高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省泰安肥城市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D2.下列向量的運(yùn)算結(jié)果不正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，故A正確；，故B正確；，故C錯誤；，故D正確.故選：C.3.已知水平放置的的斜二測直觀圖為，如圖所示．若是等腰直角三角形（點(diǎn)與點(diǎn)重合），，則的面積為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以，則，，,則的面積為.故選：B.4.的內(nèi)角的對邊分別為．已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由余弦定理可得，所以（負(fù)值舍去）.故選：A5.如圖，中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則.故選：D.6.如圖，某人在河南岸的點(diǎn)A處，想要測量河北岸的點(diǎn)與點(diǎn)A的距離，現(xiàn)取南岸一點(diǎn)，得，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可知：，則，由正弦定理可得.故選：A.7.長方體中，直線與平面的交點(diǎn)為，與交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.，，三點(diǎn)共線B.，，三點(diǎn)確定一個平面C.，，，四點(diǎn)共面D.，，，四點(diǎn)共面【答案】A【解析】如下圖所示：

根據(jù)題意，連接，則，所以四點(diǎn)共面，所以平面，又，所以平面，又平面，所以點(diǎn)在平面與平面的交線上面，同理可得點(diǎn)在平面與平面的交線上面，所以，，三點(diǎn)共線，故A選項(xiàng)錯誤，B選項(xiàng)正確；由異面直線定義可知C選項(xiàng)中為異面直線，故C選項(xiàng)錯誤；由異面直線定義可知D選項(xiàng)中為異面直線，故D選項(xiàng)錯誤.故選：A8.的內(nèi)角的對邊分別是，若，則當(dāng)有兩解時(shí)，的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由正弦定理有，即，即有兩解，因?yàn)?，所以，從而，解?故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.復(fù)數(shù)，，的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A.若為純虛數(shù)，則B.若，則C.若，則D.若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則【答案】BD【解析】對于A：若為純虛數(shù)，則，故A錯誤；對于B：若，則，所以，所以，故B正確；對于C：若，則，所以，故C錯誤；對于D：若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則，故D正確；故選：BD.10.用一個平面去截棱長為1的正方體，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若該平面過點(diǎn)，則截面的周長為6B.若該平面過點(diǎn)，則截得的兩個幾何體的外接球體積相等C.若該平面過點(diǎn)，則截得的兩個幾何體的表面積均為D.若該平面過點(diǎn)，則其截正方體的外接球所得的截面面積不是定值【答案】BC【解析】若該平面過點(diǎn)，則截面為正三角形，其邊長為，則截面的周長為錯誤；若該平面過點(diǎn)，則截得的兩個幾何體的外接球均為正方體的外接球，故外接球體積相等，B正確；當(dāng)該平面過點(diǎn)時(shí)，截面為，則截得的兩個幾何體為相同的三棱柱，且三棱柱的表面積均為正確；若該平面過點(diǎn)，則其過正方體的外接球球心，所以截面面積是定值，D錯誤.故選：BC.11.已知向量是兩個單位向量，則（）A.若不共線，則B.若，且，則C.若的夾角，則向量在向量上的投影向量是D.若，向量的夾角為，則的最小值為【答案】ACD【解析】由題意可得，且，，則，則，故A正確；由題意可得，，得，因，則，則，故B錯誤；因的夾角為，則，則向量在向量上的投影向量是，故C正確；因，則，得，因，則，則的最小值為，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知復(fù)平面上點(diǎn)M對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，點(diǎn)N對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是______．【答案】【解析】由題意，故所求為.故答案為：.13.一個長方體的頂點(diǎn)都在球面上，它的長、寬、高分別為，則球的表面積是______．【答案】【解析】因?yàn)殚L方體的各頂點(diǎn)均在球面上，故球即為長方體的外接球，故長方體的體對角線即為球的直徑，而長方體的體對角線的長為，所以，所以球的表面積為，故答案為：.14.如圖，矩形中，邊，分別是上的點(diǎn)，若，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】由題意以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，邊，，所以，所以，所以的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)．（1）求；（2）若復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個根，求出實(shí)數(shù)的值，并把代數(shù)式分解成一次因式的積．解：（1）（2）因?yàn)閺?fù)數(shù)是方程的一個根，所以有，整理得，所以，解得.則.16.已知是兩個不共線向量，且的夾角為．（1）若，，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，，那么當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，的值最?。猓海?）由題意可得：，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)，滿足，即有，因?yàn)椴还簿€，所以，解得.（2）因?yàn)?，所以可求得，所以，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)的最小值也為.17.已知分別是的三個內(nèi)角的對邊，且滿足．（1）求；（2）若，的面積為，求．解：（1）因?yàn)?，所以由正弦定理可得，，又，解得，因?yàn)?，所以?（2）由（1）得：，所以.又，所以.由余弦定理及得：.當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，，所以.所以或.18.如圖1，設(shè)半圓的直徑為，點(diǎn)、三等分半圓，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，將此半圓以為母線卷成一個圓錐（如圖2）．在圖2中完成下列各題：（1）求圓錐中線段的長；（2）求四面體的體積；（3）求三棱錐與三棱錐公共部分的體積．解：（1）在圖中，設(shè)圓錐的底面圓半徑為，則，解得.因?yàn)樵趫D1中，點(diǎn)、三等分半圓，所以在圖2中，點(diǎn)、為圓錐的底面圓周的三等分點(diǎn)，則為等邊三角形，所以，所以.又因?yàn)辄c(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，所以.（2）因?yàn)?，圓錐的高，所以，所以，即四面體的體積為.（3）連接交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，則三棱錐與三棱錐公共部分即為三棱錐.因?yàn)辄c(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，且，所以，所以三棱錐與三棱錐公共部分的體積為.19.如圖，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的上的點(diǎn)，點(diǎn)、關(guān)于直線對稱，，．如果以線段所在直線為實(shí)軸，以線段所在直線為虛軸，建立復(fù)平面．則兩點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為．（1）求的值；（2）求的正弦值；（3）點(diǎn)在何位置時(shí)，五邊形的面積取到最大值，并求出該最大值．解：（1）因?yàn)閮牲c(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，所以,從而，因此.（