高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省縣域重點(diǎn)高中2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列角中，與終邊相同的角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以與終邊相同的角是.故選：B.2.為鈍角是為第二象限角的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若為鈍角，則，則為第二象限角；反之，若為第二象限角，例如，則不為鈍角.所以為鈍角是為第二象限角的充分不必要條件.故選：A.3.已知向量，滿足，，則在上的投影的數(shù)量為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】由題得在上的投影的數(shù)量為.故選：B4.為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A.向左平移1個(gè)單位 B.向左平移3個(gè)單位C.向右平移1個(gè)單位 D.向右平移3個(gè)單位【答案】A【解析】將函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，即的圖象.故選：A5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得①，由，得②，①+②得，所以.故選：C.6.受魯洛克斯三角形的啟發(fā)，我們可以得到?jīng)]有尖點(diǎn)的圓弧圖形.如圖，已知的所有邊長(zhǎng)均為，把的各邊分別向兩個(gè)方向延伸長(zhǎng)度為的一段，然后以三個(gè)頂點(diǎn)為圓心分別畫圓弧，使得三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的圓弧的半徑均為，內(nèi)角的對(duì)頂角所對(duì)的圓弧的半徑均為，由這樣的六條圓弧組成圓弧六邊形.已知該圓弧六邊形的面積為，周長(zhǎng)為，則（）A.2 B. C. D.3【答案】D【解析】由題意可得圓弧六邊形的面積為：①，圓弧六邊形的周長(zhǎng)為：，即②，聯(lián)立①②，解得，，所以.故選：D7.已知向量，，若存在實(shí)數(shù)，使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，所以有實(shí)數(shù)解，令，則，因?yàn)?，所以，所以，解?故選：D.8.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由三角函數(shù)線可得當(dāng)時(shí)，，又，所以，所以.故選：C.其中當(dāng)時(shí)的證明如下：構(gòu)造單位圓，如圖所示：則，設(shè)，則，過點(diǎn)作直線垂直于軸，交所在直線于點(diǎn)，由，得，所以，由圖可知，即，即.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于平面向量，，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則，的夾角為銳角C.若，，，可能垂直D.若，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，若，則，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，若，則，的夾角為銳角或，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，，令，則，顯然有解，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，，所以，所以，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.10.已知，則可能是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【答案】BD【解析】因?yàn)?，即，所以，即，所以，所以是第二象限角或第四象限?故選：BD.11.如圖，在直角梯形中，，，，，動(dòng)點(diǎn)從頂點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度在梯形的邊上沿著的路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處則停止，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，令，則（）A.的定義域?yàn)?B.C.的最大值為5 D.有5個(gè)單調(diào)區(qū)間【答案】AC【解析】由題意可得，所以點(diǎn)所走的總路程為，所以，故A正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其中，則，，，，設(shè)，則，，所以.如圖所示：①當(dāng)時(shí)，，，所以，即，故B錯(cuò)誤；②當(dāng)時(shí)，，，所以③當(dāng)時(shí)，，，所以.綜上，可知，故C正確；且在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，共4個(gè)單調(diào)區(qū)間，故D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，將角的終邊繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則的值為________.【答案】【解析】由角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，可得，又由將角的終邊繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則.故答案為：.13.在現(xiàn)代社會(huì)中，信號(hào)處理是非常關(guān)鍵的技術(shù)，而信號(hào)處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù).若某種信號(hào)波函數(shù)為，則的最小正周期為________.【答案】【解析】設(shè)函數(shù)，，，其最小正周期分別，，，最小公倍數(shù)是，所以的最小正周期為.故答案為：14.在中，，，分別為的重心和外接圓圓心，則的最小值為________.【答案】9【解析】如圖所示：取的中點(diǎn)為，則，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，共線同向時(shí)取等號(hào)（此時(shí)為直角）.故答案為：9四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）根據(jù)五點(diǎn)作圖法完善以下表格，并在如圖所示的直角坐標(biāo)系中作出在上的圖象；0

（2）若函數(shù)為奇函數(shù)，求的值及的對(duì)稱軸方程.解：（1）列表如下：02002再描點(diǎn)連線，得圖象如下：（2）因?yàn)椋?，令，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，.又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，所以的對(duì)稱軸方程為，，即的對(duì)稱軸方程為，.16.設(shè)，已知向量，，且.（1）求的值；（2）求.解：（1）由題得，因?yàn)?，所以，所以，解得或，又，所?（2）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，，又因?yàn)?，所以，所?17.已知，且，證明：（1）；（2）.解：（1）因?yàn)?，所以，兩邊同時(shí)除以，得，即.（2）因?yàn)椋?，所以，所以，所?18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，.（1）求的解析式；（2）若關(guān)于的方程在上有且僅有四個(gè)解，求的取值范圍.（1）解：由函數(shù)的圖象，可得，且最小正周期，所以，所以，又由，且點(diǎn)在圖象的上升部分，且，所以，所以.（2）解：在中，令，且，則，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，滿足方程組的值有且僅有四個(gè)，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，可得必有兩個(gè)相異零點(diǎn)，由直線與和，的圖象分別有兩個(gè)交點(diǎn)，作出直線與和的圖象，如圖所示，由圖象可得，，即在區(qū)間上有兩個(gè)相異零點(diǎn)，則滿足，解得解得，所以的取值范圍是.19.如圖，我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸，構(gòu)成的坐標(biāo)系，稱為“完美坐標(biāo)系”.設(shè)，分別為，正方向上的單位向量，若向量，則把實(shí)數(shù)對(duì)叫做向量的“完美坐標(biāo)”，記作.（1）若，，求的“