§2空間向量的運算eq\a\vs4\al([對應(yīng)學(xué)生用書P18])空間向量的加減法在射擊時，為保證準(zhǔn)確命中目標(biāo)，要考慮風(fēng)速、溫度等因素．其中風(fēng)速對射擊的精準(zhǔn)度影響最大．如某人向正北100m遠處的目標(biāo)射擊，風(fēng)速為西風(fēng)1m/s.問題1：射手能否直接瞄準(zhǔn)目標(biāo)射擊？提示：不能．問題2：射手應(yīng)怎樣瞄準(zhǔn)目標(biāo)？提示：瞄準(zhǔn)方向為北偏西一定角度．問題3：問題2的原因是什么？提示：在射擊過程中，子彈運行的實際位移是子彈與風(fēng)位移的合成．問題4：空間向量的加法與平面向量類似嗎？提示：類似，滿足平行四邊形法則．空間向量的加減法(1)空間向量的加法：設(shè)a和b是空間兩個向量，過一點O作a和b的相等向量和，以，為邊作平行四邊形，則對角線OC對應(yīng)的向量就是a與b的和，記作a＋b，如圖．(2)空間向量的減法：a與b的差定義為a＋(－b)，記作a－b，其中－b是b的相反向量．(3)空間向量加減法的運算律：①結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．②交換律：a＋b＝b＋a.空間向量的數(shù)乘a為一空間向量．問題1：空間向量a與一個實數(shù)λ的乘積為λa，λa是向量嗎？提示：是．問題2：當(dāng)λ＝0時，λa＝0對嗎？提示：不對，應(yīng)為0.問題3：若a與λa方向相反，λ的取值范圍是什么？提示：(－∞，0)．空間向量的數(shù)乘(1)定義：與平面向量一樣，實數(shù)λ與空間向量a的乘積仍然是一個向量，記作λa.(2)向量λa與a的關(guān)系：λ的范圍方向關(guān)系模的關(guān)系λ＞0方向相同λa的模是a的模的|λ|倍λ＝0λa＝0，其方向是任意的λ＜0方向相反(3)空間向量的數(shù)乘運算律：①交換律：λa＝aλ(λ∈R)；②分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ∈R，μ∈R)；③結(jié)合律：(λμ)a＝λ(μa)(λ∈R，μ∈R)．(4)定理：空間兩個向量a與b(b≠0)共線的充分必要條件是存在實數(shù)λ，使得a＝λb.空間向量的數(shù)量積設(shè)a，b，c是任意空間向量，類比平面向量的數(shù)量積，回答以下問題．問題1：由a·b＝0，一定能推出a＝0或b＝0嗎？提示：不一定，也可能〈a，b〉＝eq\f(π,2).問題2：由a·b＝a·c能得到b＝c嗎？提示：不一定．問題3：(a·b)c＝a(b·c)成立嗎？提示：不一定．空間向量的數(shù)量積(1)空間兩個向量a和b的數(shù)量積是一個數(shù)，等于|a||b|cos〈a，b〉，記作a·b.(2)運算律：①交換律：a·b＝b·a；②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c；③λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R)．(3)常見結(jié)論：①|(zhì)a|＝eq\r(a·a)；②a⊥b?a·b＝0；③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)．(4)對任意一個非零向量，把eq\f(a,|a|)叫作向量a的單位向量，記作a0.a0與a同方向．與平面向量類似，空間向量的加減、數(shù)乘、數(shù)量積運算有如下特點：(1)空間向量的加減法滿足平行四邊形和三角形法則，結(jié)果仍是一個向量．(2)空間向量的數(shù)乘運算，結(jié)果仍是一個向量，方向取決于λ的正負(fù)，模為原向量模的|λ|倍．(3)兩向量共線，兩向量所在的直線不一定重合，也可能平行．(4)空間向量數(shù)量積運算的結(jié)果是一個實數(shù)．eq\a\vs4\al([對應(yīng)學(xué)生用書P19])空間向量的線性表示[例1]已知四邊形ABCD為正方形，P是四邊形ABCD所在平面外一點，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O.Q是CD的中點，求下列各題中x，y的值：(1)＝＋x＋y；(2)＝x＋y＋.[思路點撥]要確定等式＝＋x＋y中x，y的值，就是看怎樣用，，來表示，同理要確定(2)中的x，y的值，只需把用，，表示出來即可．[精解詳析](1)如圖．∵＝－＝－eq\f(1,2)(＋)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)，∴x＝y(tǒng)＝－eq\f(1,2).(2)∵＋＝2，∴＝2－.又∵＋＝2，∴＝2－.從而有＝2－(2－)＝2－2＋.∴x＝2，y＝－2.[一點通]空間向量的線性運算即為向量的加減、數(shù)乘運算．在進行向量的線性運算時，應(yīng)注意結(jié)合圖形的特點，利用三角形法則、平行四邊形法則及數(shù)乘運算的運算律來進行化簡、計算．要特別注意把某些向量平移后轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)進行相關(guān)計算．1．如圖，已知空間四邊形ABCD，設(shè)M，G分別是BC，CD的中點，則－＋等于()A.eq\f(2,3) B．3C．3 D．2解析：－＋＝＋(－)＝＋＝＋2＝3.答案：B2．設(shè)E，F(xiàn)是長方體ABCD－A1B1C1D1中AC，A1D的中點，若向量＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．解：∵＝＋＝－eq\f(1,2)(＋)＋eq\f(1,2)(＋)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)，∴x＝－eq\f(1,2)，y＝0，z＝eq\f(1,2).∴x＋y＋z＝0.3.如圖，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1，M為A1C1與B1D1的交點，化簡下列表達式．(1)＋；共線向量[例2]如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點，其中E，H是中點，F(xiàn)，G是三等分點，且CF＝2FB，CG＝2GD.求證：與為共線向量．[思路點撥]要證與共線，根據(jù)共線向量定理只要證明＝λ即可．[精解詳析]∵E，H分別是AB，AD的中點，∴＝－＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(－)＝eq\f(1,2).又∵CF＝2FB，CG＝2GD，∴＝eq\f(2,3)，＝eq\f(2,3).∴＝－＝eq\f(2,3)－eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)(－)＝eq\f(2,3).∴＝eq\f(3,2).∴＝eq\f(3,4).∴與為共線向量．[一點通]1．判定向量共線就是充分利用已知條件找到實數(shù)λ，使a＝λb成立，或充分利用空間向量的運算法則，結(jié)合具體圖形，通過化簡、計算得出a＝λb，從而得到a∥b.2．共線向量定理還可用來判定兩直線平行、證明三點共線．在證明兩直線平行時，先取兩直線的方向向量，通過證明此兩向量共線來判定兩直線平行．當(dāng)兩共線的有向線段有公共點時，兩直線即為同一直線，即此時三點共線．4．與共線是直線AB∥CD的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：若與共線，則∥，此時AB與CD可能平行也可能為同一直線；而若AB∥CD，則必有與共線．故選B.答案：B5．設(shè)e1，e2是平面上不共線的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三點共線，求k的值．解：＝－＝e1－4e2又＝2e1＋ke2，A，B，D三點共線，∴＝λ，即2e1＋ke2＝λe1－4λe2.∵e1，e2是不共線向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,k＝－4λ.))∴k＝－8.解：∵M，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD，ABEF都是平行四邊形，＝－eq\f(1,2)＋－－eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)＋＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)＋－－eq\f(1,2).∴＝＋2＋＝2(＋＋)．空間向量的數(shù)量積及應(yīng)用[例3]已知空間四邊形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC.M，N分別是OA，BC的中點，G是MN的中點，求證：OG⊥BC.[思路點撥]要證OG⊥BC，只需證·＝0，關(guān)鍵是把，用一組已知向量，，表示出來．[精解詳析]如圖，連接ON，設(shè)∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，又設(shè)＝a，＝b，＝c，則|a|＝|b|＝|c|，又＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)＋))＝eq\f(1,4)(a＋b＋c)，＝c－b，∴·＝eq\f(1,4)(a＋b＋c)·(c－b)＝eq\f(1,4)(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)＝eq\f(1,4)(|a|2cosθ－|a|2cosθ－|a|2＋|a|2)＝0.∴⊥.∴OG⊥BC.[一點通]1．向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，只要知道|a|，|b|及cos〈a，b〉即可用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．2．常用a·b＝0證明a⊥b，這是向量數(shù)量積的重要應(yīng)用．3．常用cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)求兩向量夾角余弦值，這是向量數(shù)量積的另一個重要應(yīng)用．7．設(shè)|a|＝1，|b|＝2，且〈a，b〉＝120°，則(2a＋b)2＝()A．2eq\r(3) B．12C．2 D．4解析：(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4×1×2cos120°＋4＝4.答案：D8．已知非零向量a，b不平行，且|a|＝|b|，則a＋b與a－b的位置關(guān)系是________．解析：∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.∴(a＋b)⊥(a－b)．答案：垂直9.如圖，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于a，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點．求下列向量的數(shù)量積：(1)·；(2)·；(3)·；(4)·.解：(1)在空間四邊形ABCD中，||＝||＝a，且〈，〉＝60°，所以·＝a·acos60°＝eq\f(1,2)a2.(2)||＝a，||＝a，〈，〉＝60°，所以·＝a2cos60°＝eq\f(1,2)a2.(3)||＝eq\f(1,2)a，||＝a，又∥，〈，〉＝π，所以·＝eq\f(1,2)a2cosπ＝－eq\f(1,2)a2.(4)因為||＝eq\f(1,2)a，||＝a，∥，所以〈，〉＝〈，〉＝60°.所以·＝eq\f(1,2)a2cos60°＝eq\f(1,4)a2.1．在運用空間向量的運算法則化簡向量表達式時，要結(jié)合空間圖形，觀察分析各向量在圖形中的表示，然后運用運算法則，把空間向量轉(zhuǎn)化為平面向量解決，并要化簡到最簡為止．2．用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問題，一般用向量共線定理；解決垂直問題一般可轉(zhuǎn)化為求向量的數(shù)量積為零．3．靈活地應(yīng)用向量的數(shù)量積公式是解決空間求模、夾角的關(guān)鍵．eq\a\vs4\al([對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練六])1．如圖，在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，設(shè)＝a，＝b，＝c，則下列與向量相等的表達式是()A．－a＋b＋c B．－a－b＋cC．a(chǎn)－b－c D．a(chǎn)＋b－c解析：＝＋＋＝－c＋a＋b＝a＋b－c.答案：D2．已知i，j，k是兩兩垂直的單位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，則a·b＝()A．－2 B．－1C．±1 D．2解析：a·b＝(2i－j＋k)(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.答案：A3．如圖，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD.設(shè)M，N分別是BC，CD的中點，則＋eq\f(1,2)(＋)＝()A． B．C． D.eq\f(1,2)解析：＋eq\f(1,2)(＋)＝＋＝.答案：A4．設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足·＝·＝·＝0，則△BCD為()A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．不確定解析：＝＋，＝＋，＝＋，∴cos〈，〉＝eq\f(＋·＋,|＋|·|＋|)同理cos〈，〉＞0，∴∠BCD為銳角，cos〈，〉＞0，∴∠BDC為銳角，即△BCD為銳角三角形．答案：B5．如圖，?ABCD的對角線AC和BD交于點E，P為空間任意一點，若＋＋＋＝x，則x＝________.解析：過E作MN∥AB分別交BC，AD于點M，N.∴＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝2(＋)＝4.答案：46．設(shè)a，b，c滿足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，則|c|＝________.解析：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b.∴|c|＝eq\r(－a－b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5).答案：eq\r(5)7．在四面體O－ABC中，棱OA，OB，OC兩兩互相垂直，且||＝1，||＝2，||＝3，G為△A