4.4解三角形

考點1正弦定理、余弦定理

1.(2023北京,7,4分)在ABC中,(a+c)·(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),則∠C=()

A.△

ππ2π5π

答6案BB.3由正弦C.定3理得(Da.+6c)(a-c)=b(a-b),化簡得ab=a2+b2-c2,由余弦定理的推論得

,又∈(,),∴

cosC=222C0πC=.

?+?????1π

2.(2023全2?國?乙=文2?,?4=,52分,易)在ABC中,3內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若acos

B-bcosA=c,且C=,則B=△()

π

5

A.

ππ3π2π

答1案0CB∵.5acosCB.-1b0cosA=Dc.,5

∴sinAcosB-sinBcosA=sinC,

∴sin(A-B)=sinC,∴A-B=C(A-B+C=π舍去),

又C=,∴A-B=,又A+B=,∴B=,故選C.

ππ4π3π

一題多5解由a5cosB-bcos5A=c得s1i0nAcosB-sinBcosA=sinC,

即sinAcosB-sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB,

∴cosAsinB=0,又知sinB≠0,

∴cosA=0,又∵A∈(0,π),∴A=.

π

2

∴B=.故選C.

πππ3π

2??=2?5=10

3.(2021全國甲文,8,5分)在ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,則BC=()

A.1B.△D.319

答案D解題指2導(dǎo):思路一C(.利5用余弦定理):已知角B,邊c,b,利用余弦定理,得到關(guān)于a的一元二次方程,

求解即可;思路二(利用正弦定理):已知角B,邊b,c,借助正弦定理求出角C的正弦值,進而利用兩角和的正

弦公式及誘導(dǎo)公式求出角A,再借助正弦定理求出a.

解析解法一:設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,在ABC中,由題意知b=,c=2,由余弦定理

得b2=c2+a2-2caco△sB,即19=4+a2-2·2a·cos120°,整理得a2+2a-15△=0,解得a=3或a=-5(舍1)9,所以BC=3.故選

D.

解法二:在ABC中,由正弦定理得,即,所以sinC=3,又0°<C<60°,所以cos

????1922×23

△sin?=sin?sin120°=sin?19=19

C=,所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=,所以

24341333

1?sin?=192×19+?2×19=219

BC=33=3.

19·sin?19×219

3

sin?=2

4.(2018課標Ⅲ,理9,文11,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若△ABC的面積為,則

222

?+???

C=()4

A.B.

ππ

23

C.D.

ππ

46

222

答案C根據(jù)余弦定理得a+b-c=2ab·cosC,因為S△ABC=,所以S△ABC=,又S△ABC=absinC,

222

?+???2??cos?1

442

所以tanC=1,因為C∈(0,π),所以C=.故選C.

π

4

5.(2016課標Ⅰ文,4,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=,c=2,cosA=,則b=()

2

5

A.B.C.2D.33

23

答案D由余弦定理得5=22+b2-2×2b·cosA,∵cosA=,∴3b2-8b-3=0,∴b=3舍去.故選D.

21

?=?

評析本題考查了余弦定理的應(yīng)用,考查了方程的思想方3法.3

6.(2016山東文,8,5分)△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sinA).則A=()

A.B.C.D.

3ππππ

4346

答案C在△ABC中,由b=c,得cosA==,又a2=2b2(1-sinA),所以cosA=sinA,即tanA=1,

22222

?+???2???

2

2??2?

又知A∈(0,π),所以A=,故選C.

π

評析恰當(dāng)運用余弦定理4的變形形式是求解本題的關(guān)鍵.

7.(2015廣東文,5,5分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=2,c=2,cosA=且b<c,則

3

3

b=()2

A.3B.2C.2D.

答案C由余弦2定理b2+c2-2bccosA=3a2,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,∵b<c=2,∴b=2.選C.

3

8.(2014課標Ⅱ理,4,5分)鈍角三角形ABC的面積是,AB=1,BC=,則AC=()

1

2

A.5B.C.2D.12

5

答案BS△ABC=AB·BCsinB=×1×sinB=,

111

2

222

∴sinB=,∴B=45°或135°.若B=45°,則由余弦定理得AC=1,∴△ABC為直角三角形,不符合題意,因此B=135°,

2

2222

由余弦定理得AC=AB+BC-2AB·BCcosB=1+2-2×1××=5,∴AC=.故選B.

2

2?5

2

9.(2013課標Ⅱ文,4,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=2,B=,C=,則△ABC的面積為

ππ

()64

A.2+2B.+1C.2-2D.-1

3333

答案B由=及已知條件得c=2.

??

2

sin?sin?

又sinA=sin(B+C)=×+×=.從而S△ABC=bcsinA=×2×2×=+1.故選B.

12322+6112+6

223

10.(2013課標Ⅰ文,120,52分)2已知2銳角4△ABC的內(nèi)角A,2B,C的對邊2分別為a,b,c,423cosA+cos2A=0,a=7,c=6,

則b=()

A.10B.9C.8D.5

答案D由23cos2A+cos2A=0得25cos2A=1,

因為A為銳角,所以cosA=.又由a2=b2+c2-2bccosA得49=b2+36-b,整理得5b2-12b-65=0,

112

55

解得b=-(舍)或b=5,故選D.

13

5

11.(2016課標Ⅲ,8,5分)在△ABC中,B=,BC邊上的高等于BC,則cosA=()

π1

43

A.B.C.-D.-

3101010310

10101010

答案C過A作AD⊥BC,垂足為D,由題意知AD=BD=BC,則CD=BC,AB=BC,AC=BC,在△ABC中,由余弦

1225

3333

定理的推論可知,cos∠BAC===-,故選C.

22222522

??+A??B?9B?+9B??B?10

2??·??2510

2×3BC×3BC

11.(2024全國甲理,11,5分,難)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知B=60°,b2=ac,則

9

sinA+sinC=()4

A.B.C.D.

373

2222

C

11

解法一:∵B=60°,b2=ac,∴sinAsinC=sin2B=.

941

由余弦定理得b2=a2+c42-2accosB=a2+c2-ac9,3

∴a2+c2=ac,∴sin2A+sin2C=sinAsinC=,

131313

4222412

∴(sinA+sinC)=sinA+sinC+2sinAsinC=+2×=,∴sinA+sinC=,故選C.

13177

解法二:∵b2=ac,12342

9

4

∴由正弦定理得sin2B=sinAsinC=,

2

93

∴sinAsinC=,42

1

又∵A+C=120°3,

∴sinCsinA=[cos(A-C)-cos(A+C)],

1

∴=2,

111

∴c3o2s(A?-?C?)(=A,-∴C)2-co-s2-1=,

1A-C1

∴cos2=6.26

A-C7

212

又-<<,因此cos=,

?A-C?A-C21

32326

sinA+sinC=2sincos=cos=,故選C.

A+CA-CA-C7

22322

知識拓展

sinθ+sinφ=2sincos.詳見教材人教A版必修第一冊P225.

?+??-?

22

12.(2021全國乙理,15,5分)記ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為,B=60°,a2+c2=3ac,則

b=.△3

答案2

解題指導(dǎo):2首先由面積公式得ac的值,再借助余弦定理進行邊角的轉(zhuǎn)化,從而得到b與ac的關(guān)系.

解析由SABC=得ac=4.

13

△

2??sin?=4??=3

由b2=a2+c2-2ac·cosB=a2+c2-ac,

結(jié)合a2+c2=3ac得到b2=2ac=8,∴b=2.

方法總結(jié):解三角形問題時,若條件中含2有邊的二次式和角,則考慮用余弦定理;若條件中含有角或邊的一次

式,則考慮用正弦定理;特征不明顯時,兩個可能都用.

13.(2021浙江,14,6分)在ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中點,AM=2,則AC=,cos∠

MAC=.△3

答案2

239

13;13

解題指導(dǎo):解三角形的關(guān)鍵在于鎖定已知的邊長和角較多的三角形,抓住“邊長”,求AC的長時,在不同三

角形中分別用兩次余弦定理即可;求∠MAC的余弦值時,在ACM中直接利用余弦定理可得結(jié)果.

解析由題意知在ABM中,AB=2,∠B=60°,AM=2,△

由余弦定理得AM2△=AB2+BM2-2AB·BM·cosB,即12=4+3BM2-4·BM·,

1

2

解得BM=4或BM=-2(舍),

∵M為BC的中點,∴BM=MC=4,BC=8,

在ABC中,由余弦定理知AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB,

∴A△C2=4+64-2×2×8×=52,

1

2

∴AC=2.

在AMC1中3,由余弦定理可得

△

∠

cosMAC=222.

??+?????12+52?16239

2??·??=2×23×213=13

一題多解過A作AH⊥BC交BC于H,∵AB=2,∠B=60°,∴AH=,BH=1,又∵AM=2,∴HM=3,∴

BM=MC=4,∴AC=3.3

2222

在AMC中,由余弦?定?理+可?得?=??+(??+??)=3+49=213

△

∠

cosMAC=222.

??+?????12+52?16239

2??·??=2×23×213=13

14.(2016課標Ⅱ,13,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,則

45

b=.513

答案

21

13

sinA=,sinC=,sinB=sin(A+C)=+=,=?b==.

解析由已知可得則××再由63

3123541263??1×6521

3

51351351365sin?sin?513

思路分析利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinA與sinC的值,進而由sinB=sin(A+C)求出sinB的

值,再利用正弦定理即可求出b的值.

15.(2019課標Ⅱ文,15,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsinA+acosB=0,則

B=.

答案π

3

解析本4題考查正弦定理及三角函數(shù)求值,考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運算.

在△ABC中,由已知及正弦定理得sinBsinA+sinAcosB=0,

∵sinA≠0,∴sinB+cosB=0,

即tanB=-1,

又B∈(0,π),∴B=π.

3

16.(2017課標Ⅲ文4,15,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,則

A=.6

答案75°

解析由正弦定理得=,∴sinB=,

362

又∵c>b,∴B=45°,∴A=s7i5n°6.0°sin?2

易錯警示本題求得sinB=后,要注意利用b<c確定B=45°,從而求得A=75°.

2

17.(2017課標Ⅱ文,16,5分)△2ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,則

B=.

答案60°

解析解法一:由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinC·cosA,即sin2B=sin(A+C),即sin2B=sin(180°

-B),可得B=60°.

解法二:由余弦定理得2b·=a·+c·,即b·=b,所以a2+c2-b2=ac,所

222222222222

?+????+????+????+???

2??2??2????

以cosB=,又0°<B<180°,所以B=60°.

1

思路分析2利用正弦定理或余弦定理將邊角統(tǒng)一后求解.

18.(2016北京文,13,5分)在△ABC中,∠A=,a=c,則=.

2π?

3

答案13?

解析在△ABC中,a2=b2+c2-2bc·cosA,

將∠A=,a=c代入,

2π

3

3

可得(c)2=b2+c2-2bc·,

1

3?

整理得2c2=b2+bc.2

∵c≠0,∴等式兩邊同時除以c2,

得2=+,即2=+.

22

?????

22

???2?2

令t=(t>0),有2=t+t,即t+t-2=0,

?

解得t?=1或t=-2(舍去),

故=1.

?

?

思路分析本題先由余弦定理列出關(guān)于b、c的方程,再將方程轉(zhuǎn)化為以為變元的方程求解.

?

評析本題考查余弦定理的應(yīng)用及換元思想的應(yīng)用,屬中檔題.?

19.(2015福建理,12,4分)若銳角△ABC的面積為10,且AB=5,AC=8,則BC等于.

答案73

解析設(shè)內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.由已知及bcsinA=10得sinA=,因為A為銳角,所以

13

3

22222

A=60°,cosA=.由余弦定理得a=b+c-2bccosA=25+64-2×40×=49,故a=7,即BC=7.

11

評析本題考2查了三角形的面積和解三角形,利用三角形的面積2求出cosA是求解關(guān)鍵.

20.(2015安徽文,12,5分)在△ABC中,AB=,∠A=75°,∠B=45°,則AC=.

答案26

解析由已知及三角形內(nèi)角和定理得∠C=60°,由=知AC===2.

??????·sin?6·sin45°

20.(2015福建文,14,4分)若△ABC中,AC=,A=s4in5°?,Cs=in7?5°,則BC=sin?si.n60°

答案3

2

解析B=180°-45°-75°=60°.由正弦定理得=,可得BC=.

????

2

sin?sin?

21.(2015重慶文,13,5分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=2,cosC=-,3sinA=2sinB,則

1

c=.4

答案4

解析由3sinA=2sinB及正弦定理,得3a=2b,又a=2,所以b=3,故c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2×2×3×

=16,所以c=4.

1

?

4

22.(2015北京理,12,5分)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,則=.

sin2?

答案1sin?

解析在△ABC中,由余弦定理的推論可得cosA===,由正弦定理可知

222222

?+???5+6?43

2??2×5×64

====1.

3

sin2?2sin?cos?2?·cos?2×4×4

評sin析?本題sin主?要考查?正弦定理6、余弦定理的推論以及二倍角公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的運算求解能力和知識的

應(yīng)用轉(zhuǎn)化能力.

23.(2014課標Ⅰ理,16,5分)已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sinA-sin

B)=(c-b)sinC,則△ABC面積的最大值為.

答案

解析因3為a=2,所以(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC可化為(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,由正弦定

理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cosA===,又0<A<π,故A=.因為

222

?+?????1π

2??2??23

cosA==≥,所以bc≤4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號.由三角形面積公式知S△ABC=bcsin

22

1?+??42???41

22??2??2

A=bc·=bc≤,故△ABC面積的最大值為.

133

33

評析2本2題考4查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式以及基本不等式的應(yīng)用,考查學(xué)生對知識的綜合應(yīng)用

能力以及運算求解能力.能把2代換成a是正確解決本題的關(guān)鍵.

24.(2011課標文,15,5分)△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,則△ABC的面積為.

答案

153

解析由4余弦定理b2=a2+c2-2accosB,及已知條件得

49=a2+25-2×5×acos120°.

整理得a2+5a-24=0,

解得a=3或a=-8(舍).

∴S△ABC=acsinB=×3×5sin120°=.

11153

評析2本題考查余2弦定理、解三角形4等知識,根據(jù)余弦定理正確求出a的值是解答本題的關(guān)鍵.

25.(2024新課標Ⅰ,15,13分,中)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sinC=cos

B,a2+b2-c2=ab.2

(1)求B;2

(2)若△ABC的面積為3+,求c.

3

解析

15

(1)由余弦定理的推論得cosC===,又0<C<π,∴C=.

222

a+b-c2ab2?

2ab2ab24

由sinC=cosB得cosB=sin=,

?2

∴cosB=,由20<B<π得2B=.42

1?

(2)由2=得=.3

bcbc

???B???C32

令==t,t>0,則b=t,c=t,

bc

32

∵A=π-B-C=,∴sinA3=sin2=,

5???6+2

124+64

∵S△ABC=bcsinA=×t×t×=3+,

116+2

∴t=2,因2此c=22.3243

26.(2024新課標2Ⅱ,15,13分,中)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinA+cosA=2.

(1)求A;3

(2)若a=2,bsinC=csin2B,求△ABC的周長.

2

解析

15

(1)由已知得sinA+cosA=sin=1,因為0<A<π,所以<A+<,所以A+=,即A=.

13???4????

(2)由bsin2C=2csi2nBcosB及正A弦+定3理==,得3sinB3si3nC=2sin3Cs2inBcos6B,

abc

又sinB2≠0,且sinC≠0,所以cosB=,則???sAin???BB=??,?則Cb=2·sinB=×=2,又sin

22a22

1

22???A22

C=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=,所以c=·2sin

12322+6a

C=×=+,即a+b+c=2+32+2,所2以△2ABC4的周長為2+3???A+.

22+6

1

4262626

27.2(2024北京,16,13分,易)在△ABC中,∠A為鈍角,a=7,sin2B=bcosB.

3

(1)求∠A;7

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知,使得△ABC存在,求△ABC的面積.

條件①:b=7;

條件②:cosB=;

13

14

條件③:csinA=.

53

注:如果選擇的條件2不符合要求,第(2)問得0分;如果選擇多個符合要求的條件分別解答,按第一個解答計

分.

解析

16

(1)∵sin2B=bcosB,

3

∴2sinBcosB7=bcosB,

3

∵∠A為鈍角,∴B7≠,∴cosB≠0,

?

2

∴2sinB=b.

3

7

又∵a=7,∴2sinB=·b=,

33???B

a???A

∴sinA=,又∵∠A為鈍角,∴A=.

32?

(2)不可選2條件①.3

若b=7,又a=7,∴a=b,從而A=B=,

2?

因此A+B>π,△ABC不存在.3

選擇條件②.

∵cosB=,∴sinB=,又cosA=-,

13331

∴sinC=1s4in[π-(A+B)1]4=sin(A+B)2

=sinAcosB+cosAsinB

=×+×=,

31313353

214-21414

∵=,∴b===3,

33

aba???B7×14

???A???B???A3

2

∴S△ABC=absinC=×7×3×=.

1153153

選擇條件2③.2144

∵csinA=,又A=,∴c=5.

532?

222

由余弦定理2a=b+c-23bccosA

得49=b2+25-2×b×5×,

1

-2

∴b2+5b-24=0,解得b=3或b=-8(舍).

∴S△ABC=bcsinA=×3×5×=.

113153

2224

25.(2023全國乙理,18,12分)在ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.

(1)求sin∠ABC;△

(2)若D為BC上一點,且∠BAD=90°,求ADC的面積.

解析(1)在ABC中,由余弦定理,得BC△2=22+12-2×2×1×cos120°=7,則BC=.

由正弦定理,得△,7

????

sin∠???=sin∠???

則sin∠ABC=.

??·sin∠???1×sin120°21

??=7=14

(2)在RtABD中,由(1)知sin∠ABD=,且∠ABD為銳角,所以tan∠ABD=.

213

△145

在RtABD中,AB=2,則AD=AB·tan∠ABD=2×.

323

在A△DC中,∠DAC=30°,AC=1,5=5

∴△ADC的面積S=.

1233

一題多解(2)在A2B×C中5,×A1B=×2,siAnC3=01°,=∠1B0AC=120°,

△

∴SABC=,

13

△

2×2×1×sin120°=2

又11,

?△???2??·??·sin30°1×21

1

△???

?=2??·??=2=4

∴SACD=.

13

△

5?△???=10

26.(2023全國甲文,17,12分)記ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

△

222=2.

?+???

(1c)o求s?bc;

(2)若-=1,求ABC面積.

?cos???cos??

解析?c(o1s?)+由?cos??=△=2bc=2,

222222

?+????+???

222

cos??+???

得bc=1.2??

(2)由正弦定理得-=-

?cos???cos??sin?cos??cos?sin?sin?

?cos?+?cos??sin?cos?+cos?sin?sin?

==1,

sin?cos??cos?sin??sin?

即sinAcossinB?-cosAsinB-sinB=sinC=sin(A+B),

得-sinB=2cosAsinB,

∵sinB≠0,∴cosA=-,

1

2

又∵A∈(0,π),∴sinA=,

3

2

∴SABC=bcsinA=×1×=.

1133

△

2224

27.(2020新高考Ⅰ,17,10分)

在①ac=,②csinA=3,③c=b這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,若問題中的三角形存在,求c

的值;若問3題中的三角形不存在3,說明理由.

問題:是否存在ABC,它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sinA=sinB,C=,?

π

△36

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

解析方案一:選條件①.

由和余弦定理得

C=222.

π?+???3

62??=2

由sinA=sinB及正弦定理得a=b.

33

于是,由此可得

222b=c.

3?+???3

2

23?=2

由①ac=,解得a=,b=c=1.

因此,選條3件①時問題3中的三角形存在,此時c=1.

方案二:選條件②.

由和余弦定理得

C=222.

π?+???3

62??=2

由sinA=sinB及正弦定理得a=b.

33

于是,由此可得,,

222b=cB=C=A=.

3?+???3π2π

2

23?=263

由②csinA=3,所以c=b=2,a=6.

因此,選條件②時問題中的三3角形存在,此時c=2.

方案三:選條件③.3

由和余弦定理得

C=222.

π?+???3

62??=2

由sinA=sinB及正弦定理得a=b.

33

于是,由此可得

222b=c.

3?+???3

2

23?=2

由③c=b,與b=c矛盾.

因此,選條3件③時問題中的三角形不存在.

28.(2022浙江,18,14分)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知4a=c,cosC=.

3

5

(1)求sinA的值;△5

(2)若b=11,求ABC的面積.

解析(1)由于△cosC=,sinC>0,則sinC=.

34

55

由已知及正弦定理得4sinA=sinC,則sinA=.

5

55

(2)解法一:由sinC=,cosC=>0,得A<C<,∴cosA=.

453π25

5>????=5525

∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=,由得a==5,

115???sin?

25sin?=sin?sin?

故ABC的面積S==22.

114

△2??sin?=2×5×11×5

解法二:由,得22,

cosC=222a=a+121-c

3?+???66

5=2??5

將c=a代入上式整理得a2+6a-55=0,解得a=5或a=-11(舍),∴△ABC的面積

4