{i=1}^{1000}X_i\simN(0,1000)\)\[P(S>1000)=P\left(\frac{S-0}{\sqrt{1000}}>\frac{1000-0}{\sqrt{1000}}\right)=P(Z>\sqrt{1000})\]查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表。題目20：求均值和方差：伽瑪分布\(X\sim\text{Gamma}(k,\theta)\)：均值：\(k\theta\)方差：\(k\theta^2\)---第五部分：風(fēng)險(xiǎn)管理題目21：求期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差：投資組合：期望收益率：\[E(R_p)=w_AE(R_A)+w_BE(R_B)=0.5\cdot0.1+0.5\cdot0.15=0.125\]標(biāo)準(zhǔn)差：\[\sigma_p=\sqrt{w_A^2\sigma_A^2+w_B^2\sigma_B^2+2w_Aw_B\text{Cov}(A,B)}\]\[\sigma_p=\sqrt{0.5^2\cdot0.15^2+0.5^2\cdot0.2^2+2\cdot0.5\cdot0.5\cdot0.2}\]\[\sigma_p=\sqrt{0.005625+0.01+0.1}=\sqrt{0.115625}\approx0.3398\]題目22：求期望損失和方差：期望損失：\[E(L)=0.2\cdot1000+0.1\cdot2000=200+200=400\]方差：\[\text{Var}(L)=0.2^2\cdot1000^2+0.1^2\cdot2000^2=0.04\cdot1000000+0.01\cdot4000000=40000+40000=80000\]題目23：求期望損失和方差：期望損失：\[E(L)=1000-50=950\]方差：\[\text{Var}(L)=50^2=2500\]題目24：求VaR：95%置信水平，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得\(z=1.645\)：\[VaR=1.645\cdot\sigma=1.645\cdot20=32.9\]題目25：求期望損失和方差：期望損失：\[E(L)=0.3\cdot500+0.4\cdot1000=150+400=550\]方差：\[\text{Var}(L)=0.3^2\cdot500^2+0.4^2\cdot1000^2=0.09\cdot250000+0.16\cdot1000000=22500+160000=182500\]---答案及解析第一部分：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題目1：1.定義域：\(x\neq1\)。2.極限：\(\lim_{x\to1}f(x)=2\)。3.導(dǎo)數(shù)：\(f'(x)=1\)（對于\(x\neq1\)）。題目2：解微分方程：\[y=e^x+Ce^{-2x}\]題目3：計(jì)算定積分：\[\int_{0}^{1}x^2\ln(x+1)\,dx=\frac{2}{3}\ln2-\frac{1}{18}\]題目4：求級數(shù)和：\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=1\]題目5：求矩陣逆：\[A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\]---第二部分：概率論題目6：求概率：\[P(\text{至少一個(gè)紅球})=\frac{55}{56}\]題目7：求期望和方差：\[E(X)=\frac{2}{3},\text{