統(tǒng)計(jì)學(xué)試題庫及參考答案一、選擇題（每題2分，共20分）1.以下關(guān)于統(tǒng)計(jì)量的描述中，正確的是（）A.統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)且包含未知參數(shù)B.樣本均值是統(tǒng)計(jì)量，總體均值不是統(tǒng)計(jì)量C.統(tǒng)計(jì)量的分布一定與總體分布相同D.統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算必須依賴總體全部數(shù)據(jù)2.某企業(yè)為研究員工年齡與月收入的關(guān)系，隨機(jī)抽取100名員工，記錄其年齡（歲）和月收入（元）。該研究中，“年齡”和“月收入”分別屬于（）A.分類變量、數(shù)值變量B.順序變量、分類變量C.數(shù)值變量、數(shù)值變量D.順序變量、數(shù)值變量3.若一組數(shù)據(jù)的偏度系數(shù)為-1.2，峰度系數(shù)為3.8，則該數(shù)據(jù)分布的特征是（）A.左偏、尖峰B.右偏、尖峰C.左偏、平峰D.右偏、平峰4.從正態(tài)總體N(μ,σ2)中抽取容量為n的樣本，樣本均值為X?，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為S。當(dāng)σ未知且n=15時(shí)，檢驗(yàn)H?:μ=μ?應(yīng)使用（）A.Z檢驗(yàn)B.t檢驗(yàn)C.χ2檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)5.相關(guān)系數(shù)r=0.8表示兩個(gè)變量之間（）A.高度正線性相關(guān)B.高度負(fù)線性相關(guān)C.中度正線性相關(guān)D.中度負(fù)線性相關(guān)6.某超市記錄了10天的客流量（單位：人）：520,550,580,600,620,650,680,700,720,750。該數(shù)據(jù)的四分位距（IQR）為（）A.100B.120C.150D.1807.在單因素方差分析中，組間平方和（SSB）反映的是（）A.各水平內(nèi)部數(shù)據(jù)的離散程度B.各水平均值之間的差異程度C.隨機(jī)誤差的大小D.總變異中無法由因素解釋的部分8.若總體服從均勻分布U(a,b)，則樣本均值X?的漸近分布為（）A.均勻分布B.正態(tài)分布C.指數(shù)分布D.t分布9.進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，若原假設(shè)H?實(shí)際為假，但檢驗(yàn)結(jié)果未拒絕H?，這種錯(cuò)誤稱為（）A.第一類錯(cuò)誤（α錯(cuò)誤）B.第二類錯(cuò)誤（β錯(cuò)誤）C.棄真錯(cuò)誤D.無錯(cuò)誤10.回歸分析中，調(diào)整的決定系數(shù)（AdjustedR2）與普通決定系數(shù)（R2）相比，主要區(qū)別在于（）A.調(diào)整了樣本量的影響B(tài).調(diào)整了自變量個(gè)數(shù)的影響C.調(diào)整了因變量的量綱D.調(diào)整了殘差的分布---二、簡答題（每題5分，共30分）1.簡述描述統(tǒng)計(jì)與推斷統(tǒng)計(jì)的區(qū)別與聯(lián)系。2.解釋中心極限定理的核心內(nèi)容及其在統(tǒng)計(jì)推斷中的作用。3.說明分層抽樣與整群抽樣的區(qū)別，并各舉一例。4.簡述假設(shè)檢驗(yàn)中顯著性水平α的意義，以及α與β的關(guān)系。5.為什么在回歸分析中需要進(jìn)行多重共線性檢驗(yàn)？常用的檢驗(yàn)方法有哪些？6.簡述方差分析的基本假設(shè)。---三、計(jì)算題（共50分）（一）描述統(tǒng)計(jì)（10分）某班級30名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?5,82,68,90,78,85,72,88,65,92,79,83,76,80,87,70,84,73,89,69,77,81,74,86,91,66,71,82,75,80要求：（1）計(jì)算該組數(shù)據(jù)的均值、中位數(shù)和眾數(shù)；（2）計(jì)算樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差（保留2位小數(shù)）。（二）參數(shù)估計(jì)（12分）某品牌手機(jī)電池續(xù)航時(shí)間服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差σ=2小時(shí)。隨機(jī)抽取25塊電池，測得平均續(xù)航時(shí)間為12小時(shí)。（1）計(jì)算總體均值μ的95%置信區(qū)間；（2）若要求置信區(qū)間寬度不超過1小時(shí)，至少需要抽取多少塊電池（Z?.???=1.96）？（三）假設(shè)檢驗(yàn)（14分）某工廠聲稱其生產(chǎn)的零件直徑均值為10mm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.5mm。質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取36個(gè)零件，測得樣本均值為10.2mm。（1）建立原假設(shè)和備擇假設(shè)；（2）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；（3）在α=0.05的顯著性水平下，判斷是否拒絕原假設(shè)（Z?.???=1.96）；（4）解釋檢驗(yàn)結(jié)果的實(shí)際意義。（四）回歸分析（14分）某公司記錄了10個(gè)月的廣告投入（X，萬元）和銷售額（Y，萬元）數(shù)據(jù)如下：|廣告投入X|5|8|10|12|15|18|20|22|25|28||----------|---|---|----|----|----|----|----|----|----|----||銷售額Y|30|45|50|60|70|80|85|90|100|110|（1）計(jì)算X與Y的相關(guān)系數(shù)（保留3位小數(shù)）；（2）擬合Y關(guān)于X的一元線性回歸方程；（3）檢驗(yàn)回歸方程的顯著性（α=0.05，F(xiàn)?.??(1,8)=5.32）；（4）當(dāng)廣告投入為30萬元時(shí)，預(yù)測銷售額（保留1位小數(shù)）。---參考答案一、選擇題1.B2.C3.A4.B5.A6.B7.B8.B9.B10.B二、簡答題1.區(qū)別：描述統(tǒng)計(jì)主要通過圖表、均值、方差等方法總結(jié)數(shù)據(jù)特征；推斷統(tǒng)計(jì)基于樣本數(shù)據(jù)對總體特征進(jìn)行估計(jì)或假設(shè)檢驗(yàn)。聯(lián)系：描述統(tǒng)計(jì)是推斷統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，推斷統(tǒng)計(jì)需依賴描述統(tǒng)計(jì)的結(jié)果進(jìn)行分析。2.核心內(nèi)容：無論總體分布如何，當(dāng)樣本量n足夠大時(shí)，樣本均值的抽樣分布近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2/n)。作用：為大樣本下的參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)提供了理論依據(jù)，使非正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)推斷成為可能。3.區(qū)別：分層抽樣將總體劃分為若干層（子總體），從每層中獨(dú)立抽樣；整群抽樣將總體劃分為若干群，隨機(jī)抽取部分群并調(diào)查群內(nèi)全部個(gè)體。例子：分層抽樣（按年級分層抽取學(xué)生）；整群抽樣（隨機(jī)抽取若干班級調(diào)查全體學(xué)生）。4.α的意義：原假設(shè)為真時(shí)拒絕原假設(shè)的概率（棄真概率）。α與β的關(guān)系：在樣本量固定時(shí)，α減小會(huì)導(dǎo)致β增大，二者此消彼長；增大樣本量可同時(shí)降低α和β。5.原因：多重共線性會(huì)導(dǎo)致回歸系數(shù)估計(jì)不準(zhǔn)確、方差增大，影響模型解釋力。方法：方差膨脹因子（VIF）、相關(guān)系數(shù)矩陣、特征值分析等。6.基本假設(shè)：各樣本獨(dú)立；各總體服從正態(tài)分布；各總體方差相等（方差齊性）。三、計(jì)算題（一）描述統(tǒng)計(jì)（1）-均值：(75+82+…+80)/30=2370/30=79分-排序后數(shù)據(jù)：65,66,68,69,70,71,72,73,74,75,75,76,77,78,79,80,80,81,82,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92中位數(shù)：第15、16個(gè)數(shù)的平均值=(79+80)/2=79.5分眾數(shù)：75、80、82（均出現(xiàn)2次）（2）樣本方差：\[s^2=\frac{1}{n-1}\sum(x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{29}[(75-79)^2+(82-79)^2+…+(80-79)^2]=\frac{1}{29}\times1640\approx56.55\]樣本標(biāo)準(zhǔn)差：\(s=\sqrt{56.55}\approx7.52\)分（二）參數(shù)估計(jì)（1）95%置信區(qū)間：\[\bar{x}\pmZ_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=12\pm1.96\times\frac{2}{\sqrt{25}}=12\pm0.784\]即(11.216,12.784)小時(shí)（2）置信區(qū)間寬度=2×Z×σ/√n≤1，解得：\[n\geq\left(\frac{2\timesZ\times\sigma}{寬度}\right)^2=\left(\frac{2\times1.96\times2}{1}\right)^2=61.4656\]至少需要62塊電池。（三）假設(shè)檢驗(yàn)（1）H?:μ=10；H?:μ≠10（雙側(cè)檢驗(yàn)）（2）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：\[Z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{10.2-10}{0.5/\sqrt{36}}=\frac{0.2}{0.0833}\approx2.4\]（3）臨界值Z?.???=1.96，|Z|=2.4>1.96，拒絕H?。（4）實(shí)際意義：在95%置信水平下，樣本數(shù)據(jù)顯著支持零件直徑均值不等于10mm的結(jié)論，工廠聲稱的均值可能不成立。（四）回歸分析（1）相關(guān)系數(shù)：\[r=\frac{n\sumXY-\sumX\sumY}{\sqrt{[n\sumX^2-(\sumX)^2][n\sumY^2-(\sumY)^2]}}\]計(jì)算得：\(\sumX=163\),\(\sumY=625\),\(\sumXY=12775\),\(\sumX^2=3389\),\(\sumY^2=46725\)代入得：\[r=\frac{10×12775-163×625}{\sqrt{[10×3389-1632][10×46725-6252]}}=\frac{127750-101875}{\sqrt{(33890-26569)(467250-390625)}}=\frac{25875}{\sqrt{7321×76625}}\approx0.994\]（2）回歸方程：\[\hat{Y}=a+bX\]\[b=\frac{n\sumXY-\sumX\sumY}{n\sumX^2-(\sumX)^2}=\frac{25875}{7321}\approx3.534\]\[a=\bar{Y}-b\bar{X}=62.5-3.534×16.3≈62.5-57.604≈4.896\]故回歸方程為\(\hat{Y}=4.896+3.534X\)（3）顯著性檢驗(yàn)：總平方和SST=∑(Y???)2=46725?(6252)/10=46725?39062.5=7662.5回歸平方和SSR=b2×(∑X2?(∑X)2/n)=3.5342×7321≈12.499×7321≈915