[限時規(guī)范訓(xùn)練]單獨(dú)成冊一、選擇題1．(2017·高考全國卷Ⅲ)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2i，則|z|＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D．2解析：法一：由(1＋i)z＝2i得z＝eq\f(2i,1＋i)＝1＋i，∴|z|＝eq\r(2).故選C.法二：∵2i＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得z＝1＋i，∴|z|＝eq\r(2).故選C.答案：C2．如圖所示，程序框圖(算法流程圖)的輸出結(jié)果是()A．－2 B．0C．－1 D．－3解析：第一次循環(huán)：x＝2×1＝2，y＝1－1＝0，滿足條件繼續(xù)循環(huán)；第二次循環(huán)：x＝2×2＝4，y＝0－1＝－1，滿足條件繼續(xù)循環(huán)；第三次循環(huán)：x＝2×4＝8，y＝－1－1＝－2，不滿足條件，跳出循環(huán)體，輸出的y＝－2，故選A.答案：A3．(2017·高考山東卷)已知a∈R，i是虛數(shù)單位．若z＝a＋eq\r(3)i，z·eq\x\to(z)＝4，則a＝()A．1或－1 B.eq\r(7)或－eq\r(7)C．－eq\r(3) D.eq\r(3)解析：∵z·eq\x\to(z)＝4，∴|z|2＝4，即|z|＝2.∵z＝a＋eq\r(3)i，∴|z|＝eq\r(a2＋3)，∴eq\r(a2＋3)＝2，∴a＝±1.故選A.答案：A4．(2017·高考全國卷Ⅲ)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，為使輸出S的值小于91，則輸入的正整數(shù)N的最小值為()A．5 B．4C．3 D．2解析：假設(shè)N＝2，程序執(zhí)行過程如下：t＝1，M＝100，S＝0，1≤2，S＝0＋100＝100，M＝－eq\f(100,10)＝－10，t＝2，2≤2，S＝100－10＝90，M＝－eq\f(－10,10)＝1，t＝3，3＞2，輸出S＝90＜91.符合題意．∴N＝2成立．顯然2是最小值．故選D.答案：D5．(2017·高考全國卷Ⅰ)設(shè)有下面四個命題p1：若復(fù)數(shù)z滿足eq\f(1,z)∈R，則z∈R；p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R；p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1＝eq\x\to(z)2；p4：若復(fù)數(shù)z∈R，則eq\x\to(z)∈R.其中的真命題為()A．p1，p3 B．p1，p4C．p2，p3 D．p2，p4解析：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．對于p1，若eq\f(1,z)∈R，即eq\f(1,a＋bi)＝eq\f(a－bi,a2＋b2)∈R，則b＝0?z＝a＋bi＝a∈R，所以p1為真命題．對于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，則ab＝0.當(dāng)a＝0，b≠0時，z＝a＋bi＝bi?R，所以p2為假命題．對于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，則a1b2＋a2b1＝0.而z1＝eq\x\to(z)2，即a1＋b1i＝a2－b2i?a1＝a2，b1＝－b2.因為a1b2＋a2b1＝0a1＝a2，b1＝－b2，所以p3為假命題．對于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，則b＝0?eq\x\to(z)＝a－bi＝a∈R，所以p4為真命題．故選B.答案：B6．(2017·高考山東卷)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入的x的值為4時，輸出的y的值為2，則空白判斷框中的條件可能為()A．x＞3 B．x＞4C．x≤4 D．x≤5解析：輸入x＝4，若滿足條件，則y＝4＋2＝6，不符合題意；若不滿足條件，則y＝log24＝2，符合題意，結(jié)合選項可知應(yīng)填x＞4.故選B.答案：B7．(2017·高考全國卷Ⅰ)如圖所示的程序框圖是為了求出滿足3n－2n＞1000的最小偶數(shù)n，那么在和兩個空白框中，可以分別填入()A．A＞1000和n＝n＋1B．A＞1000和n＝n＋2C．A≤1000和n＝n＋1D．A≤1000和n＝n＋2解析：因為題目要求的是“滿足3n－2n＞1000的最小偶數(shù)n”，所以n的疊加值為2，所以內(nèi)填入“n＝n＋2”．由程序框圖知，當(dāng)內(nèi)的條件不滿足時，輸出n，所以內(nèi)填入“A≤1000”．故選D.答案：D8．(2017·高考全國卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則()A．乙可以知道四人的成績B．丁可以知道四人的成績C．乙、丁可以知道對方的成績D．乙、丁可以知道自己的成績解析：由甲說：“我還是不知道我的成績”可推知甲看到乙、丙的成績?yōu)椤?個優(yōu)秀，1個良好”．乙看丙的成績，結(jié)合甲的說法，丙為“優(yōu)秀”時，乙為“良好”；丙為“良好”時，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成績．丁看甲的成績，結(jié)合甲的說法，甲為“優(yōu)秀”時，丁為“良好”；甲為“良好”時，丁為“優(yōu)秀”，可得丁可以知道自己的成績．故選D.答案：D二、填空題9．(2017·高考天津卷)已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若eq\f(a－i,2＋i)為實數(shù)，則a的值為________．解析：∵a∈R，eq\f(a－i,2＋i)＝eq\f(a－i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(2a－1－a＋2i,5)＝eq\f(2a－1,5)－eq\f(a＋2,5)i為實數(shù)，∴－eq\f(a＋2,5)＝0，∴a＝－2.答案：－210．(2016·高考山東卷)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n的值為3，則輸出的S的值為________．解析：第一次循環(huán)：S＝eq\r(2)－1,1＜3，i＝2；第二次循環(huán)：S＝eq\r(3)－1,2＜3，i＝3；第三次循環(huán)：S＝eq\r(4)－1＝1,3≥3，輸出S＝1.答案：111．(2017·河南三市聯(lián)考)設(shè)n為正整數(shù)，f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，計算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)＞2，f(8)＞eq\f(5,2)，f(16)＞3.觀察上述結(jié)果，按照上面規(guī)律，可推測f(128)＞________.解析：觀察f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)＞2，f(8)＞eq\f(5,2)，f(16)＞3可知，等式及不等式右邊的數(shù)構(gòu)成首項為eq\f(3,2)，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列，故f(128)＞eq\f(3,2)＋6×eq\f(1,2)＝eq\f(9,2).答案：eq\f(9,2)12．(2017·高考全國卷Ⅰ改編)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件．為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案．已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20,21，再接下來的三項是20,21,22，依此類推．求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N＞100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是________．解析：設(shè)首項為第1組，接下來的兩項為第2組，再接下來的三項為第3組，依此類推，則第n組的項數(shù)為n，前n組的項數(shù)和為eq\f(n1＋n,2).由題意知，N＞100，令eq\f(n1＋n,2)＞100?n≥14且n∈N*，即N出現(xiàn)在第13組之后．第n組的各項和為eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1，前n組所有項的和為eq\f(21－2n,1－2)－n＝2n＋1－2－n.設(shè)N是第n＋1組的第k項，若要使前N項和為2的整數(shù)冪，則N－eq\f(n1＋n,2)項的和即第n＋1組的前k項的和2k－1應(yīng)與－2－n互為相反數(shù)，即2k－1＝2＋n(k∈N*，n≥14)，k＝log2(n＋3)?n最小為29，此時k＝5，則N＝eq\f(29×1＋29,2)＋5＝440.答案：440三、解答題13．(2017·高考全國卷Ⅱ)已知a＞0，b＞0，a3＋b3＝2.證明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.證明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因為(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋eq\f(3a＋b2,4)(a＋b)＝2＋eq\f(3a＋b3,4)，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.14．(2017·高考山東卷)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后得到的幾何體如圖所示．四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，A1E⊥平面ABCD(1)證明：A1O∥平面B1CD1；(2)設(shè)M是OD的中點(diǎn)，證明：平面A1EM⊥平面B1CD1.證明：(1)取B1D1的中點(diǎn)O1，連接CO1，A1O1，由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四邊形A1OCO1為平行四邊形，所以A1O∥O1C.又O1C?平面B1CD1，A1O?平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)因為AC⊥BD，E，M分別為AD和OD的中點(diǎn)，所以EM⊥BD.又A1E⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以A1E⊥BD.因為B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1.又A1E，EM?平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM.又B1D1?平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.15．(2017·高考浙江卷)已知數(shù)列{xn}滿足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*)．證明：當(dāng)n∈N*時，(1)0＜xn＋1＜xn；(2)2xn＋1－xn≤eq\f(xnxn＋1,2)；(3)eq\f(1,2n－1)≤xn≤eq\f(1,2n－2).證明：(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：xn＞0.當(dāng)n＝1時，x1＝1＞0.假設(shè)n＝k時，xk＞0，那么n＝k＋1時，若xk＋1≤0，則0＜xk＝xk＋1＋ln(1＋xk＋1)≤0，矛盾，故xk＋1＞0.因此xn＞0(n∈N*)．所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)＞xn＋1.因此0＜xn＋1＜xn(n∈N*)．(2)由xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)得xnxn＋1－4xn＋1＋2xn＝xeq\o\al(2,n＋1)－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)．記函數(shù)f(x)＝x2－2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0)，f′(x)＝eq\f(2x2＋x,x＋1)＋ln(1＋x)＞0(x＞0)，函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)≥f(0)＝0，因此xeq\o\al(2,n＋1)－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0，故2xn＋1－xn≤eq\f(xnxn＋1,2)(n∈N*)．(3)因為xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1，所以xn≥eq\f(1,2n－1).由eq\f(xnxn＋1,2)≥2xn＋1－xn得eq\f(1,xn＋1)－eq\f(1,2