2022-2023學年河北省石家莊市趙縣八年級下學期期中數學試題及答案一、選擇題（本大題有16個小題，共42分。1-10小題每題3分，11-16小題每題2分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．2．下列計算正確的是（）A． B． C． D．3．如圖，在四邊形ABCD中，下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AD∥BC，AB＝DC D．AB∥DC，AB＝DC4．正方形具有而矩形不一定具有的性質是（）A．四個角都是直角 B．對角線相等 C．對角線互相垂直 D．對角線互相平分5．如圖，P是面積為S的平行四邊形ABCD內任意一點，△PAD的面積為S1，△PBC的面積為S2，則（）A． B． C． D．S1+S2的大小與P點位置有關6．已知是正整數，則實數n的最大值為（）A．12 B．11 C．8 D．37．如圖，有兩塊全等的含30°角的三角板拼成形狀不同的平行四邊形，最多可以拼成（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．若的整數部分為x，小數部分為y，則的值是（）A． B． C．1 D．39．若a＜b（a，b為非零實數），化簡的結果為（）A． B． C． D．10．將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設筷子露在杯子外面的長度hcm，則h的取值范圍是（）A．h≤17 B．h≥8 C．15≤h≤16 D．7≤h≤1611．如圖，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交CD邊于E，AD＝3，EC＝2，則AB的長為（）A．1 B．2 C．3 D．512．如圖，某同學剪了兩條寬均為的紙條，交叉疊放在一起，且它們的交角為60°，則它們重疊部分的面積為（）A．3 B．2 C．3 D．613．如圖，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得△ABC，則AC邊上的高長度為（）A． B． C． D．14．某數學興趣小組開展了筆記本電腦的張角大小的實踐探究活動．如圖，當張角為∠BAF時，頂部邊緣B處離桌面的高度BC為7cm，此時底部邊緣A處與C處間的距離AC為24cm，小組成員調整張角的大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現當張角為∠DAF時（D是B的對應點），頂部邊緣D處到桌面的距離DE為20cm，則底部邊緣A處與E之間的距離AE為（）A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm15．如圖是用三塊正方形紙片以頂點相連的方式設計的“畢達哥拉斯”圖案．現有五種正方形紙片，面積分別是2，4，6，8，10，選取其中三塊（可重復選?。┌磮D的方式組成圖案，使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是（）A．2，8，10 B．4，6，10 C．6，8，10 D．4，4，816．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，DE平分∠ADC交AB于點E，∠BCD＝60°，，連接OE．下列結論：①S?ABCD＝AD?BC；②DB平分∠CDE；③AO＝OE；④OE垂直平分BD．其中正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本大題共3個小題，每小題3分，共9分．其中18、19小題第一空2分，第二空1分）17．若＝2﹣a，則a的取值范圍是．18．觀察下列各式：；；．（1）請你根據上面三個等式提供的信息，可以猜想：＝；（2）利用上述規(guī)律計算：＝．（直接寫出答案）19．如圖，點C在線段AB上，△DAC是等邊三角形，四邊形CDEF是正方形．（1）∠DAE＝°；（2）點P是線段AE上的一個動點，連接PB，PC．若AC＝2，BC＝3，則PB+PC的最小值為．三、解答題（本大題有7個小題，共60分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）20．計算（1）2﹣+2；（2）（+）2﹣（+）（﹣）．21．如圖，某住宅小區(qū)在施工過程中留下了一塊空地，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，求這塊空地鋪滿草坪的面積．22．如圖，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是邊AB上的中線，分別過點C，D作BA，BC的平行線交于點E，且DE交AC于點O，連接AE．（1）求證：四邊形ADCE是菱形；（2）若AC＝2DE＝4，求四邊形ABCE的面積．23．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，將矩形ABCD沿對角線AC折疊，點B落在點E處，AE交CD于點F．（1）試證明△ACF是等腰三角形；（2）求CF的長．24．（1）如圖1是一個重要公式的幾何解釋，請你寫出這個公式；在推得這個公式的過程中，主要運用了A．分類討論思想B．整體思想C．數形結合思想D．轉化思想（2）如圖2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D在同一直線上．求證：∠ACE＝90°；（3）伽菲爾德（1881年任美國第20屆總統）利用（1）中的公式和圖2證明了勾股定理（發(fā)表在1876年4月1日的《新英格蘭教育日志》上），請你嘗試該證明過程．25．【閱讀材料】小明在學習二次根式后，發(fā)現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如．善于思考的小明進行了以下探索：若設＝（其中a、b、m、n均為整數），則有a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：【問題解決】．（1）若，當a、b、m、n均為整數時，則a＝，b＝．（均用含m、n的式子表示）（2）若，且x、m、n均為正整數，分別求出x、m、n的值．【拓展延伸】（3）化簡＝（直接寫出結果）．26．已知正方形ABCD，點E，F分別在射線AB，射線BC上，AE＝BF，DE與AF交于點O．（1）如圖1，當點E，F分別在線段AB，BC上時，則線段DE與AF的數量關系是，位置關系是．（2）如圖2，當點E在線段AB延長線上時，將線段AE沿AF進行平移至FG，連接DG．①依題意將圖2補全；②請你通過實驗和觀察，試猜想在點E運動的過程中線段DG，AD，AE的數量關系，并證明你的結論．

參考答案一、選擇題（本大題有16個小題，共42分。1-10小題每題3分，11-16小題每題2分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】最簡二次根式的概念：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式．根據最簡二次根式的概念解答即可．解：A選項被開方數是小數，可以化成分數，有分母，不符合題意；B選項的被開方數含分母，不符合題意；C選項是最簡二次根式，符合題意；D選項的被開方數中有能開的盡方的因數4，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了最簡二次根式的概念，熟練掌握最簡二次根式的概念是解題的關鍵．2．下列計算正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據二次根式的性質，逐項判斷即可求解．解：A、，故本選項錯誤，不符合題意；B、，故本選項正確，符合題意；C、和不是同類二次根式，故本選項錯誤，不符合題意；D、，故本選項錯誤，不符合題意；故選：B．【點評】本題主要考查了二次根式的性質，熟練掌握二次根式的性質是解題的關鍵．3．如圖，在四邊形ABCD中，下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AD∥BC，AB＝DC D．AB∥DC，AB＝DC【分析】注意題目所問是“不能”，根據平行四邊形的判定條件可解出此題．解：平行四邊形的判定條件：1、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（定義判定法）；即選項A；2、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；即選項D；3、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；即選項B故選：C．【點評】本題主要考查平行四邊形的性質，掌握平行四邊形的基本性質是解答本題的關鍵4．正方形具有而矩形不一定具有的性質是（）A．四個角都是直角 B．對角線相等 C．對角線互相垂直 D．對角線互相平分【分析】根據正方形和矩形的性質逐項分析可得結論．解：∵正方形和矩形都是特殊的平行四邊形，∴正方形和矩形具有平行四邊形所有的性質，包括對角線互相平分，∵正方形的對角線相等且互相垂直，矩形的對角線只相等但不垂直，∴正方形具有而矩形不一定具有的性質是對角線互相垂直．故選：C．【點評】本題主要考查了矩形、正方形的性質，特殊四邊形的性質要從邊、角、對角線三方面入手，并加以考慮它們之間的聯系和區(qū)別．5．如圖，P是面積為S的平行四邊形ABCD內任意一點，△PAD的面積為S1，△PBC的面積為S2，則（）A． B． C． D．S1+S2的大小與P點位置有關【分析】根據題意，作出合適的輔助線，然后根據圖形和平行四邊形的面積、三角形的面積，即可得到S和S1、S2之間的關系，本題得以解決．解：過點P作EF⊥AD交AD于點E，交CB的延長線于點F，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∴S＝BC?EF，，，∵EF＝PE+PF，AD＝BC，∴S1+S2＝，故選：C．【點評】本題考查平行四邊形的性質、三角形的面積，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．6．已知是正整數，則實數n的最大值為（）A．12 B．11 C．8 D．3【分析】如果實數n取最大值，那么12﹣n有最小值；又知是正整數，而最小的正整數是1，則等于1，從而得出結果．解：當等于最小的正整數1時，n取最大值，則n＝11．故選B．【點評】此題的關鍵是分析當等于最小的正整數1時，n取最大值．7．如圖，有兩塊全等的含30°角的三角板拼成形狀不同的平行四邊形，最多可以拼成（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】分別以不同的三邊為對角線，則可以得到三種不同的平行四邊形．解：如圖所示：故選C．【點評】本題結合圖形的拼接考查了平行四邊形的判定，兩個全等的三角形能拼成一個平行四邊形．8．若的整數部分為x，小數部分為y，則的值是（）A． B． C．1 D．3【分析】先估算出的范圍，求出x、y的值，再代入求出即可．解：∵1＜＜2，∴x＝1，y＝﹣1，∴x﹣y＝×1﹣（﹣1）＝1，故選：C．【點評】本題考查了估算無理數的大小和實數的混合運算，能估算出的范圍是解此題的關鍵．9．若a＜b（a，b為非零實數），化簡的結果為（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的性質分別化簡，進而得出答案．解：∵a＜b（a，b為非零實數），有意義，∴﹣a3b＞0，∴ab＜0，∴a＜0，b＞0，∴＝﹣a．故選：A．【點評】此題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確得出a，b的符號是解題關鍵．10．將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設筷子露在杯子外面的長度hcm，則h的取值范圍是（）A．h≤17 B．h≥8 C．15≤h≤16 D．7≤h≤16【分析】如圖，當筷子的底端在A點時，筷子露在杯子外面的長度最短；當筷子的底端在D點時，筷子露在杯子外面的長度最長．然后分別利用已知條件根據勾股定理即可求出h的取值范圍．解：如圖，當筷子的底端在D點時，筷子露在杯子外面的長度最長，∴h＝24﹣8＝16cm；當筷子的底端在A點時，筷子露在杯子外面的長度最短，在Rt△ABD中，AD＝15，BD＝8，∴AB＝＝17，∴此時h＝24﹣17＝7，所以h的取值范圍是7≤h≤16．故選：D．【點評】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學好數學的關鍵．11．如圖，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交CD邊于E，AD＝3，EC＝2，則AB的長為（）A．1 B．2 C．3 D．5【分析】首先證明DA＝DE，再根據平行四邊形的性質即可解決問題．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BA∥CD，AB＝CD，∴∠DEA＝∠EAB，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB，∴∠DAE＝∠DEA，∴DE＝AD＝3，∴CD＝CE+DE＝2+3＝5，∴AB＝5．故選：D．【點評】本題考查平行四邊形的性質，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，屬于中考?？碱}型．12．如圖，某同學剪了兩條寬均為的紙條，交叉疊放在一起，且它們的交角為60°，則它們重疊部分的面積為（）A．3 B．2 C．3 D．6【分析】過A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，則AE＝AF＝，先證四邊形ABCD是平行四邊形，再證BC＝CD，則平行四邊形ABCD是菱形，得AB＝BC，然后由銳角三角函數定義求出AB＝2，即可解決問題．解：過A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，則AE＝AF＝，∠AEB＝90°，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABE＝∠ADF＝60°，S平行四邊形ABCD＝BC?AE＝CD?AF，∴BC＝CD，∴平行四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵sin∠ABE＝＝sin60°＝，∴AB＝＝＝2，∴BC＝2，∴S菱形ABCD＝BC?AE＝2×＝2，故選：B．【點評】此題考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質以及銳角三角函數定義等知識，熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵．13．如圖，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得△ABC，則AC邊上的高長度為（）A． B． C． D．【分析】求出三角形ABC的面積，再根據三角形的面積公式即可求得AC邊上的高．解：四邊形DEFA是正方形，面積是4；△ABF，△ACD的面積相等，且都是×1×2＝1．△BCE的面積是：×1×1＝．則△ABC的面積是：4﹣1﹣1﹣＝．在直角△ADC中根據勾股定理得到：AC＝＝．設AC邊上的高線長是x．則?AC?x＝x＝，解得：x＝．故選：A．【點評】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理，利用“割補法”求面積是解決本題的關鍵．14．某數學興趣小組開展了筆記本電腦的張角大小的實踐探究活動．如圖，當張角為∠BAF時，頂部邊緣B處離桌面的高度BC為7cm，此時底部邊緣A處與C處間的距離AC為24cm，小組成員調整張角的大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現當張角為∠DAF時（D是B的對應點），頂部邊緣D處到桌面的距離DE為20cm，則底部邊緣A處與E之間的距離AE為（）A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm【分析】勾股定理解Rt△ABC得出AB＝25cm，勾股定理解Rt△ADE即可求解．解：依題意，AC＝24，BC＝7cm，在Rt△ABC中，cm，∵AB＝AD＝25，DE＝20，在Rt△ADE中，cm，故選：A．【點評】本題考查了勾股定理的應用，掌握勾股定理是解題的關鍵．15．如圖是用三塊正方形紙片以頂點相連的方式設計的“畢達哥拉斯”圖案．現有五種正方形紙片，面積分別是2，4，6，8，10，選取其中三塊（可重復選?。┌磮D的方式組成圖案，使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是（）A．2，8，10 B．4，6，10 C．6，8，10 D．4，4，8【分析】運用勾股定理將符合條件的三種情形列舉出來，分別計算直角三角形的面積，比較大小即可．解：當選取的三塊紙片的面積分別是4，6，10時，圍成的直角三角形的面積是，當選取的三塊紙片的面積分別是2，8，10時，圍成的直角三角形的面積是，當選取的三塊紙片的面積分別是2，4，6時，圍成的直角三角形的面積是，∵，因為當選取2，4，8；2，4，10；4，6，8；6，8，10；四種情況時，都不能構成直角三角形，∴要使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是4，6，10．故選：B．【點評】本題主要考查了勾股定理，實數的大小比較，以及三角形的面積，運用分類思想是解題的關鍵．16．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，DE平分∠ADC交AB于點E，∠BCD＝60°，，連接OE．下列結論：①S?ABCD＝AD?BC；②DB平分∠CDE；③AO＝OE；④OE垂直平分BD．其中正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】證得△ADE是等邊三角形，由等邊三角形的性質得出AD＝AE＝AB，求得∠ADB＝90°，即AD⊥BD，即可得到S?ABCD＝AD?BD；依據∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，可得∠CDB＝∠BDE，進而得出DB平分∠CDE；依據Rt△AOE中，AO＞OE，即可得到AO＞DE；由三角形的中位線定理可得出OE∥AD，則可得出EO⊥BD，則可得出結論．解：∵∠BAD＝∠BCD＝60°，∠ADC＝120°，DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠DAE＝60°＝∠AED，∴△ADE是等邊三角形，∴AD＝AE＝AB，∴E是AB的中點，∴DE＝BE，∴∠BDE＝∠AED＝30°，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD，∴S?ABCD＝AD?BD，故①不符合題意；∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，∴∠CDB＝∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②符合題意；∵Rt△AOE中，AO＞OE，故③不符合題意；∵O是BD的中點，E是AB的中點，∴OE是△ABD的中位線，∴OE∥AD，∵∠ADB＝90°，∴∠EOB＝90°，∴EO⊥DB，∴OE垂直平分BD，故④符合題意，所以正確的有：②④．故選：B．【點評】本題考查了平行四邊形的性質，掌握平行四邊形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．二、填空題（本大題共3個小題，每小題3分，共9分．其中18、19小題第一空2分，第二空1分）17．若＝2﹣a，則a的取值范圍是a≤2．【分析】根據二次根式的性質，等式左邊為算術平方根，結果為非負數．解：∵＝2﹣a，∴a﹣2≤0．即a≤2．【點評】本題主要考查了根據二次根式的意義化簡．二次根式規(guī)律總結：當a≥0時，＝a，當a≤0時，＝﹣a．18．觀察下列各式：；；．（1）請你根據上面三個等式提供的信息，可以猜想：＝1；（2）利用上述規(guī)律計算：＝1．（直接寫出答案）【分析】（1）按照所給等式猜想可得答案；（2）先將所求式子變形為：，符合規(guī)律，根據規(guī)律可得答案．解：（1）猜想：＝1+﹣＝1；故答案為：1；（2）＝＝1+﹣＝1．故答案為：1．【點評】本題考查了二次根式的性質與化簡，找規(guī)律，弄清題中的規(guī)律是解本題的關鍵．19．如圖，點C在線段AB上，△DAC是等邊三角形，四邊形CDEF是正方形．（1）∠DAE＝15°；（2）點P是線段AE上的一個動點，連接PB，PC．若AC＝2，BC＝3，則PB+PC的最小值為．【分析】（1）由已知可得△ADE是等腰三角形，所以∠DAE＝（180°﹣90°﹣60°）＝15°；（2）作C點關于AE的對稱點C'，連接C'B與AE交點為P，則PB+PC＝BC'，由（1）可得∠GAC＝45°，再由AG⊥CG，則∠DCA＝45°，可求CC'＝2，過C'作C'H⊥AC則△C'CH為等腰直角三角形，可知H與A重合，在Rt△ABC'中，AB＝AC+BC＝5，AC'＝2，求得BC'＝即為所求．解：（1）∵△DAC是等邊三角形，∴∠DAC＝∠ADC＝60°，AD＝DC，∵四邊形CDEF是正方形，∴CD＝DE，∠EDC＝90°，∴△ADE是等腰三角形，∴∠DAE＝（180°﹣90°﹣60°）＝15°，故答案為15°；（2）作C點關于AE的對稱點C'，連接C'B與AE交點為P，∴PB+PC＝BC'，∵∠EAD＝15°，∠DAC＝60°，∴∠GAC＝45°，∵AG⊥CG，∴∠DCA＝45°，∵AC＝2，∴GC＝，∴CC'＝2，過C'作C'H⊥AC，則△C'CH為等腰直角三角形，∴C'H＝2，∴H與A重合，∴C'A⊥AC，在Rt△ABC'中，AB＝AC+BC＝5，AC'＝2，∴BC'＝，∴PB+PC的最小值為，故答案為．【點評】本題考查軸對稱求最短距離，作出C關于AE的對稱點C'，證明C'A⊥AC是解題的關鍵．三、解答題（本大題有7個小題，共60分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）20．計算（1）2﹣+2；（2）（+）2﹣（+）（﹣）．【分析】（1）先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式計算．解：（1）原式＝4﹣+＝；（2）原式＝2+2+3﹣（2﹣3）＝2+2+3+1＝6+2．【點評】本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．21．如圖，某住宅小區(qū)在施工過程中留下了一塊空地，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，求這塊空地鋪滿草坪的面積．【分析】連接AC，根據勾股定理求出AC，根據勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°，求出區(qū)域的面積，即可求出答案．解：連接AC，如圖所示：在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m，由勾股定理得：AC＝＝5（m），∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴鋪滿草坪的面積S＝S△ACB﹣S△ADC＝×5×12﹣×3×4＝24（m2）．答：這塊空地鋪滿草坪的面積是24m2．【點評】本題考查了勾股定理的應用，三角形面積，勾股定理的逆定理等知識，解此題的關鍵是求出鋪滿草坪的面積．22．如圖，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是邊AB上的中線，分別過點C，D作BA，BC的平行線交于點E，且DE交AC于點O，連接AE．（1）求證：四邊形ADCE是菱形；（2）若AC＝2DE＝4，求四邊形ABCE的面積．【分析】（1）先證四邊形DBCE是平行四邊形，得CE＝BD，再證四邊形ADCE平行四邊形，然后由直角三角形斜邊上的中線性質得CD＝AD，即可得出結論；（2）由菱形的性質得S菱形ADCE＝2S△ACD＝AC?DE＝4，則S△BCD＝S△ACD＝2，即可解決問題．【解答】（1）證明：∵DE∥BC，CE∥AB，∴四邊形DBCE是平行四邊形．∴CE＝BD，∵CD是邊AB上的中線，∴BD＝AD，∴CE＝AD，又∵CE∥AD，∴四邊形ADCE是平行四邊形．∵∠BCA＝90°，CD是斜邊AB上的中線，∴CD＝AB＝AD，∴平行四邊形ADCE是菱形；（2）解：∵CD是邊AB上的中線，∴S△ACD＝S△BCD，∵AC＝2DE＝4，∴DE＝2，∵四邊形ADCE是菱形，∴S菱形ADCE＝2S△ACD＝AC?DE＝×4×2＝4，∴S△BCD＝S△ACD＝2，∴S四邊形ABCE＝S菱形ADCE+S△BCD＝4+2＝6．【點評】此題考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線性質以及三角形面積等知識．熟練掌握菱形的判定與性質是解此題的關鍵．23．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，將矩形ABCD沿對角線AC折疊，點B落在點E處，AE交CD于點F．（1）試證明△ACF是等腰三角形；（2）求CF的長．【分析】（1）依據折疊的性質以及平行線的性質，即可得到AF＝CF，進而得出△ACF是等腰三角形；（2）設CF＝x，則AF＝x，DF＝4﹣x，依據勾股定理即可得到x的值．【解答】（1）證明：由折疊可得，∠BAC＝∠EAC，由AB∥CD可得，∠BAC＝∠DCA，∴∠EAC＝∠DCA，∴AF＝CF，∴△ACF是等腰三角形，（2）解：設CF＝x，則AF＝x，DF＝4﹣x，∵∠D＝90°，∴Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，即32+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，∴CF＝．【點評】本題主要考查了折疊問題，解題時，常常設要求的線段長為x，然后根據折疊和軸對稱的性質用含x的代數式表示其他線段的長度，選擇適當的直角三角形，運用勾股定理列出方程求出答案．24．（1）如圖1是一個重要公式的幾何解釋，請你寫出這個公式（a+b）2＝a2+2ab+b2；在推得這個公式的過程中，主要運用了CA．分類討論思想B．整體思想C．數形結合思想D．轉化思想（2）如圖2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D在同一直線上．求證：∠ACE＝90°；（3）伽菲爾德（1881年任美國第20屆總統）利用（1）中的公式和圖2證明了勾股定理（發(fā)表在1876年4月1日的《新英格蘭教育日志》上），請你嘗試該證明過程．【分析】（1）利用大正方形面積等于兩個小正方形面積與兩矩形面積之和得出即可，利用數形結合得出答案；（2）利用△ABC≌△CDE，得出∠BAC＝∠DCE，進而得出∠DCE+∠ACB＝90°，即可得出答案；（3）利用圖形面積即可證出勾股定理．解：（1）利用大正方形面積等于兩個小正方形面積與兩矩形面積之和得出：（a+b）2＝a2+2ab+b2；利用數形結合得出：在推得這個公式的過程中，主要運用了數形結合思想；故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2；C；（2）∵△ABC≌△CDE，∴∠BAC＝∠DCE．∵∠B＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠DCE+∠ACB＝90°，即∠ACE＝90°．（3）∵S梯形ABDE＝S△ABC+S△ACE+S△CDE，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，∴（a+b）2＝2×ab+c2，∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，即a2+b2＝c2．【點評】此題主要考查了勾股定理的證明，利用圖形面積由數形結合得出是解題關鍵．25．【閱讀材料】小明在學習二次根式后，發(fā)現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如．善于思考的小明進行了以下探索：若設＝（其中a、b、m、n均為整數），則有a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：【問題解決】．（1）若，當a、b、m、n均為整數時，則a＝m2+5n2，b＝2mn．（均用含m、n的式子表示）（2）若，且x、m、n均為正整數，分別求出x、m、n的值．【拓展延伸】（3）化簡＝（直接寫出結果）．【分析】（1）根據完全平方公式將等式右邊展開，然后分析求解；（2）根據完全平方公式將等式右邊展開，然后列方程求解；（3）根據完全平方公式和二次根式的性質進行變形化簡．解：（1）（m+n）2＝m2+2mn+5n2，∵a+b＝（m+n）2，且a、b、m、n均為整數，