醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)題及答案某醫(yī)院2023年門診收集了120例原發(fā)性高血壓患者的基線資料，其中年齡（歲）數(shù)據(jù)如下：52,55,58,60,62,63,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78（注：為簡(jiǎn)化展示，實(shí)際數(shù)據(jù)為120個(gè)連續(xù)數(shù)值，此處列出前20個(gè)代表性數(shù)據(jù)）；收縮壓（SBP，mmHg）測(cè)量值經(jīng)整理后，最小值142，最大值186，組距設(shè)定為10mmHg。要求：（1）計(jì)算年齡的集中趨勢(shì)（均數(shù)、中位數(shù)）與離散趨勢(shì)（標(biāo)準(zhǔn)差、四分位數(shù)間距）；（2）編制收縮壓的頻數(shù)分布表，并說(shuō)明直方圖的繪制要點(diǎn)。（1）年齡統(tǒng)計(jì)量計(jì)算：①均數(shù)（$\bar{X}$）：將120個(gè)年齡數(shù)據(jù)求和后除以例數(shù)。假設(shè)總和為7800，則$\bar{X}=7800/120=65.0$歲。②中位數(shù)（M）：將數(shù)據(jù)從小到大排序，第60和61位數(shù)值的平均值。假設(shè)排序后第60位為64歲，第61位為66歲，則$M=(64+66)/2=65.0$歲。③標(biāo)準(zhǔn)差（S）：計(jì)算各數(shù)據(jù)與均數(shù)差值的平方和，除以$n-1$后開(kāi)平方。假設(shè)離均差平方和為4800，則$S=\sqrt{4800/(120-1)}=\sqrt{40.34}=6.35$歲。④四分位數(shù)間距（IQR）：計(jì)算第25百分位數(shù)（P25）和第75百分位數(shù)（P75）的差值。假設(shè)P25為60歲，P75為70歲，則$IQR=70-60=10$歲。（2）收縮壓頻數(shù)分布表編制：組段劃分：140-（含140，不含150），150-，160-，170-，180-190（含180，含190）。統(tǒng)計(jì)每組頻數(shù)：假設(shè)140-組12例，150-組35例，160-組45例，170-組20例，180-190組8例。頻數(shù)分布表如下：|收縮壓（mmHg）|頻數(shù)（例）|頻率（%）||----------------|------------|-----------||140-|12|10.0||150-|35|29.2||160-|45|37.5||170-|20|16.7||180-190|8|6.7||合計(jì)|120|100.0|直方圖繪制要點(diǎn)：橫軸為收縮壓組段（連續(xù)變量），縱軸為頻數(shù)（或頻率）；各直條寬度相等（等于組距10mmHg），高度對(duì)應(yīng)頻數(shù)；直條間無(wú)間隔，反映數(shù)據(jù)的連續(xù)性。為比較新型降壓藥（A藥）與傳統(tǒng)降壓藥（B藥）的療效，某研究納入65例原發(fā)性高血壓患者，隨機(jī)分為A藥組（30例）和B藥組（35例），治療4周后測(cè)量收縮壓下降值（ΔSBP，mmHg）。A藥組數(shù)據(jù)：$\bar{X}_1=22.5$，$S_1=4.8$；B藥組數(shù)據(jù)：$\bar{X}_2=18.6$，$S_2=5.2$。假設(shè)數(shù)據(jù)滿足正態(tài)分布且方差齊性（經(jīng)檢驗(yàn)$F=1.16$，$P>0.05$），檢驗(yàn)兩組ΔSBP是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)差異（$\alpha=0.05$）。（1）建立假設(shè)：$H_0$：$\mu_1=\mu_2$（兩組降壓效果相同）$H_1$：$\mu_1\neq\mu_2$（兩組降壓效果不同）（2）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：首先計(jì)算合并方差$S_c^2$：$$S_c^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}=\frac{29\times4.8^2+34\times5.2^2}{30+35-2}=\frac{29\times23.04+34\times27.04}{63}=\frac{668.16+919.36}{63}=\frac{1587.52}{63}=25.20$$標(biāo)準(zhǔn)誤$S_{\bar{X}_1-\bar{X}_2}$：$$S_{\bar{X}_1-\bar{X}_2}=\sqrt{S_c^2\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}=\sqrt{25.20\times\left(\frac{1}{30}+\frac{1}{35}\right)}=\sqrt{25.20\times0.0619}=√1.56=1.25$$t值：$$t=\frac{|\bar{X}_1-\bar{X}_2|}{S_{\bar{X}_1-\bar{X}_2}}=\frac{|22.5-18.6|}{1.25}=\frac{3.9}{1.25}=3.12$$（3）確定自由度與臨界值：$df=n_1+n_2-2=63$，查t界值表（雙側(cè)），$t_{0.05/2,63}≈2.00$（近似值，實(shí)際可通過(guò)統(tǒng)計(jì)軟件精確計(jì)算）。（4）結(jié)論：$t=3.12>2.00$，$P<0.05$，拒絕$H_0$，接受$H_1$，認(rèn)為兩組降壓效果有統(tǒng)計(jì)學(xué)差異，A藥組ΔSBP大于B藥組。某研究觀察20名2型糖尿病患者治療前（T0）與治療后3個(gè)月（T1）的空腹血糖（FBG，mmol/L）變化，數(shù)據(jù)如下（配對(duì)）：|患者編號(hào)|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|12|13|14|15|16|17|18|19|20||----------|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----||T0|8.2|9.1|7.8|10.5|8.9|9.5|8.7|11.2|9.3|8.6|10.1|9.8|8.4|9.0|10.3|8.8|9.7|10.0|9.4|8.5||T1|6.5|7.2|6.1|8.3|7.1|7.6|6.8|9.1|7.4|6.9|8.2|7.9|6.7|7.3|8.5|7.0|7.8|8.1|7.5|6.6|檢驗(yàn)治療前后FBG是否有變化（$\alpha=0.05$）。（1）計(jì)算差值$d=T0-T1$：d值分別為：1.7,1.9,1.7,2.2,1.8,1.9,1.9,2.1,1.9,1.7,1.9,1.9,1.7,1.7,1.8,1.8,1.9,1.9,1.9,1.9。（2）計(jì)算差值的均數(shù)$\barz3jilz61osys$和標(biāo)準(zhǔn)差$S_d$：$\barz3jilz61osys=(1.7+1.9+…+1.9)/20=37.6/20=1.88$mmol/L離均差平方和：$\sum(d-\barz3jilz61osys)^2=(1.7-1.88)^2\times5+(1.8-1.88)^2\times3+(1.9-1.88)^2\times11+(2.1-1.88)^2+(2.2-1.88)^2=(-0.18)^2\times5+(-0.08)^2\times3+(0.02)^2\times11+(0.22)^2+(0.32)^2=0.162+0.0192+0.0044+0.0484+0.1024=0.3364$$S_d=\sqrt{0.3364/(20-1)}=√0.0177=0.133$mmol/L（3）計(jì)算t值：$$t=\frac{|\barz3jilz61osys-0|}{S_d/\sqrt{n}}=\frac{1.88}{0.133/√20}=\frac{1.88}{0.0297}=63.30$$（4）確定自由度與臨界值：$df=n-1=19$，查t界值表（雙側(cè)），$t_{0.05/2,19}=2.093$。（5）結(jié)論：$t=63.30>2.093$，$P<0.001$，拒絕$H_0$，認(rèn)為治療后FBG較治療前顯著降低。某社區(qū)開(kāi)展慢性病篩查，調(diào)查男性300人、女性400人，發(fā)現(xiàn)男性患者60例，女性患者50例。檢驗(yàn)性別與該疾病發(fā)病率是否有關(guān)（$\alpha=0.05$）。（1）構(gòu)建四格表：||患病|未患病|合計(jì)||----------|------|--------|------||男性|60|240|300||女性|50|350|400||合計(jì)|110|590|700|（2）計(jì)算理論頻數(shù)$T_{ij}$：$T_{11}=(300×110)/700≈47.14$，$T_{12}=300-47.14=252.86$$T_{21}=(400×110)/700≈62.86$，$T_{22}=400-62.86=337.14$（3）計(jì)算卡方值：$$\chi^2=\sum\frac{(A-T)^2}{T}=\frac{(60-47.14)^2}{47.14}+\frac{(240-252.86)^2}{252.86}+\frac{(50-62.86)^2}{62.86}+\frac{(350-337.14)^2}{337.14}$$$$=\frac{165.38}{47.14}+\frac{165.38}{252.86}+\frac{165.38}{62.86}+\frac{165.38}{337.14}$$$$=3.51+0.65+2.63+0.49=7.28$$（4）確定自由度與臨界值：$df=(2-1)(2-1)=1$，查卡方界值表，$\chi^2_{0.05,1}=3.84$。（5）結(jié)論：$\chi^2=7.28>3.84$，$P<0.05$，拒絕$H_0$，認(rèn)為性別與該疾病發(fā)病率有關(guān)，男性發(fā)病率（20%）高于女性（12.5%）。為探討不同劑量降脂藥對(duì)總膽固醇（TC，mmol/L）的降低效果，將75例高膽固醇血癥患者隨機(jī)分為低劑量組（25例）、中劑量組（25例）、高劑量組（25例），治療8周后測(cè)量TC下降值（ΔTC）。各組數(shù)據(jù)：低劑量組$\bar{X}_1=1.0$，$S_1=0.3$；中劑量組$\bar{X}_2=1.5$，$S_2=0.3$；高劑量組$\bar{X}_3=2.0$，$S_3=0.3$。假設(shè)數(shù)據(jù)滿足正態(tài)分布且方差齊性（經(jīng)檢驗(yàn)$P>0.05$），檢驗(yàn)三組ΔTC是否有差異（$\alpha=0.05$）。（1）建立假設(shè)：$H_0$：$\mu_1=\mu_2=\mu_3$（三組效果相同）$H_1$：至少兩組效果不同（2）計(jì)算總均數(shù)$\bar{X}$：$$\bar{X}=\frac{n_1\bar{X}_1+n_2\bar{X}_2+n_3\bar{X}_3}{N}=\frac{25×1.0+25×1.5+25×2.0}{75}=\frac{25+37.5+50}{75}=112.5/75=1.5$$（3）計(jì)算各變異項(xiàng)：①總變異（SS總）：$$SS_{總}(cāng)=\sum\sum(X_{ij}-\bar{X})^2=(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2+(n_3-1)S_3^2+(n_1(\bar{X}_1-\bar{X})^2+n_2(\bar{X}_2-\bar{X})^2+n_3(\bar{X}_3-\bar{X})^2)$$$$=24×0.09+24×0.09+24×0.09+25×(1.0-1.5)^2+25×(1.5-1.5)^2+25×(2.0-1.5)^2$$$$=24×0.27+25×0.25+25×0=6.48+6.25=12.73$$②組間變異（SS組間）：$$SS_{組間}=\sumn_i(\bar{X}_i-\bar{X})^2=25×(1.0-1.5)^2+25×(1.5-1.5)^2+25×(2.0-1.5)^2=25×0.25+0+25×0.25=12.5$$③組內(nèi)變異（SS組內(nèi)）：$$SS_{組內(nèi)}=SS_{總}(cāng)-SS_{組間}=12.73-12.5=0.23$$（4）計(jì)算均方（MS）：$MS_{組間}=SS_{組間}/(k-1)=12.5/2=6.25$（k為組數(shù)，k=3）$MS_{組內(nèi)}=SS_{組內(nèi)}/(N-k)=0.23/(75-3)=0.23/72≈0.0032$（5）計(jì)算F值：$$F=MS_{組間}/MS_{組內(nèi)}=6.25/0.0032≈1953.13$$（6）確定自由度與臨界值：$df_1=k-1=2$，$df_2=N-k=72$，查F界值表（$\alpha=0.05$），$F_{0.05(2,72)}≈3.12$。（7）結(jié)論：$F=1953.13>3.12$，$P<0.05$，拒絕$H_0$，認(rèn)為三組ΔTC有統(tǒng)計(jì)學(xué)差異，高劑量組效果最優(yōu)。某社區(qū)健康調(diào)查收集了100名居民的年齡（X，歲）與收縮壓（Y，mmHg）數(shù)據(jù)，計(jì)算得：$\sumX=5000$，$\sumY=13000$，$\sumXY=660000$，$\sumX^2=260000$，$\sumY^2=1700000$。要求：（1）建立Y關(guān)于X的線性回歸方程；（2）解釋回歸系數(shù)的意義；（3）檢驗(yàn)回歸方程的顯著性（$\alpha=0.05$）。（1）計(jì)算回歸系數(shù)：①均數(shù)：$\bar{X}=5000/100=50$歲，$\bar{Y}=13000/100=130$mmHg②離均差積和$l_{XY}$：$$l_{XY}=\sumXY-\frac{(\sumX)(\sumY)}{n}=660000-\frac{5000×13000}{100}=660000-650000=10000$$③離均差平方和$l_{XX}$：