概率自考試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)事件\(A\)與\(B\)互斥，\(P(A)=0.2\)，\(P(B)=0.3\)，則\(P(A\cupB)\)=（）A.0.2B.0.3C.0.5D.0.62.已知隨機(jī)變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(1,4)\)，則\(E(X)\)=（）A.1B.2C.4D.03.設(shè)\(X\)是離散型隨機(jī)變量，其分布律為\(P(X=k)=\frac{c}{2^k}\)，\(k=1,2,\cdots\)，則常數(shù)\(c\)=（）A.1B.2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{3}\)4.設(shè)\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，\(X\simN(0,1)\)，\(Y\simN(1,1)\)，則\(Z=X+Y\)服從（）A.\(N(0,2)\)B.\(N(1,2)\)C.\(N(0,1)\)D.\(N(1,1)\)5.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)，則\(P(X\lt0.5)\)=（）A.0.25B.0.5C.0.75D.16.已知\(P(A|B)=0.4\)，\(P(B)=0.5\)，則\(P(AB)\)=（）A.0.2B.0.4C.0.5D.0.87.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的期望\(E(X)=2\)，方差\(D(X)=4\)，則\(E(X^2)\)=（）A.4B.8C.12D.168.若隨機(jī)變量\(X\)與\(Y\)滿(mǎn)足\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)，則（）A.\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立B.\(X\)與\(Y\)不相關(guān)C.\(P(XY)=P(X)P(Y)\)D.\(X\)與\(Y\)同分布9.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來(lái)自總體\(X\)的樣本，\(E(X)=\mu\)，\(D(X)=\sigma^2\)，則樣本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)的期望\(E(\overline{X})\)=（）A.\(\mu\)B.\(\frac{\mu}{n}\)C.\(\mu^2\)D.\(\frac{\sigma^2}{n}\)10.設(shè)\(X\)是隨機(jī)變量，\(a\)為常數(shù)，則\(D(aX)\)=（）A.\(aD(X)\)B.\(a^2D(X)\)C.\(D(X)\)D.\(a+D(X)\)多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是概率的基本性質(zhì)（）A.非負(fù)性B.規(guī)范性C.可列可加性D.單調(diào)性2.設(shè)\(X\)是隨機(jī)變量，以下哪些屬于離散型隨機(jī)變量的描述方式（）A.概率密度函數(shù)B.分布律C.分布函數(shù)D.特征函數(shù)3.已知\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，則以下正確的是（）A.概率密度函數(shù)圖像關(guān)于\(x=\mu\)對(duì)稱(chēng)B.\(P(X\lt\mu)=0.5\)C.\(E(X)=\mu\)D.\(D(X)=\sigma^2\)4.設(shè)事件\(A\)、\(B\)，以下等式成立的有（）A.\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(AB)\)B.\(P(A-B)=P(A)-P(AB)\)C.\(P(\overline{A}\overline{B})=1-P(A\cupB)\)D.\(P(AB)=P(A)P(B)\)（當(dāng)\(A\)、\(B\)獨(dú)立時(shí)）5.關(guān)于隨機(jī)變量的期望與方差，以下說(shuō)法正確的是（）A.\(E(aX+b)=aE(X)+b\)B.\(D(aX+b)=a^2D(X)\)C.\(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)D.\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)6.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個(gè)隨機(jī)變量，以下哪些是\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立的等價(jià)條件（）A.\(P(X\leqx,Y\leqy)=P(X\leqx)P(Y\leqy)\)B.\(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\)（若\(X\)、\(Y\)為連續(xù)型，\(f\)為聯(lián)合概率密度，\(f_X,f_Y\)為邊緣概率密度）C.\(E(XY)=E(X)E(Y)\)D.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)7.以下哪些分布屬于離散型分布（）A.二項(xiàng)分布B.泊松分布C.正態(tài)分布D.均勻分布8.設(shè)總體\(X\)，樣本\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)，以下哪些是統(tǒng)計(jì)量（）A.\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)B.\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)C.\(\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)D.\(X_1+\mu\)（\(\mu\)為總體均值未知參數(shù)）9.對(duì)于概率密度函數(shù)\(f(x)\)，以下正確的是（）A.\(f(x)\geq0\)B.\(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1\)C.\(P(a\ltX\ltb)=\int_{a}^f(x)dx\)D.\(f(x)\)一定連續(xù)10.設(shè)\(X\)是隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為\(F(x)\)，以下性質(zhì)正確的是（）A.\(0\leqF(x)\leq1\)B.\(F(-\infty)=0\)，\(F(\infty)=1\)C.\(F(x)\)單調(diào)不減D.\(F(x)\)右連續(xù)判斷題（每題2分，共10題）1.若事件\(A\)與\(B\)對(duì)立，則\(A\)與\(B\)互斥。（）2.隨機(jī)變量的分布函數(shù)是唯一確定的。（）3.設(shè)\(X\)服從泊松分布\(P(\lambda)\)，則\(E(X)=D(X)=\lambda\)。（）4.若\(X\)與\(Y\)不相關(guān)，則\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立。（）5.樣本方差\(S^2\)是總體方差\(\sigma^2\)的無(wú)偏估計(jì)。（）6.概率為\(0\)的事件一定是不可能事件。（）7.對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量\(X\)，\(P(X=a)=0\)，\(a\)為任意實(shí)數(shù)。（）8.若\(E(XY)=E(X)E(Y)\)，則\(X\)與\(Y\)的協(xié)方差\(Cov(X,Y)=0\)。（）9.二項(xiàng)分布\(B(n,p)\)的期望\(E(X)=np\)，方差\(D(X)=np(1-p)\)。（）10.設(shè)\(X\)是隨機(jī)變量，\(F(x)\)是其分布函數(shù)，\(F(x)\)在每一點(diǎn)都可導(dǎo)。（）簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述概率的公理化定義。答：設(shè)\(E\)是隨機(jī)試驗(yàn)，\(S\)是它的樣本空間，對(duì)于\(E\)的每一事件\(A\)賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為\(P(A)\)，若\(P(A)\)滿(mǎn)足非負(fù)性、規(guī)范性、可列可加性，則稱(chēng)\(P(A)\)為事件\(A\)的概率。2.已知隨機(jī)變量\(X\)的分布律為\(P(X=k)=\frac{1}{5}\)，\(k=1,2,3,4,5\)，求\(E(X)\)。答：\(E(X)=\sum_{k=1}^{5}kP(X=k)=\frac{1}{5}(1+2+3+4+5)=\frac{1}{5}\times15=3\)。3.簡(jiǎn)述正態(tài)分布概率密度函數(shù)的特點(diǎn)。答：正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖像關(guān)于\(x=\mu\)對(duì)稱(chēng)，在\(x=\mu\)處達(dá)到最大值，以\(x\)軸為漸近線(xiàn)，\(\sigma\)決定曲線(xiàn)的平緩程度，\(\mu\)決定曲線(xiàn)的位置。4.說(shuō)明樣本均值\(\overline{X}\)和總體均值\(\mu\)的關(guān)系。答：樣本均值\(\overline{X}\)是總體均值\(\mu\)的無(wú)偏估計(jì)，即\(E(\overline{X})=\mu\)。當(dāng)樣本容量\(n\)增大時(shí)，\(\overline{X}\)依概率收斂于\(\mu\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論在實(shí)際生活中，概率知識(shí)有哪些應(yīng)用場(chǎng)景？答：在保險(xiǎn)行業(yè)用于風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估定價(jià)；在博彩業(yè)分析輸贏概率；在質(zhì)量控制中判斷產(chǎn)品合格概率；在天氣預(yù)報(bào)中預(yù)測(cè)天氣發(fā)生概率等，幫助人們決策和分析問(wèn)題。2.如何理解隨機(jī)變量獨(dú)立性的概念及其在實(shí)際問(wèn)題中的意義？答：隨機(jī)變量獨(dú)立意味著一個(gè)變量的取值不影響另一個(gè)變量取值的概率。在實(shí)際中，如多個(gè)獨(dú)立元件組成的系統(tǒng)，可利用獨(dú)立性計(jì)算系統(tǒng)可靠性，簡(jiǎn)化概率計(jì)算，評(píng)估系統(tǒng)性能。3.比較離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量描述方式的不同。答：離散型用分布律描述，列出取值及對(duì)應(yīng)概率；連續(xù)型用概率密度函數(shù)描述，通過(guò)積分計(jì)算概率。離散型取值離散，連續(xù)型取值連續(xù)，描述方式因性質(zhì)不同而有差異。4.舉例說(shuō)明期望和方差在刻畫(huà)隨機(jī)變量特征方面的作用。答：比如投資不同項(xiàng)目，期望反映平均收益，方差體現(xiàn)收益波動(dòng)程度。若兩個(gè)項(xiàng)目期望相同，方差小的更穩(wěn)定。如股票\(A\)、\(B\)平均收益相同，但\(A\)方差大，波動(dòng)大，投資者可依風(fēng)險(xiǎn)偏好選擇。答案