/浙江省嘉興市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期6月期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．2．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則（

）A．2 B． C． D．3．在中，，記，則（

）A． B．C． D．4．一個(gè)袋中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅球，2個(gè)黃球，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則這2個(gè)球顏色相同的概率為（

）A． B． C． D．5．設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則6．一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號(hào)為的5張標(biāo)簽，有放回地隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，記事件“兩張標(biāo)簽標(biāo)號(hào)之積大于15”，事件“第一張標(biāo)簽標(biāo)號(hào)小于3”，則（

）A． B．C．與互斥 D．與相互獨(dú)立7．在三棱臺(tái)中，平面平面是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且，則二面角的正切值為（

）A． B． C． D．28．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積為20，且，點(diǎn)在其內(nèi)部，滿足的面積之比為.若，則（

）A．4 B．6 C． D．二、多選題9．有一組樣本數(shù)據(jù)，其中，則（

）A．該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2.5B．該組數(shù)據(jù)的極差大于1C．該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于的平均數(shù)D．該組數(shù)據(jù)的方差不小于的方差10．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，且，則（

）A．B．若的面積為，則C．若平分，則D．若，當(dāng)最大時(shí)，11．已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是的中點(diǎn)，過(guò)作平面，記平面平面，且截正方體所得截面多邊形為，則（

）A．若平面，則與平面所成的角為B．若平面，則與所成的角為C．若，則的周長(zhǎng)為D．若，以為頂點(diǎn)，為底面的幾何體的外接球的表面積為三、填空題12．若復(fù)數(shù)，則.13．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則.14．類比二維平面內(nèi)的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理：如圖，由不共面的三條射線構(gòu)成的圖形稱為三面角，記，，二面角的大小為，則.已知平行六面體的底面為菱形，，.若，則二面角的余弦值為.四、解答題15．已知向量滿足.(1)若，求的坐標(biāo)；(2)若，求與的夾角的余弦值.16．如圖，平面四邊形中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且，為的中點(diǎn)，將沿翻折至.(1)證明：；(2)若，求直線與平面所成角的余弦值.17．是一款人工智能學(xué)習(xí)輔助工具，某高校為了解學(xué)生的使用情況，統(tǒng)計(jì)了該校學(xué)生在某日使用的時(shí)間（單位：小時(shí)），整理數(shù)據(jù)后，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求的值，并估計(jì)該校學(xué)生當(dāng)日使用的時(shí)間的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)若使用時(shí)間不小于2小時(shí)的用戶稱為“資深用戶”，其中使用時(shí)間在內(nèi)的用戶稱為“青銅用戶”，使用時(shí)間在內(nèi)的用戶稱為“鉑金用戶”.為了進(jìn)一步了解對(duì)學(xué)習(xí)的輔助效果，該校新聞中心采用分層抽樣的方法在“資深用戶”中抽取了6名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并從這6名學(xué)生中隨機(jī)選擇2名學(xué)生進(jìn)行訪談，求這2名學(xué)生中恰好有一名是“青銅用戶”的概率.18．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)若，求；(2)若是的中點(diǎn)，且，求；(3)若，求的面積.19．我國(guó)古代南北朝數(shù)學(xué)家祖暅在計(jì)算球的體積時(shí)，提出了祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，意思是夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.(1)已知一個(gè)半徑為的半球（如圖①），以及一個(gè)底面半徑和高都等于的圓柱（如圖②），在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐后得到的一個(gè)新幾何體，試用祖暅原理求新幾何體的體積.(2)已知正方體的棱長(zhǎng)為為空間內(nèi)一點(diǎn)，滿足，記點(diǎn)的軌跡所圍成的空間幾何體為.（i）求平面截空間幾何體所得截面的面積；（ii）若平面把空間幾何體分成兩個(gè)部分，求較小部分的體積.

浙江省嘉興市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期6月期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題參考答案題號(hào)12345678910答案ABABDCDBABDABD題號(hào)11答案BCD1．A【詳解】因?yàn)?，所?故選：A2．B【詳解】由余弦定理可得，所以.故選：B3．A【詳解】因?yàn)?，所以為線段的三等分點(diǎn)，如圖所示，.故選：A4．B【詳解】由題設(shè)，從其中摸出2個(gè)球顏色相同，即摸出2個(gè)紅球，或摸出2個(gè)黃球，所求概率為.故選：B5．D【詳解】對(duì)于A，若，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則或或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由線面平行的性質(zhì)定理可知D正確.故選：D6．C【詳解】根據(jù)題意可知所有的樣本點(diǎn)共有：，，，，共個(gè)，事件包含的樣本點(diǎn)有：，共個(gè)，所以，故A錯(cuò)誤；事件包含的樣本點(diǎn)有：，共個(gè)，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋耘c互斥，故C正確；因?yàn)?，，所以，所以與不相互獨(dú)立，D錯(cuò)誤.故選：C7．D【詳解】設(shè)，易知為等腰梯形，故，所以，故，若分別為的中點(diǎn)，連接，則，即，由是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則，平面平面，平面平面，平面，所以平面，而平面，故，由且都在平面內(nèi)，則平面，由平面，則，綜上，二面角的平面角為，且為直角三角形，由，，所以.故選：D8．B【詳解】延長(zhǎng)交于，因?yàn)榈拿娣e之比為，所以是的中點(diǎn)，因?yàn)槊娣e之和與面積之比為，所以，又因?yàn)?，所以又因?yàn)?，求得，所以，則，又的面積為20，所以，解得.故選：B.9．ABD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，所以該組數(shù)據(jù)的極差大于1，故B正確；對(duì)于C，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，而數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則，即，不一定成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閿?shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以數(shù)據(jù)的方差為，新增數(shù)據(jù)后，方差為：，此時(shí)對(duì)稱軸，而，故，此時(shí)對(duì)稱軸，故，故樣本數(shù)據(jù)的方差必然大于原方差，故D正確.故選：ABD.10．ABD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，由余弦定理有：，整理得：，即，所以，又因?yàn)椋?，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋獾?，所以，所以B正確；對(duì)于C，根據(jù)角平分線定理有：，所以，所以，且，，所以，所以，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，所以，所以為為直角三角形，，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，所以，，令，，所以為銳角，則，即因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，所以越小值越大，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，D正確.故選：ABD11．BCD【詳解】A，如下圖，平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，由面面平行的性質(zhì)定理知，又直線與平面所成的角為，所以，則與平面所成的角的正切值為，A錯(cuò)誤.B，平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫?根據(jù)A知，所以與所成的角與與所成的角大小相等.又因?yàn)樵诰匦沃校堑闹悬c(diǎn)，根據(jù)，易得.所以與所成的角為正確.C，由題設(shè)易知，而，則，由平面，平面，則，由且都在平面內(nèi)，則平面，由平面，則，若為的中點(diǎn)，同理可證，且都在平面內(nèi)，所以平面，若，顯然平面即為，所以是邊長(zhǎng)為的正六邊形，周長(zhǎng)為，C正確.D，設(shè)正六邊形中心為，球心為，半徑為，則，所以，所以，外接球表面積為，D正確.故選：BCD12．【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：.13．【詳解】由正弦邊角關(guān)系及已知有，又均為三角形內(nèi)角，所以，即，，易知，所以，則.故答案為：14．/【詳解】連接，由已知在中，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又且都在平面內(nèi)，所以平面，所以在底面內(nèi)的投影在直線上.在中，根據(jù)勾股定理得，易知，又，在中，由余弦定理可得，所以，則，設(shè)二面角為，由三面角定理得，即，即，所以.故答案為：.15．(1)或；(2).【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，解得或，所以?（2）因?yàn)?，所以，所以，代入得，，所以，所以與的夾角的余弦值為.16．(1)證明見解析(2).【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，平面所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）在中，，，，所以，在中，，由可得，在中，，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以為直線與平面所成角，在中，，，，所以，所以直線與平面所成角的余弦值為.17．(1)，平均值為1.73；(2).【詳解】（1）因?yàn)椋?平均值：.

（2）抽取的6名學(xué)生中，“青銅用戶”選4名，記為，“鉑金用戶”選2名，記為，樣本空間，設(shè)事件“這2名學(xué)生中恰好有一名是“青銅用戶””，則.因?yàn)槌橹袠颖究臻g中每一個(gè)樣本點(diǎn)的可能性都相等，所以這是一個(gè)古典概型.所以.18．(1)或；(2)；(3).【詳解】（1）在中，由正弦定理，即，解得，所以或.（2）因?yàn)?，即，化?jiǎn)得①.法一：在中，由正弦定理，，在中，由正弦定理，，又，所以，在中，由余弦定理可得，所以，則②.聯(lián)立①②得，即，解得或（舍）或（舍）.所以.法二：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，由題意，則，即，整理得③.聯(lián)立①③，，解得或（舍）.所以.（3）在內(nèi)作，所以，設(shè)，在中，由正弦定理知，即，知，所以，所以.19．(1)；(2)（i）；（ii）.【詳解】（1）圖①為半徑為的半球，圖②為底面半徑和高都為的圓柱中挖掉一個(gè)圓錐，其截面面積相等的圖形是圓環(huán)（如陰影部分）設(shè)圖①截面圓的圓心為，且，則截面圓的面積為，圖②截圓錐得到的小圓的半徑為，所以圓環(huán)的面積為，所以截得的截面面積相等，由祖晅原理可知，新幾何體的體積等于半球的體積，即.（2）記的中點(diǎn)為