專升本大題題庫(kù)及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\)的定義域是（）A.\(x\geq1\)B.\(x>1\)C.\(x\leq1\)D.\(x<1\)2.極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)的值為（）A.0B.1C.3D.\(\frac{1}{3}\)3.曲線\(y=x^3\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.44.若\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f(x)\)=（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\frac{1}{3}x^3\)D.\(4x\)5.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.26.向量\(\vec{a}=(1,-2,3)\)與向量\(\vec=(2,-4,6)\)的關(guān)系是（）A.垂直B.平行C.相交D.異面7.直線\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3}\)與平面\(x+2y+3z-10=0\)的位置關(guān)系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.直線在平面內(nèi)8.函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((0,0)\)處（）A.有極大值B.有極小值C.無極值D.不是駐點(diǎn)9.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)是（）A.發(fā)散的B.條件收斂的C.絕對(duì)收斂的D.無法判斷斂散性10.微分方程\(y'+2y=0\)的通解是（）A.\(y=Ce^{2x}\)B.\(y=Ce^{-2x}\)C.\(y=Cxe^{-2x}\)D.\(y=Cxe^{2x}\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\sqrt{x}\)D.\(y=e^x\)2.下列極限運(yùn)算正確的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=1\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\)D.\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\)3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=xe^x\)4.下列積分計(jì)算正確的有（）A.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)B.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)5.對(duì)于向量\(\vec{a}=(1,-1,2)\)和\(\vec=(2,1,-1)\)，下列說法正確的有（）A.\(\vec{a}\cdot\vec=-1\)B.\(|\vec{a}|=\sqrt{6}\)C.\(|\vec|=\sqrt{6}\)D.\(\vec{a}\)與\(\vec\)垂直6.下列方程表示的曲面中，是旋轉(zhuǎn)曲面的有（）A.\(x^2+y^2+z^2=1\)B.\(x^2+y^2-z=0\)C.\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{16}=1\)D.\(x^2-y^2-z^2=1\)7.函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處可微的充分條件有（）A.\(f_x(x_0,y_0)\)和\(f_y(x_0,y_0)\)都存在B.\(f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處連續(xù)C.\(\lim_{\Deltax\to0,\Deltay\to0}\frac{\Deltaz-f_x(x_0,y_0)\Deltax-f_y(x_0,y_0)\Deltay}{\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}}=0\)D.\(f_x(x,y)\)和\(f_y(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處連續(xù)8.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)9.下列微分方程中，是一階線性微分方程的有（）A.\(y'+2y=x\)B.\(y''+3y'+2y=0\)C.\(y'=\frac{y}{x}+x^2\)D.\(y'+\siny=x\)10.對(duì)于二元函數(shù)\(z=x^2+3xy+y^2\)，下列說法正確的有（）A.\(z_x=2x+3y\)B.\(z_y=3x+2y\)C.在點(diǎn)\((0,0)\)處有駐點(diǎn)D.\(A=z_{xx}(0,0)=2\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處極限不存在。（）2.若\(f(x)\)在\(x=a\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x=a\)處一定連續(xù)。（）3.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)\(y'=3x^2\)，它在\(R\)上單調(diào)遞增。（）4.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值與積分變量\(x\)的選取無關(guān)。（）5.向量\(\vec{a}=(1,0,0)\)與向量\(\vec=(0,1,0)\)的數(shù)量積為\(0\)，所以它們垂直。（）6.平面\(2x+3y-z+1=0\)的法向量為\((2,3,-1)\)。（）7.函數(shù)\(z=\sqrt{x^2+y^2}\)在點(diǎn)\((0,0)\)處不可偏導(dǎo)。（）8.若級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)。（）9.微分方程\(y'=2y\)的通解是\(y=Ce^{2x}\)。（）10.函數(shù)\(f(x,y)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)的最大值一定是極大值。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=\ln(1+x^2)\)的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，令\(u=1+x^2\)，則\(y=\lnu\)。先對(duì)\(y\)關(guān)于\(u\)求導(dǎo)得\(y'_u=\frac{1}{u}\)，再對(duì)\(u\)關(guān)于\(x\)求導(dǎo)得\(u'_x=2x\)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式\(y'_x=y'_u\cdotu'_x\)，可得\(y'=\frac{2x}{1+x^2}\)。2.計(jì)算定積分\(\int_{0}^{1}(x^2+e^x)dx\)。答案：根據(jù)定積分的性質(zhì)\(\int_{0}^{1}(x^2+e^x)dx=\int_{0}^{1}x^2dx+\int_{0}^{1}e^xdx\)。\(\int_{0}^{1}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_0^1=\frac{1}{3}\)，\(\int_{0}^{1}e^xdx=[e^x]_0^1=e-1\)，所以原式\(=\frac{1}{3}+e-1=e-\frac{2}{3}\)。3.求過點(diǎn)\((1,2,3)\)且與平面\(2x-3y+z-5=0\)平行的平面方程。答案：已知平面的法向量\(\vec{n}=(2,-3,1)\)，所求平面與之平行，法向量相同。由平面的點(diǎn)法式方程\(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)，可得\(2(x-1)-3(y-2)+(z-3)=0\)，整理得\(2x-3y+z+1=0\)。4.求函數(shù)\(z=x^2+y^2-2x+4y\)的駐點(diǎn)。答案：先求\(z_x=2x-2\)，\(z_y=2y+4\)。令\(z_x=0\)，即\(2x-2=0\)，解得\(x=1\)；令\(z_y=0\)，即\(2y+4=0\)，解得\(y=-2\)。所以駐點(diǎn)為\((1,-2)\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\leq0\\2x+1,&x>0\end{cases}\)在\(x=0\)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。答案：連續(xù)性：\(\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x^2+1)=1\)，\(\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(2x+1)=1\)，\(f(0)=1\)，所以函數(shù)在\(x=0\)處連續(xù)。可導(dǎo)性：\(f'_-(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^-}\frac{x^2+1-1}{x}=0\)，\(f'_+(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^+}\frac{2x+1-1}{x}=2\)，左右導(dǎo)數(shù)不相等，所以在\(x=0\)處不可導(dǎo)。2.討論級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}\)的斂散性，其中\(zhòng)(p\)為參數(shù)。答案：當(dāng)\(p>1\)時(shí)，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)收斂，所以\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}\)絕對(duì)收斂；當(dāng)\(0<p\leq1\)時(shí)，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)發(fā)散，但\(\frac{1}{n^p}\)單調(diào)遞減且\(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^p}=0\)，由萊布尼茨判別法知\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}\)條件收斂；當(dāng)\(p\leq0\)時(shí)，\(\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}\neq0\)，級(jí)數(shù)發(fā)散。3.討論二元函數(shù)\(z=x^3+y^3-3xy\)的極值情況。答案：先求\(z_x=3x^2-3y\)，\(z_y=3y^2-3x\)。令\(z_x=0\)，\(z_y=0\)，解得駐點(diǎn)\((0,0)\)和\((1,1)\)。再求二階偏導(dǎo)數(shù)\(A=z_{xx}=6x\)，\(B=z_{xy}=-3\)，\(C=z_{yy}=6y\)。在\((0,0)\)處，\(AC-B^2=-9<0\)，不是極值點(diǎn)；在\((1,1)\)處，\(AC-B^2=36-9=27>0\)且\(A=6>0\)，有極小值\(z(1,1)=-1\)。4.討論一階線性非齊次微分方程\(y'+P(x)y=Q(x)\)的求解方法。答案：先求對(duì)應(yīng)的齊次方程\(y'+P(x)y=0\)的通解，分離變量\(\frac{dy}{y}=-P(x)dx\)，積分得\(y=Ce^{-\intP(x)dx}\)。再用常數(shù)變易法，設(shè)非齊次方程通解為\(y=C(x)e^{-\intP(x)dx}\)，代入原方程求出\(C(x)\)，積分得\(C(x)=\int