高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省德州市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.）1.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，則，故選：A.2.在中，已知，，，則（）A. B. C. D.7【答案】C【解析】因?yàn)樵谥?，，，，由余弦定理，即，所?故選：C.3.若函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱【答案】B【解析】A.函數(shù)的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；B.當(dāng)，則，故B正確；C.，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；D.，所以不關(guān)于對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.故選：B4.在中，點(diǎn)在邊上，.記，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如下圖所示：易知.故選：C5.若，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，又，可得，即，因此可得；所以.故選：B6.已知，，且向量在上的投影的數(shù)量為，則（）A.49 B.41 C.7 D.【答案】D【解析】由條件可知，，所以，.故選：D7.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若的外接圓半徑為，且，則面積的最大值為（）A. B.8C. D.【答案】C【解析】因，則由余弦定理得，，因，則，設(shè)的外接圓半徑為，則，由正弦定理得，，則化簡(jiǎn)為，因，則，等號(hào)成立時(shí)，時(shí)成立，則則面積的最大值為.故選：C8.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，若，是函數(shù)在上的兩個(gè)零點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后可得到；再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，可以得到，易知的最小正周期為，且在上，當(dāng)時(shí)，取得最大值；畫出函數(shù)的圖象如下圖所示：令，即，根據(jù)正弦函數(shù)圖象可知與在上僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且由對(duì)稱性可知，關(guān)于對(duì)稱，所以；因此.故選：D.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則下列命題正確的是（）A.若，則是鈍角三角形B.若，則是等腰三角形C.若，則是等腰三角形D.若，，，則是直角三角形【答案】AC【解析】A.設(shè)，則，所以是鈍角，故A正確；B.若，則，即，即或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；C.若，則，即，即，則，所以是等腰三角形，故C正確；D.由正弦定理，可得，且，所以或，所以或，是直角三角形或等腰三角形，故D錯(cuò)誤.故選：AC10.下列命題正確的是（）A.若，，則B.若存在實(shí)數(shù)，使得，則C.已知，，則的取值范圍為D.若向量，，且與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】BC【解析】對(duì)于A：如果，則，，則和不一定為共線向量，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：向量平行的定義，若存在實(shí)數(shù)，使得，則，故B正確；對(duì)于C：由，得，因?yàn)椋?，即，故C正確；對(duì)于D：向量，，且與的夾角為鈍角且向量不反向共線，故，即且，解得且，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.是以為周期的函數(shù)B.函數(shù)存在無窮多個(gè)零點(diǎn)C.D.至少存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得為偶函數(shù)【答案】ACD【解析】因?yàn)?，?duì)A：，故是以為周期的函數(shù)，故A正確；對(duì)B：因?yàn)榈闹芷跒椋灾恍柩芯吭趨^(qū)間上的正負(fù)，當(dāng)時(shí)，，由且，故在上恒成立；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的最小值為，綜上所述，在上的取值均大于，沒有零點(diǎn)，故在上沒有實(shí)數(shù)根，即在上沒有零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，，故，故C正確；對(duì)D：由可得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，此時(shí)為偶函數(shù)，又因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可知當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，，，故，即的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，此時(shí)為偶函數(shù)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，至少存在三個(gè)值，使得為偶函數(shù)，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知，且，則______.【答案】【解析】由可得，由于，故，進(jìn)而，因此，故答案為：13.已知函數(shù)的圖象在區(qū)間上有且僅有2條對(duì)稱軸，則的取值范圍是______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，易知，若其圖象在區(qū)間上有且僅有2條對(duì)稱軸，可得，解得.故答案為：14.在邊長(zhǎng)為1的正方形中，，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為______；若是正方形的內(nèi)切圓的一條弦，當(dāng)弦的長(zhǎng)度最大時(shí)，則的最大值為_____【答案】16；【解析】根據(jù)題意由為線段上的動(dòng)點(diǎn)，可知三點(diǎn)共線，又，可得，因此，且，所以；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為16；取內(nèi)切圓的圓心為，連接，如下圖所示：易知弦的長(zhǎng)度最大時(shí)，為直徑，此時(shí)；又；顯然當(dāng)最大時(shí)，即在點(diǎn)處時(shí)，時(shí)，取得最大值，即.故答案為：16；.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）15.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量，點(diǎn)，，.（1）若，且，求向量的坐標(biāo)；（2）若向量與共線，求的取值范圍.解：（1）由題可得，，因?yàn)椋?，?由，得，即.解得或.所以點(diǎn)或，故向量的坐標(biāo)或.（2）因?yàn)?，，且與共線，所以.易知由，得當(dāng)或1時(shí)，取得最小值為0.當(dāng)時(shí)，取得最大值為.綜上可得的取值范圍為.16.已知函數(shù)的最大值為，兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，對(duì)，.（1）求函數(shù)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在平面直角坐標(biāo)系中用五點(diǎn)法畫出函數(shù)在的圖象；（3）當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題可得：，，又，所以，又當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，.得到，，因?yàn)?，所以，故，令，；解得，；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）五點(diǎn)法作圖列表如下：所以函數(shù)在的圖象如圖，（3）方程只有一解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象在上只有一個(gè)交點(diǎn)，由（2）知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，，由（2）中圖象可得或.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及對(duì)稱中心；（2）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，，，求.解：（1）由題可得；所以最小正周期為.令，，即，；所以函數(shù)對(duì)稱中心為，.（2）由得，則，因?yàn)?，即；所以，?因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所?由正弦定理得，即；所以.18.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）證明：；（2）若，，求；（3）若點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，平分，，且面積是面積的3倍，求的值.（1）證明：由，得，由正弦定理得：所以，即又，所以或（舍去）故，所以結(jié)論得證（2）由及正弦定理得由，可得，即得，因?yàn)?，所以所以，所以又因?yàn)榍遥运裕?）由（1）知，所以為等腰三角形，所以，又，所以又是的角平分線，由角平分線的性質(zhì)定理可知：，所以，在中由余弦定理：在中，由余弦定理：又，所以，解得：，又，所以.19.定義函數(shù)的“積向量”為，向量的“積函數(shù)”為.（1）設(shè)向