有理數(shù)：人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)課件學(xué)習(xí)目標(biāo)與課程導(dǎo)入核心學(xué)習(xí)目標(biāo)通過本課程的學(xué)習(xí)，你將能夠：準(zhǔn)確理解有理數(shù)的概念與分類掌握有理數(shù)的四則運(yùn)算法則理解有理數(shù)在日常生活中的應(yīng)用提高數(shù)學(xué)邏輯思維能力回顧：我們已學(xué)過的數(shù)在進(jìn)入有理數(shù)學(xué)習(xí)前，讓我們先回顧已經(jīng)學(xué)過的數(shù)：整數(shù)包括：0、1、2、3...以及-1、-2、-3...例如：房間的溫度是23度，海拔負(fù)200米等分?jǐn)?shù)形如a/b的數(shù)（b≠0），如1/2、3/4、-2/5例如：一個(gè)蛋糕吃了四分之三，剩下四分之一小數(shù)帶小數(shù)點(diǎn)的數(shù)，如0.5、2.75、-1.25例如：一瓶水的容量是1.5升，體重增加了0.5千克有理數(shù)的定義什么是有理數(shù)？有理數(shù)是指可以表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，即可以寫成a/b形式的數(shù)（其中b≠0）。包括：所有的整數(shù)（可以表示為分母為1的分?jǐn)?shù)）所有的分?jǐn)?shù)所有的有限小數(shù)所有的無限循環(huán)小數(shù)有理數(shù)的集合用符號(hào)Q表示。形式表示有理數(shù)可以表示為：其中：m,n是整數(shù)n不能為零正數(shù)、負(fù)數(shù)與零1正數(shù)(positivenumbers)大于零的數(shù)，在數(shù)軸上位于原點(diǎn)的右側(cè)表示方式：可以加上"+"號(hào)，也可以省略例如：+5或5、+2.5或2.5、+3/4或3/4生活中表示：增加、上升、盈利、東方、北方等2負(fù)數(shù)(negativenumbers)小于零的數(shù)，在數(shù)軸上位于原點(diǎn)的左側(cè)表示方式：必須加上"-"號(hào)例如：-3、-1.5、-2/3生活中表示：減少、下降、虧損、西方、南方等3零(zero)既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，在數(shù)軸上位于原點(diǎn)表示方式：0生活中表示：無變化、平衡點(diǎn)、起始點(diǎn)等有理數(shù)的兩種分類按正負(fù)分類正有理數(shù)大于0的有理數(shù)例如：1、2、3.5、2/3零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)例如：0、0.0負(fù)有理數(shù)小于0的有理數(shù)例如：-1、-2、-0.5、-3/4按整數(shù)/分?jǐn)?shù)分類整數(shù)可以表示為n/1的有理數(shù)例如：-2、-1、0、1、2分?jǐn)?shù)不能表示為整數(shù)的有理數(shù)例如：1/2、-3/4、5/2整數(shù)的分類與實(shí)例整數(shù)的正式定義整數(shù)是有理數(shù)的一個(gè)子集，包括：整數(shù)集用符號(hào)Z表示，來源于德語(yǔ)"Zahlen"（數(shù)）的首字母。正整數(shù)大于零的整數(shù)：1,2,3,4,5...日常應(yīng)用：物體的數(shù)量：課堂上有42名學(xué)生正序排名：他在比賽中獲得第1名樓層標(biāo)識(shí)：電梯上升到18層負(fù)整數(shù)小于零的整數(shù)：-1,-2,-3,-4,-5...日常應(yīng)用：溫度：今天的氣溫是零下5度地下樓層：汽車停在地下2層歷史年代：公元前221年秦始皇統(tǒng)一中國(guó)零既不是正整數(shù)也不是負(fù)整數(shù)日常應(yīng)用：起點(diǎn)：比賽從0公里處開始平衡點(diǎn)：收支平衡，利潤(rùn)為0分?jǐn)?shù)的分類與實(shí)例分?jǐn)?shù)的形式與類型分?jǐn)?shù)是形如a/b的有理數(shù)，其中a、b是整數(shù)且b≠0。正分?jǐn)?shù)大于零的分?jǐn)?shù)，可以表示為：分子分母同為正數(shù)：3/4、5/2分子分母同為負(fù)數(shù)：(-3)/(-4)日常應(yīng)用：蛋糕吃了3/4水杯裝了1/2杯水負(fù)分?jǐn)?shù)小于零的分?jǐn)?shù)，可以表示為：分子為正數(shù)，分母為負(fù)數(shù)：5/(-3)分子為負(fù)數(shù)，分母為正數(shù)：(-5)/3日常應(yīng)用：氣溫下降了1/2度公司虧損了收入的2/3分?jǐn)?shù)與小數(shù)的轉(zhuǎn)換分?jǐn)?shù)可以轉(zhuǎn)換為小數(shù)：有限小數(shù)例如：1/4=0.25、3/5=0.6當(dāng)分母的質(zhì)因數(shù)只有2或5時(shí)，分?jǐn)?shù)可以表示為有限小數(shù)無限循環(huán)小數(shù)例如：1/3=0.333...、2/11=0.1818...當(dāng)分母的質(zhì)因數(shù)中包含除2和5以外的其他質(zhì)數(shù)時(shí)，分?jǐn)?shù)會(huì)表示為無限循環(huán)小數(shù)有理數(shù)與實(shí)數(shù)的關(guān)系數(shù)的分類體系實(shí)數(shù)系統(tǒng)可以分為以下幾類：3實(shí)數(shù)(RealNumbers)包括所有有理數(shù)和無理數(shù)有理數(shù)(RationalNumbers)可以表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)3整數(shù)(Integers)包括正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零自然數(shù)(NaturalNumbers)從1開始的正整數(shù)集合無理數(shù)簡(jiǎn)介無理數(shù)是不能表示為兩個(gè)整數(shù)之比的實(shí)數(shù)，具有以下特點(diǎn)：不能寫成分?jǐn)?shù)形式表示為無限不循環(huán)小數(shù)在數(shù)軸上也有對(duì)應(yīng)點(diǎn)常見的無理數(shù)例子：\sqrt{2}≈1.414213...\pi≈3.141592...e≈2.718281...數(shù)軸與有理數(shù)數(shù)軸的三要素原點(diǎn)(Origin)數(shù)軸上表示數(shù)字0的點(diǎn)，是數(shù)軸的中心點(diǎn)正方向(PositiveDirection)從原點(diǎn)向右的方向，表示數(shù)值增大的方向單位長(zhǎng)度(UnitLength)數(shù)軸上相鄰兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)之間的距離在數(shù)軸上表示有理數(shù)有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)：正數(shù)位于原點(diǎn)右側(cè)負(fù)數(shù)位于原點(diǎn)左側(cè)零位于原點(diǎn)數(shù)的絕對(duì)值越大，對(duì)應(yīng)點(diǎn)離原點(diǎn)越遠(yuǎn)具體操作方法：確定原點(diǎn)和單位長(zhǎng)度根據(jù)數(shù)的正負(fù)確定在原點(diǎn)的左側(cè)還是右側(cè)根據(jù)數(shù)的絕對(duì)值確定離原點(diǎn)的距離例如：+2在原點(diǎn)右側(cè)2個(gè)單位處，-1.5在原點(diǎn)左側(cè)1.5個(gè)單位處，3/4在原點(diǎn)右側(cè)0.75個(gè)單位處。有理數(shù)的大小比較規(guī)則數(shù)軸與大小關(guān)系在數(shù)軸上：一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在另一個(gè)數(shù)的右側(cè)，則這個(gè)數(shù)更大一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在另一個(gè)數(shù)的左側(cè)，則這個(gè)數(shù)更小符號(hào)表示：a>b：表示a大于ba<b：表示a小于ba=b：表示a等于b有理數(shù)大小比較的基本規(guī)則規(guī)則一：零的比較任何正數(shù)都大于0任何負(fù)數(shù)都小于0例如：5>0>-3規(guī)則二：同號(hào)數(shù)比較兩個(gè)正數(shù)：絕對(duì)值大的數(shù)更大兩個(gè)負(fù)數(shù)：絕對(duì)值小的數(shù)更大例如：5>3，-2>-7規(guī)則三：異號(hào)數(shù)比較正數(shù)總是大于負(fù)數(shù)不需要比較絕對(duì)值大小例如：2>-10，0.5>-100例題解析比較以下數(shù)的大?。?2.5，3/4，-1，0，2解：根據(jù)上述規(guī)則，可得：2>3/4>0>-1>-2.5絕對(duì)值的概念絕對(duì)值的定義一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是指這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。記作：|a|簡(jiǎn)單理解：絕對(duì)值就是把負(fù)數(shù)變成正數(shù)，正數(shù)和零保持不變。絕對(duì)值的幾何意義數(shù)軸上，|a|表示點(diǎn)a到原點(diǎn)的距離，因此絕對(duì)值總是非負(fù)的。例題1：計(jì)算下列各數(shù)的絕對(duì)值(1)|5|=5(2)|-7|=7(3)|0|=0(4)|3.5|=3.5(5)|-2/3|=2/3例題2：解不等式解不等式：|x|<3解：|x|<3表示x到原點(diǎn)的距離小于3個(gè)單位即x在數(shù)軸上位于-3與3之間所以解為：-3<x<3物理意義在物理學(xué)中，絕對(duì)值常用來表示標(biāo)量量：位移與距離：位移有方向，距離是位移的絕對(duì)值溫度變化：無論是升高還是降低，溫度變化量是絕對(duì)值相反數(shù)的定義相反數(shù)的定義兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，是指它們的和等于0。a的相反數(shù)記作-a，滿足：a+(-a)=0相反數(shù)的幾何意義在數(shù)軸上，相反數(shù)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)。相反數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)一：絕對(duì)值相等互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，其絕對(duì)值相等。|a|=|-a|性質(zhì)二：符號(hào)相反如果a是正數(shù)，則-a是負(fù)數(shù)；如果a是負(fù)數(shù)，則-a是正數(shù)；如果a是0，則-a也是0。性質(zhì)三：兩次取相反數(shù)等于原數(shù)-(-a)=a特殊情況：0的相反數(shù)0的相反數(shù)是0自身，即：-0=0這是因?yàn)椋?+0=0例題：求下列各數(shù)的相反數(shù)(1)5的相反數(shù)是-5(2)-7的相反數(shù)是7(3)0的相反數(shù)是0(4)2/3的相反數(shù)是-2/3(5)-1.25的相反數(shù)是1.25應(yīng)用場(chǎng)景溫度：上升5°C的相反變化是下降5°C財(cái)務(wù)：盈利100元的相反是虧損100元方向：向東3公里的相反是向西3公里有理數(shù)的基本性質(zhì)同號(hào)數(shù)與異號(hào)數(shù)同號(hào)數(shù)兩個(gè)同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù)的數(shù)例如：2和5都是正數(shù)，-3和-7都是負(fù)數(shù)異號(hào)數(shù)一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù)的兩個(gè)數(shù)例如：3和-4，-2和1注意：0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，與任何非零數(shù)都是異號(hào)數(shù)。有理數(shù)的乘方有理數(shù)a的n次方記作an，表示n個(gè)a相乘。例如：23=2×2×2=8(-3)2=(-3)×(-3)=9(-2)3=(-2)×(-2)×(-2)=-8有理數(shù)的基本性質(zhì)總結(jié)封閉性：有理數(shù)的加、減、乘、除（除數(shù)不為0）運(yùn)算結(jié)果仍是有理數(shù)交換律：a+b=b+a，a×b=b×a結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)，(a×b)×c=a×(b×c)分配律：a×(b+c)=a×b+a×c小結(jié)有理數(shù)系統(tǒng)是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)體系，它的性質(zhì)為我們解決各種數(shù)學(xué)問題提供了理論基礎(chǔ)。理解這些性質(zhì)有助于我們更加靈活地進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算。有理數(shù)的加法法則加法的幾何意義在數(shù)軸上，加一個(gè)正數(shù)相當(dāng)于向右移動(dòng)，加一個(gè)負(fù)數(shù)相當(dāng)于向左移動(dòng)。加法符號(hào)規(guī)則正+正=正負(fù)+負(fù)=負(fù)正+負(fù)或負(fù)+正：看絕對(duì)值大小有理數(shù)加法法則同號(hào)數(shù)相加絕對(duì)值相加，符號(hào)不變例如：(+5)+(+3)=+8(-4)+(-2)=-6異號(hào)數(shù)相加（絕對(duì)值相等）結(jié)果為0例如：(+5)+(-5)=0(-7)+(+7)=0異號(hào)數(shù)相加（絕對(duì)值不等）絕對(duì)值相減，取絕對(duì)值大的數(shù)的符號(hào)例如：(+5)+(-2)=+3(-8)+(+3)=-5例題解析計(jì)算：(-3.5)+(+4.2)解：兩數(shù)異號(hào)，且|4.2|>|3.5|所以結(jié)果為：4.2-3.5=0.7，取正號(hào)(-3.5)+(+4.2)=+0.7計(jì)算：(-2/3)+(-1/5)解：兩數(shù)同號(hào)為負(fù)，所以(-2/3)+(-1/5)=-(2/3+1/5)=-(10/15+3/15)=-(13/15)=-13/15有理數(shù)的減法法則減法的定義有理數(shù)的減法定義為：a-b=a+(-b)即：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)減法的幾何意義在數(shù)軸上，減去一個(gè)正數(shù)相當(dāng)于向左移動(dòng)，減去一個(gè)負(fù)數(shù)相當(dāng)于向右移動(dòng)。減法的常見情況正數(shù)減正數(shù)a-b=a+(-b)例如：5-3=5+(-3)=22-7=2+(-7)=-5正數(shù)減負(fù)數(shù)a-(-b)=a+b例如：5-(-3)=5+3=8負(fù)數(shù)減正數(shù)(-a)-b=(-a)+(-b)=-(a+b)例如：(-5)-3=(-5)+(-3)=-8負(fù)數(shù)減負(fù)數(shù)(-a)-(-b)=(-a)+b=b-a例如：(-5)-(-3)=(-5)+3=-2(-2)-(-7)=(-2)+7=5例題：計(jì)算差值計(jì)算：2.5-(-1.8)解：2.5-(-1.8)=2.5+1.8=4.3計(jì)算：(-3/4)-2/3解：(-3/4)-2/3=(-3/4)+(-2/3)=-(3/4+2/3)=-(9/12+8/12)=-(17/12)=-17/12有理數(shù)加減混合運(yùn)算混合運(yùn)算的原則在進(jìn)行有理數(shù)的加減混合運(yùn)算時(shí)，需要遵循以下原則：按照運(yùn)算順序，從左到右依次計(jì)算先計(jì)算小括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式利用加法和減法的定義轉(zhuǎn)化問題連續(xù)減法的理解a-b-c=a-b+(-c)=a+(-b)+(-c)即連續(xù)減去多個(gè)數(shù)，等于加上這些數(shù)的相反數(shù)。綜合例題解析例1：計(jì)算-5+7-(-2)+(-4)解：-5+7-(-2)+(-4)=-5+7+2+(-4)=2+2+(-4)=4+(-4)=0例2：計(jì)算-3.6-2.4-(-5.8)解：-3.6-2.4-(-5.8)=-3.6+(-2.4)+5.8=-6.0+5.8=-0.2例3：計(jì)算(-1/2)+(-3/4)-2/3+5/6解：首先通分：(-1/2)=(-6/12)(-3/4)=(-9/12)(-2/3)=(-8/12)(5/6)=(10/12)然后計(jì)算：(-6/12)+(-9/12)-8/12+10/12=(-6/12)+(-9/12)+(-8/12)+10/12=(-23/12)+10/12=-13/12有理數(shù)的乘法法則乘法的符號(hào)規(guī)則同號(hào)相乘得正數(shù)(+)×(+)=(+)(-)×(-)=(+)異號(hào)相乘得負(fù)數(shù)(+)×(-)=(-)(-)×(+)=(-)任何數(shù)乘以0等于0a×0=00×a=0乘法法則公式化表示設(shè)a,b是兩個(gè)有理數(shù)，則：簡(jiǎn)單記憶口訣：同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，任何數(shù)乘以0得0。典型例題例1：計(jì)算(+5)×(+3)解：同號(hào)相乘得正，所以(+5)×(+3)=+15例2：計(jì)算(-7)×(-2)解：同號(hào)相乘得正，所以(-7)×(-2)=+14例3：計(jì)算(+4)×(-6)解：異號(hào)相乘得負(fù)，所以(+4)×(-6)=-24例4：計(jì)算(-1/2)×(3/5)解：異號(hào)相乘得負(fù)，所以(-1/2)×(3/5)=-(1/2×3/5)=-(3/10)=-3/10例5：計(jì)算(-2.5)×(-0.4)解：同號(hào)相乘得正，所以(-2.5)×(-0.4)=+(2.5×0.4)=+1.0=1有理數(shù)的除法法則除法的定義除法是乘法的逆運(yùn)算。a÷b表示一個(gè)數(shù)與b的乘積等于a的數(shù)。即：a÷b=c，其中c×b=a（b≠0）也可以表示為分?jǐn)?shù)形式：a÷b=a/b（b≠0）0的除法特例0除以任何非零數(shù)都等于0：0÷a=0（a≠0）任何數(shù)都不能除以0，因?yàn)闆]有任何數(shù)與0的乘積能得到非零數(shù)。除法的符號(hào)規(guī)則同號(hào)相除得正數(shù)(+)÷(+)=(+)(-)÷(-)=(+)例如：6÷2=3，(-8)÷(-4)=2異號(hào)相除得負(fù)數(shù)(+)÷(-)=(-)(-)÷(+)=(-)例如：6÷(-2)=-3，(-8)÷4=-2口訣：除法的符號(hào)規(guī)則與乘法相同，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)。除法轉(zhuǎn)化為乘法除以一個(gè)數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)：a÷b=a×(1/b)（b≠0）典型例題例1：計(jì)算(+15)÷(+3)解：同號(hào)相除得正，所以(+15)÷(+3)=+5例2：計(jì)算(-14)÷(-7)解：同號(hào)相除得正，所以(-14)÷(-7)=+2例3：計(jì)算(+10)÷(-2)解：異號(hào)相除得負(fù)，所以(+10)÷(-2)=-5例4：計(jì)算(-3/4)÷(3/8)解：(-3/4)÷(3/8)=(-3/4)×(8/3)=-6/4=-3/2有理數(shù)乘除混合運(yùn)算乘除混合運(yùn)算的原則按照從左到右的順序計(jì)算先乘除，后加減括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算先進(jìn)行可以利用乘法分配律簡(jiǎn)化計(jì)算常見誤區(qū)誤區(qū)一：忽視負(fù)號(hào)例如：-2×3應(yīng)該是-6，而不是-2×3=6誤區(qū)二：連續(xù)除法理解錯(cuò)誤例如：8÷4÷2不等于8÷8正確計(jì)算：8÷4÷2=2÷2=1綜合例題解析例1：計(jì)算-6×4÷(-3)解：從左到右計(jì)算-6×4=-24-24÷(-3)=8所以-6×4÷(-3)=8例2：計(jì)算-10÷2×(-0.5)解：-10÷2=-5-5×(-0.5)=2.5所以-10÷2×(-0.5)=2.5例3：計(jì)算(-2/3)×3/4÷(-5/6)解：(-2/3)×3/4=-6/12=-1/2(-1/2)÷(-5/6)=(-1/2)×(-6/5)=6/10=3/5所以(-2/3)×3/4÷(-5/6)=3/5例4：計(jì)算(-1.2)×(-3)÷0.6×(-5)解：(-1.2)×(-3)=3.63.6÷0.6=66×(-5)=-30所以(-1.2)×(-3)÷0.6×(-5)=-30有理數(shù)的運(yùn)算優(yōu)先級(jí)四則運(yùn)算的優(yōu)先順序第一優(yōu)先級(jí)括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算例如：計(jì)算5+(3×4)時(shí)，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)3×4=12，然后再計(jì)算5+12=17第二優(yōu)先級(jí)乘方（乘方比乘除優(yōu)先級(jí)更高）例如：計(jì)算2×32時(shí)，先計(jì)算32=9，然后再計(jì)算2×9=18第三優(yōu)先級(jí)乘法和除法（從左到右依次計(jì)算）例如：計(jì)算6÷2×3時(shí)，先計(jì)算6÷2=3，然后再計(jì)算3×3=9第四優(yōu)先級(jí)加法和減法（從左到右依次計(jì)算）例如：計(jì)算8-5+2時(shí)，先計(jì)算8-5=3，然后再計(jì)算3+2=5記憶口訣："先括號(hào)內(nèi)，后乘方，再乘除，最后加減"絕對(duì)值符號(hào)的處理絕對(duì)值符號(hào)也可以看作是一種括號(hào)，先計(jì)算絕對(duì)值內(nèi)的表達(dá)式，再取絕對(duì)值。例如：|3-5|=|?2|=2綜合例題例1：計(jì)算3+2×5解：乘法優(yōu)先級(jí)高于加法2×5=103+10=13所以3+2×5=13例2：計(jì)算(?2)2×3?4÷2解：按照優(yōu)先級(jí)計(jì)算(?2)2=44×3=124÷2=212?2=10所以(?2)2×3?4÷2=10例3：計(jì)算?5+|3?8|×2解：先計(jì)算絕對(duì)值|3?8|=|?5|=55×2=10?5+10=5所以?5+|3?8|×2=5有理數(shù)相關(guān)運(yùn)算典型習(xí)題綜合計(jì)算題例題1計(jì)算：(-2/3)×[(-1/4)+(-3/8)]÷0.5解：先計(jì)算括號(hào)內(nèi)：(-1/4)+(-3/8)=(-2/8)+(-3/8)=-5/8然后計(jì)算：(-2/3)×(-5/8)=10/24=5/12最后計(jì)算：(5/12)÷0.5=(5/12)÷(1/2)=(5/12)×2=10/12=5/6所以(-2/3)×[(-1/4)+(-3/8)]÷0.5=5/6例題2計(jì)算：5-[3+2×(-4)]÷(-2)解：先計(jì)算括號(hào)內(nèi)：2×(-4)=-8，3+(-8)=-5然后計(jì)算：(-5)÷(-2)=2.5最后計(jì)算：5-2.5=2.5所以5-[3+2×(-4)]÷(-2)=2.5應(yīng)用題例題3一個(gè)數(shù)減去它的相反數(shù)，再除以這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，結(jié)果是多少？解：設(shè)這個(gè)數(shù)為a（a≠0）則這個(gè)數(shù)的相反數(shù)為-a這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值為|a|所求的結(jié)果為：[a-(-a)]÷|a|=(a+a)÷|a|=2a÷|a|當(dāng)a>0時(shí)，|a|=a，所以結(jié)果為2a÷a=2當(dāng)a<0時(shí)，|a|=-a，所以結(jié)果為2a÷(-a)=-2所以，當(dāng)a>0時(shí)，結(jié)果為2；當(dāng)a<0時(shí)，結(jié)果為-2例題4計(jì)算：|?3+2|+|?2?3|+|?5×(?2)|?|?8÷4|解：|?3+2|=|?1|=1|?2?3|=|?5|=5|?5×(?2)|=|10|=10|?8÷4|=|?2|=21+5+10?2=14所以|?3+2|+|?2?3|+|?5×(?2)|?|?8÷4|=14有理數(shù)在物理中的應(yīng)用溫度變化問題例題1：早晨6點(diǎn)氣溫是-5°C，到中午12點(diǎn)上升了8°C，下午3點(diǎn)又下降了3°C，問下午3點(diǎn)的氣溫是多少？解：早晨氣溫為-5°C中午氣溫為：-5+8=3°C下午3點(diǎn)氣溫為：3-3=0°C所以下午3點(diǎn)的氣溫是0°C海拔高度問題例題2：某座山的山頂海拔為3250米，某海底洼地海拔為-2680米，求二者的高度差。解：高度差=山頂海拔-海底洼地海拔=3250-(-2680)=3250+2680=5930（米）所以高度差為5930米位移與距離問題例題3：小明從家出發(fā)，先向東走300米，然后向西走500米，最后向東走100米。求小明的總位移和總路程。解：總位移=300+(-500)+100=-100（米）位移為-100米，表示最終位置在家的西邊100米處總路程=|300|+|?500|+|100|=300+500+100=900（米）所以總位移是-100米，總路程是900米速度方向問題例題4：一列火車以36千米/小時(shí)的速度向東行駛，另一列火車以45千米/小時(shí)的速度向西行駛。如果規(guī)定向東為正方向，向西為負(fù)方向，求兩車的相對(duì)速度。解：第一列火車的速度為36千米/小時(shí)第二列火車的速度為-45千米/小時(shí)相對(duì)速度=36-(-45)=36+45=81（千米/小時(shí)）所以兩車的相對(duì)速度為81千米/小時(shí)有理數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用收支記錄應(yīng)用在記賬時(shí)，通常用正數(shù)表示收入，負(fù)數(shù)表示支出。例題1：小李這個(gè)月的收支情況如下：工資收入5000元獎(jiǎng)金1200元房租支出1500元購(gòu)物支出2300元交通費(fèi)用支出400元求小李這個(gè)月的凈收入。解：凈收入=5000+1200+(-1500)+(-2300)+(-400)=6200+(-4200)=2000（元）所以小李這個(gè)月的凈收入為2000元利潤(rùn)與虧損應(yīng)用例題2：某商店進(jìn)貨一批商品，每件進(jìn)價(jià)150元，售價(jià)180元，銷售了60件，同時(shí)有5件因質(zhì)量問題退貨。如果用正數(shù)表示利潤(rùn)，負(fù)數(shù)表示虧損，求該商店銷售這批商品的盈虧情況。解：銷售利潤(rùn)=60×(180-150)=60×30=1800（元）退貨損失=5×150=750（元）總盈虧=1800+(-750)=1050（元）所以商店銷售這批商品盈利1050元電費(fèi)正負(fù)值應(yīng)用例題3：某居民家庭安裝了光伏發(fā)電系統(tǒng)，當(dāng)發(fā)電量大于用電量時(shí)，多余的電量可以賣給電網(wǎng)。一個(gè)月內(nèi)：使用電網(wǎng)電力消費(fèi)：300度，每度電0.5元向電網(wǎng)出售電力：120度，每度電0.3元求該月電費(fèi)賬單金額。解：消費(fèi)電費(fèi)=300×0.5=150（元）出售電費(fèi)收入=120×0.3=36（元）電費(fèi)賬單金額=150+(-36)=114（元）所以該月電費(fèi)賬單金額為114元判斷與分類小測(cè)試判斷題0是正有理數(shù)。答案：錯(cuò)誤。0既不是正有理數(shù)也不是負(fù)有理數(shù)。負(fù)分?jǐn)?shù)是負(fù)有理數(shù)。答案：正確。所有負(fù)分?jǐn)?shù)都是負(fù)有理數(shù)。兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘一定得負(fù)數(shù)。答案：錯(cuò)誤。兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘得正數(shù)。一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值一定是非負(fù)數(shù)。答案：正確。絕對(duì)值表示距離，所以一定是非負(fù)數(shù)。在數(shù)軸上，5與-5關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。答案：正確?；橄喾磾?shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。單項(xiàng)選擇題下列各數(shù)中，最大的數(shù)是()A.-2B.-1.5C.-2.5D.-3答案：B。在負(fù)數(shù)中，絕對(duì)值越小的數(shù)越大，|-1.5|=1.5最小，所以-1.5最大。下列計(jì)算結(jié)果為負(fù)數(shù)的是()A.(-3)×(-5)B.(-6)÷(-2)C.(-8)+5D.4-9答案：C和D。(-3)×(-5)=15>0，(-6)÷(-2)=3>0，(-8)+5=-3<0，4-9=-5<0。若x=-2，則|x-3|-|x+3|=()A.-6B.0C.6D.12答案：A。|x-3|=|-2-3|=|-5|=5，|x+3|=|-2+3|=|1|=1，所以|x-3|-|x+3|=5-1=4。答案錯(cuò)誤，正確答案為4，不在選項(xiàng)中。計(jì)算(-3)2-2×(-3)+5的結(jié)果是()A.2B.8C.14D.20答案：C。(-3)2-2×(-3)+5=9-(-6)+5=9+6+5=20。常見易錯(cuò)點(diǎn)分析教師點(diǎn)評(píng)有理數(shù)運(yùn)算的錯(cuò)誤主要集中在符號(hào)處理、運(yùn)算順序和特殊情況理解三個(gè)方面。認(rèn)真梳理這些易錯(cuò)點(diǎn)，有助于同學(xué)們更好地掌握有理數(shù)運(yùn)算的技巧。運(yùn)算順序錯(cuò)誤誤區(qū)1：忽視運(yùn)算優(yōu)先級(jí)錯(cuò)誤示例：5-3×2=4正確計(jì)算：5-3×2=5-6=-1糾錯(cuò)要點(diǎn)：先乘除，后加減誤區(qū)2：連續(xù)除法順序錯(cuò)誤錯(cuò)誤示例：12÷4÷2=12÷8=1.5正確計(jì)算：12÷4÷2=3÷2=1.5糾錯(cuò)要點(diǎn)：從左到右依次計(jì)算符號(hào)混淆錯(cuò)誤誤區(qū)3：負(fù)號(hào)與減號(hào)混淆錯(cuò)誤示例：3+-2=3-2=1（其中-2前的+被忽略）正確計(jì)算：3+(-2)=1糾錯(cuò)要點(diǎn)：注意區(qū)分負(fù)號(hào)和減號(hào)，括號(hào)不能省略誤區(qū)4：負(fù)數(shù)乘法符號(hào)錯(cuò)誤錯(cuò)誤示例：-2×3=6（認(rèn)為負(fù)負(fù)得正）正確計(jì)算：-2×3=-6糾錯(cuò)要點(diǎn)：只有兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘才得正，一正一負(fù)得負(fù)特殊情況處理錯(cuò)誤誤區(qū)5：絕對(duì)值計(jì)算錯(cuò)誤錯(cuò)誤示例：|-3+5|=|-3|+|5|=3+5=8正確計(jì)算：|-3+5|=|2|=2糾錯(cuò)要點(diǎn)：先計(jì)算絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的表達(dá)式，再取絕對(duì)值誤區(qū)6：分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算錯(cuò)誤錯(cuò)誤示例：2/3+1/4=3/7正確計(jì)算：2/3+1/4=8/12+3/12=11/12糾錯(cuò)要點(diǎn)：分?jǐn)?shù)加減需先通分鞏固練習(xí)題集基礎(chǔ)題型比較大小比較下列各組數(shù)的大?。?.-1.2和-1.52.-3/4和-2/33.|?5|和|?4|4.-8和0基本運(yùn)算計(jì)算下列各題：1.(-5)+122.7-(-3)3.(-2)×(-6)4.(-10)÷25.2/3+(-1/4)中等難度題型混合運(yùn)算計(jì)算下列各題：1.5-2×(-3)+42.-6÷3×(-2)-53.2/3×[3/4-(-1/2)]4.[(-4)+7]÷[8-3×3]挑戰(zhàn)題型綜合應(yīng)用題1.小明在數(shù)軸上從點(diǎn)5出發(fā)，先向左移動(dòng)8個(gè)單位，再向右移動(dòng)3個(gè)單位，然后再向左移動(dòng)2個(gè)單位，最后他到達(dá)的點(diǎn)的坐標(biāo)是多少？2.某天早晨氣溫是-3°C，上午氣溫上升了8°C，下午又下降了5°C，傍晚又下降了2°C，問傍晚的氣溫是多少？3.甲、乙兩地相距240千米，兩輛汽車分別從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)相向而行。甲地出發(fā)的汽車速度是每小時(shí)60千米，乙地出發(fā)的汽車速度是每小時(shí)40千米，兩車多少小時(shí)后相遇？思考題數(shù)學(xué)推理題1.已知a、b是兩個(gè)負(fù)數(shù)，判斷a+b、a-b、a×b、a÷b的正負(fù)性。2.如果x+y=0，且x≠0，求(x2+y2)÷|xy|的值。3.一個(gè)數(shù)加上它的相反數(shù)，乘以它的倒數(shù)，結(jié)果是多少？4.若a+b+c=0，a2+b2+c2=12，求ab+bc+ca的值。拓展：有理數(shù)的乘方乘方的定義有理數(shù)a的n次方記作an，表示n個(gè)a相乘。正負(fù)號(hào)與乘方的關(guān)系當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，指數(shù)的奇偶性決定結(jié)果的正負(fù)：當(dāng)指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為正當(dāng)指數(shù)為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為負(fù)基礎(chǔ)實(shí)例正數(shù)的乘方23=2×2×2=832=3×3=91.52=1.5×1.5=2.25(2/3)3=(2/3)