統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)練習(xí)題及參考答案一、單項選擇題（每題3分，共30分）1.以下關(guān)于統(tǒng)計量的描述中，正確的是（）A.統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，不包含未知參數(shù)B.統(tǒng)計量的分布一定與總體分布相同C.樣本均值和總體均值都是統(tǒng)計量D.統(tǒng)計量的計算必須依賴總體方差2.某班級30名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?5,62,68,70,72,75,75,78,80,80,82,85,85,85,88,88,90,90,92,95,95,95,98,98,100,100,100,100,100,100。該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.85B.86C.88D.903.若事件A和B滿足P(A)=0.6，P(B)=0.5，且A與B獨立，則P(A∪B)=（）A.0.3B.0.6C.0.8D.1.14.以下關(guān)于分層抽樣的描述，錯誤的是（）A.適用于總體內(nèi)部差異較大的情況B.先將總體分成若干層，再從每層中獨立抽樣C.分層的依據(jù)可以是性別、年齡等分類變量D.分層抽樣的誤差一定小于簡單隨機抽樣5.已知某正態(tài)分布總體的均值μ=50，標準差σ=10，從中抽取容量為25的樣本，則樣本均值的抽樣分布為（）A.N(50,10)B.N(50,2)C.N(50,4)D.N(50,100)6.在假設(shè)檢驗中，若原假設(shè)H?為“μ=μ?”，備擇假設(shè)H?為“μ≠μ?”，則這是（）A.單側(cè)檢驗B.雙側(cè)檢驗C.左側(cè)檢驗D.右側(cè)檢驗7.一組數(shù)據(jù)的偏度系數(shù)為-1.2，說明該數(shù)據(jù)分布（）A.左偏（負偏），長尾在左側(cè)B.右偏（正偏），長尾在右側(cè)C.左偏，長尾在右側(cè)D.右偏，長尾在左側(cè)8.若相關(guān)系數(shù)r=0.95，則變量X和Y之間（）A.存在高度正線性相關(guān)關(guān)系B.存在高度負線性相關(guān)關(guān)系C.無線性相關(guān)關(guān)系D.必然存在因果關(guān)系9.某工廠生產(chǎn)的零件長度服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，現(xiàn)抽取16個零件，測得樣本均值x?=20cm，樣本標準差s=0.8cm。若要估計總體均值μ的95%置信區(qū)間，應(yīng)使用（）A.Z分布，臨界值1.96B.t分布，臨界值2.131C.Z分布，臨界值1.645D.t分布，臨界值2.60210.以下關(guān)于方差分析的描述，正確的是（）A.用于檢驗兩個總體均值是否相等B.要求各總體方差齊性C.組間方差越小，越容易拒絕原假設(shè)D.只能用于單因素分析二、計算題（每題10分，共50分）1.某公司2023年1-6月的銷售額（單位：萬元）如下：120,135,140,150,165,180。（1）計算該組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；（2）計算極差、方差和標準差（保留2位小數(shù)）。2.袋中裝有3個紅球、2個白球和1個黑球，除顏色外無其他差異。現(xiàn)從中不放回地抽取2個球，求：（1）恰好抽到1個紅球和1個白球的概率；（2）至少抽到1個紅球的概率。3.某城市居民月收入服從正態(tài)分布，已知總體標準差σ=2000元?，F(xiàn)隨機抽取100戶居民，測得樣本均值x?=8500元。（1）計算總體均值μ的95%置信區(qū)間；（2）若要求置信區(qū)間寬度不超過500元，至少需要抽取多少戶居民？（Z?.???=1.96）4.某藥廠聲稱其新藥有效率為90%?，F(xiàn)隨機選取100名患者測試，其中80人有效。（1）建立假設(shè)檢驗的原假設(shè)和備擇假設(shè)；（2）計算檢驗統(tǒng)計量（Z統(tǒng)計量）；（3）在顯著性水平α=0.05下，判斷是否拒絕原假設(shè)（Z?.??=1.645，Z?.???=1.96）。5.為研究溫度對某化學(xué)反應(yīng)產(chǎn)率的影響，實驗數(shù)據(jù)如下（溫度X，℃；產(chǎn)率Y，%）：(20,50),(25,55),(30,60),(35,65),(40,70)（1）計算X與Y的相關(guān)系數(shù)r；（2）擬合線性回歸方程?=a+bX，并解釋斜率b的實際意義。三、分析題（每題10分，共20分）1.某市場調(diào)查公司想了解某市居民對新能源汽車的接受度，計劃采用抽樣調(diào)查?，F(xiàn)有三種抽樣方案：（a）在市中心商場隨機攔截1000名路人調(diào)查；（b）按行政區(qū)將全市劃分為6層，每層按人口比例抽取樣本；（c）隨機抽取50個社區(qū)，再從每個社區(qū)中隨機抽取20戶家庭調(diào)查。請分析三種方案的優(yōu)缺點，并推薦最合理的方案。2.某研究報告指出：“通過對500名學(xué)生的調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每天學(xué)習(xí)時間超過6小時的學(xué)生，其考試平均分比學(xué)習(xí)時間少于4小時的學(xué)生高20分（p<0.01）?！闭埥Y(jié)合假設(shè)檢驗的原理，解釋“p<0.01”的含義，并討論該結(jié)論的可靠性。---參考答案一、單項選擇題1.A（統(tǒng)計量是樣本的不含未知參數(shù)的函數(shù)；B錯誤，抽樣分布可能與總體分布不同，如樣本均值的分布更集中；C錯誤，總體均值是參數(shù)，不是統(tǒng)計量；D錯誤，統(tǒng)計量不依賴總體參數(shù)）。2.B（30個數(shù)據(jù)，中位數(shù)為第15和16個數(shù)的平均值，第15個數(shù)是88，第16個數(shù)是88，故中位數(shù)=(88+88)/2=88？原題數(shù)據(jù)需重新核對。實際數(shù)據(jù)排序后：55,62,68,70,72,75,75,78,80,80,82,85,85,85,88,88,90,90,92,95,95,95,98,98,100,100,100,100,100,100。第15位是88，第16位是88，中位數(shù)應(yīng)為88，可能題目選項有誤，正確選項應(yīng)為C）。3.C（獨立事件P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.5-0.6×0.5=0.8）。4.D（分層抽樣誤差不一定更小，取決于層內(nèi)差異和抽樣方法）。5.C（樣本均值的方差=σ2/n=100/25=4，故分布為N(50,4)）。6.B（雙側(cè)檢驗對應(yīng)μ≠μ?）。7.A（偏度系數(shù)為負，左偏，長尾在左側(cè)）。8.A（r>0且接近1，高度正相關(guān)）。9.B（總體方差未知，小樣本用t分布，自由度n-1=15，t?.???(15)=2.131）。10.B（方差分析用于多個總體均值比較，要求方差齊性；組間方差越大越易拒絕原假設(shè)；可用于多因素分析）。二、計算題1.（1）平均數(shù)=(120+135+140+150+165+180)/6=890/6≈148.33萬元；中位數(shù)：排序后為120,135,140,150,165,180，第3、4個數(shù)的平均=(140+150)/2=145萬元；眾數(shù)：無重復(fù)值，故無眾數(shù)（或“不存在”）。（2）極差=180-120=60萬元；方差=Σ(x?-x?)2/(n-1)=[(120-148.33)2+(135-148.33)2+…+(180-148.33)2]/5≈(802.69+177.69+69.39+2.79+277.69+999.69)/5≈2339.94/5≈467.99；標準差=√467.99≈21.63萬元。2.（1）總共有6個球，抽取2個的組合數(shù)C(6,2)=15；恰好1紅1白的組合數(shù)=C(3,1)×C(2,1)=3×2=6；概率=6/15=2/5=0.4。（2）至少1個紅球的對立事件是“0個紅球”（即抽到白球和黑球）；0個紅球的組合數(shù)=C(3,0)×C(3,2)=C(3,2)=3（白球2個+黑球1個，共3個非紅球，抽取2個的組合數(shù)為C(3,2)=3）；至少1個紅球的概率=1-3/15=12/15=4/5=0.8。3.（1）總體標準差已知，置信區(qū)間為x?±Zα/2×(σ/√n)=8500±1.96×(2000/√100)=8500±1.96×200=8500±392，即(8108,8892)元。（2）置信區(qū)間寬度=2×Zα/2×(σ/√n)≤500，即2×1.96×(2000/√n)≤500→√n≥(2×1.96×2000)/500≈15.68→n≥(15.68)2≈245.8，故至少抽取246戶。4.（1）H?：p=0.9（有效率為90%）；H?：p≠0.9（雙側(cè)檢驗）。（2）樣本有效率p?=80/100=0.8；檢驗統(tǒng)計量Z=(p?-p?)/√[p?(1-p?)/n]=(0.8-0.9)/√[0.9×0.1/100]=(-0.1)/√0.0009=(-0.1)/0.03≈-3.33。（3）α=0.05，雙側(cè)檢驗臨界值為±1.96；計算得|Z|=3.33>1.96，故拒絕原假設(shè)，認為有效率不等于90%。5.（1）計算相關(guān)系數(shù)：X均值x?=(20+25+30+35+40)/5=30；Y均值?=(50+55+60+65+70)/5=60；分子=Σ(x?-x?)(y?-?)=(20-30)(50-60)+(25-30)(55-60)+(30-30)(60-60)+(35-30)(65-60)+(40-30)(70-60)=(-10)(-10)+(-5)(-5)+0+5×5+10×10=100+25+0+25+100=250；分母=√[Σ(x?-x?)2×Σ(y?-?)2]；Σ(x?-x?)2=(-10)2+(-5)2+02+52+102=100+25+0+25+100=250；Σ(y?-?)2=(-10)2+(-5)2+02+52+102=250；故r=250/√(250×250)=250/250=1（完全正相關(guān)）。（2）斜率b=分子/Σ(x?-x?)2=250/250=1；截距a=?-bx?=60-1×30=30；回歸方程：?=30+1×X；斜率b=1表示溫度每升高1℃，產(chǎn)率平均增加1%。三、分析題1.方案（a）：優(yōu)點是操作簡單、成本低；缺點是樣本集中于市中心商場，可能存在選擇偏差（如年齡、收入分布不均），無法代表全市居民。方案（b）：優(yōu)點是按行政區(qū)分層，可減少層內(nèi)差異，提高抽樣效率，樣本更具代表性；缺點是需要掌握各行政區(qū)人口數(shù)據(jù)，分層變量（行政區(qū)）可能與接受度的關(guān)聯(lián)較弱（需結(jié)合其他分層變量如收入）。方案（c）：屬于整群抽樣，優(yōu)點是便于組織實施（以社區(qū)為單位），降低調(diào)查成本；缺點是若社區(qū)內(nèi)居民同質(zhì)性高（如同一社區(qū)收入水平相近），可能導(dǎo)致抽樣誤差較大。推薦方案（b）：分層抽樣通過控制層內(nèi)差異，能更有效地保證樣本對總體的代表性，適合需要準確推斷全市居民接受度的場景。2.“p<0.01”表示在原假設(shè)（“學(xué)習(xí)時間對考試平均分無影響”）成立的條件下，觀察到“平均分差異20分”或更極端結(jié)果的概率小于1%。根據(jù)假設(shè)檢驗原理，若p值