寧波市中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題模擬專(zhuān)題一、中考幾何壓軸題1．定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．（問(wèn)題理解）(1)如圖1，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，∠ABC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接AD、CD．求證：四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形；（拓展探究）(2)如圖2，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，連接AC，AC是否平分∠BCD？請(qǐng)說(shuō)明理由；（升華運(yùn)用）(3)如圖3，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若CD＝6，DF＝2，求AF的長(zhǎng)．2．如圖，已知和均為等腰三角形，，，將這兩個(gè)三角形放置在一起．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖①，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B、D、E在同一直線上，連接CE，則線段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系是_________，_________；（2）拓展探究：如圖②，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B、D、E不在同一直線上，連接CE，求出線段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系及BD、CE所在直線相交所成的銳角的大?。ǘ加煤氖阶颖硎荆?，并說(shuō)明理由：（3）解決問(wèn)題：如圖③，，，，連接CE、BD，在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)CE所在的直線垂直于AD時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出BD的長(zhǎng)．3．在中，于點(diǎn)，點(diǎn)為射線上任一點(diǎn)（點(diǎn)除外）連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，，得到，連接．（1）（觀察發(fā)現(xiàn)）如圖1，當(dāng)，且時(shí)，BP與的數(shù)量關(guān)系是___________，與的位置關(guān)系是___________．（2）（猜想證明）如圖2，當(dāng)，且時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（請(qǐng)選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說(shuō)理）（3）（拓展探究）在（2）的條件下，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．4．（問(wèn)題呈現(xiàn)）下面是華師版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第121頁(yè)的第1題，請(qǐng)結(jié)合圖①完成這道題的證明．如圖①，點(diǎn)是正方形的邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)是的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且．求證：．（拓展探究）如圖②，在中，，，，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，且．（1）直接寫(xiě)出四邊形的面積．（2）若，則四邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．5．（1）問(wèn)題提出：如圖①，在矩形中，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，垂足為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，．可知的形狀為_(kāi)_____；（2）深人探究：如圖②，將在平面內(nèi)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)判斷的形狀是否變化，并說(shuō)明理由；（提示：延長(zhǎng)到，使；延長(zhǎng)到，使，連接，，，構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明）（3）拓展延伸：如果，，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)，，在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．6．綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們結(jié)合下述情境，提出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，四邊形BEDF是矩形．探究展示：“興趣小組”提出的問(wèn)題是：“如圖2，連接CE．求證：AE⊥CE．”并展示了如下的證明方法：證明：如圖3，分別連接AC，BD，EF，AF．設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O．∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，且AC=BD．又∵四邊形BEDF是矩形，∴EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，∴OE=OF=EF，且EF=BD．∴OE=OF，OA=OC．∴四邊形AECF是平行四邊形．（依據(jù)1）∵AC=BD，EF=BD，∴AC=EF．∴四邊形AECF是矩形．（依據(jù)2）∴∠CEA=90°，即AE⊥CE．反思交流：（1）上述證明過(guò)程中“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是什么？拓展再探：（2）“創(chuàng)新小組”受到“興趣小組”的啟發(fā)，提出的問(wèn)題是：“如圖4，分別延長(zhǎng)AE，F(xiàn)B交于點(diǎn)P，求證：EB=PB．”請(qǐng)你幫助他們寫(xiě)出該問(wèn)題的證明過(guò)程．（3）“智慧小組”提出的問(wèn)題是：若∠BAP=30°，AE=，求正方形ABCD的面積．請(qǐng)你解決“智慧小組”提出的問(wèn)題．7．綜合與實(shí)踐．特例感知．兩塊三角板△ADB與△EFC全等，∠ADB＝∠EFC＝90°，∠B＝45°，AB＝6．將直角邊AD和EF重合擺放．點(diǎn)P、Q分別為BE、AF的中點(diǎn)，連接PQ，如圖1．則△APQ的形狀為．操作探究（1）若將△EFC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)P恰好落在AD上，BE與AC交于點(diǎn)G，連接PF，如圖2．①FG：GA＝；②PF與DC的位置關(guān)系為；③求PQ的長(zhǎng)；開(kāi)放拓展（2）若△EFC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)AC⊥CF時(shí)，∠AEC為．8．綜合與實(shí)踐：利用矩形的折疊開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，探究體會(huì)圖形在軸對(duì)稱(chēng)，旋轉(zhuǎn)等變換過(guò)程中的變化，及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法．動(dòng)手操作：如圖①，矩形紙片ABCD的邊AB＝2，將矩形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為EF，然后展開(kāi)，EF與AC交于點(diǎn)H；如圖②，將矩形ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上，且點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，展開(kāi)圖形，折痕為AG，連接GH；若在圖①中連接BH，得到如圖③，點(diǎn)M是線段BH上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AH上的動(dòng)點(diǎn)，連接AM，MN，且∠AMN＝∠ABH；若在圖②中連接BH，交折痕AG于點(diǎn)Q，隱去其它線段，得到如圖④．解決問(wèn)題：（1）在圖②中，∠ACB＝，BC＝，＝，與△ABG相似的三角形有個(gè)；（2）在圖②中，AH2＝AE·（從圖②中選擇一條線段填在空白處），并證明你的結(jié)論；（3）在圖③中，△ABH為三角形，設(shè)BM為x，則NH＝（用含x的式子表示）；拓展延伸：（4）在圖④中，將△ABQ繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0°≤α≤180°），得到△A′BQ′，連接DQ′，則DQ′的最小值為，當(dāng)tan∠CBQ′＝時(shí)，△DBQ′的面積最大值為．9．綜合與實(shí)踐動(dòng)手操作利用正方形紙片的折疊開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．探究體會(huì)在正方形折疊過(guò)程中，圖形與線段的變化及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法．如圖1，點(diǎn)為正方形的邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，將正方形對(duì)折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為．思考探索（1）將正方形展平后沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，折痕為，連接，如圖2．①點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，_________的長(zhǎng)為半徑的圓上；②_________；③為_(kāi)______三角形，請(qǐng)證明你的結(jié)論．拓展延伸（2）當(dāng)時(shí)，正方形沿過(guò)點(diǎn)的直線（不過(guò)點(diǎn)）折疊后，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在正方形內(nèi)部或邊上．①面積的最大值為_(kāi)___________；②連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，則的最小值為_(kāi)___________．10．探究：如圖1和圖2，四邊形中，已知，，點(diǎn)、分別在、上，．（1）①如圖1，若、都是直角，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，使與重合，直接寫(xiě)出線段、和之間的數(shù)量關(guān)系____________________；②如圖2，若、都不是直角，但滿足，線段、和之間①中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）拓展：如圖3，在中，，，點(diǎn)、均在邊上，且，若，求的長(zhǎng)．11．（1）嘗試探究：如圖①，在中，，，點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn)，且EF∥AB．①的值為_(kāi)________；②直線與直線的位置關(guān)系為_(kāi)_________；（2）類(lèi)比延伸：如圖②，若將圖①中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，則在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，請(qǐng)判斷的值及直線與直線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）拓展運(yùn)用：若，，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)線段的長(zhǎng)．12．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中和△DCE中，，，，點(diǎn)D是BC的垂線AF上任意一點(diǎn)．填空：①的值為；②∠ABE的度數(shù)為．（2）類(lèi)比探究：如圖2，在△ABC中和△DCE中，，，點(diǎn)D是BC的垂線AF上任意一點(diǎn)．請(qǐng)判斷的值及∠ABE的度數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：在（2）的條件下，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出BE的長(zhǎng)．13．問(wèn)題提出（1）如圖（1），在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接AM，以AM為邊作等邊三角形AMN，連接CN，則∠ACN＝°．類(lèi)比探究（2）如圖（2），在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其他條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．拓展延伸（3）如圖（3），在等腰三角形ABC中，BA＝BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接AM，以AM為邊作等腰三角形AMN，使AM＝MN，連接CN．添加一個(gè)條件，使得∠ABC＝∠ACN仍成立，寫(xiě)出你所添加的條件，并說(shuō)明理由．14．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交直線AB于點(diǎn)F，將AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到ED，ED交直線AB于點(diǎn)O，連接BE．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，α＝90°，點(diǎn)D在邊BC上，猜想：①AF與BE的數(shù)量關(guān)系是；②∠ABE＝度．（2）拓展探究：如圖2，0°＜α＜90°，點(diǎn)D在邊BC上，請(qǐng)判斷AF與BE的數(shù)量關(guān)系及∠ABE的度數(shù)，并給予證明．（3）解決問(wèn)題如圖3，90°＜α＜180°，點(diǎn)D在射線BC上，且BD＝3CD，若AB＝8，請(qǐng)直接寫(xiě)出BE的長(zhǎng)．15．綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)將線段AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF，連接CF交線段AB于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H、連接EG．特例分析:(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，“智敏”小組提出如下問(wèn)題，請(qǐng)你解答：①求證：AF=CD；②用等式表示線段CG與EG之間的數(shù)量關(guān)系為：_______；拓展探究:(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長(zhǎng)線上，且DE=AD時(shí)，“博?！毙〗M發(fā)現(xiàn)CF=2EG．請(qǐng)你證明；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長(zhǎng)線上，且AE=AB時(shí)，的值為_(kāi)______；推廣應(yīng)用:(4)當(dāng)點(diǎn)E在射線AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，則的值為_(kāi)_____用含m.n的式子表示)．16．（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，，，點(diǎn)是的平分線上一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到，連結(jié)、，交于．填空：①線段與的數(shù)量關(guān)系是_________；②線段與的位置關(guān)系是_________．（2）拓展探究：如圖2，在中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連結(jié)、，交于．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在中，，，，的平分線交于，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，連結(jié)、、，與相交于，若以、、為頂點(diǎn)的三角形與全等，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．17．石家莊某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組利用機(jī)器人開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，在相距150個(gè)單位長(zhǎng)度的直線跑道AB上，機(jī)器人甲從端點(diǎn)A出發(fā)，勻速往返于端點(diǎn)A、B之間，機(jī)器人乙同時(shí)從端點(diǎn)B出發(fā)，以大于甲的速度勻速往返于端點(diǎn)B、A之間．他們到達(dá)端點(diǎn)后立即轉(zhuǎn)身折返，用時(shí)忽略不計(jì)，興趣小組成員探究這兩個(gè)機(jī)器人迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇”包括面對(duì)面相遇、在端點(diǎn)處相遇這兩種．（觀察）①觀察圖1，若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為30個(gè)單位長(zhǎng)度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度．②若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為35個(gè)單位長(zhǎng)度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度．（發(fā)現(xiàn)）設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長(zhǎng)度，他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長(zhǎng)度，興趣小組成員發(fā)現(xiàn)了y與x的函數(shù)關(guān)系，并畫(huà)出了部分函數(shù)圖象（線段OP，不包括點(diǎn)O，如圖2所示）①a＝；②分別求出各部分圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并在圖2中補(bǔ)全函數(shù)圖象．（拓展）設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長(zhǎng)度，他們第三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長(zhǎng)度，若這兩個(gè)機(jī)器人在第三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離y不超過(guò)60個(gè)單位長(zhǎng)度，則他們第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離x的取值范圍是．（直接寫(xiě)出結(jié)果）18．如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝10，請(qǐng)直接寫(xiě)出△PMN面積的最大值．19．如圖l，在正方形ABCD中，AB=8，點(diǎn)E在AC上，且，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，．（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）（1）線段與的數(shù)量關(guān)系是________，直線與所夾銳角的度數(shù)是___________；（拓展探究）（2）當(dāng)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論并結(jié)合圖2給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（解決問(wèn)題）（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離為2時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．20．如圖，在中，，，，為底邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊向左上方作等腰直角，連接．觀察猜想：（1）當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，直接寫(xiě)出，的數(shù)量關(guān)系：_______．類(lèi)比探究：（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)問(wèn)（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；拓展延伸：（3）在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、中考幾何壓軸題1．(1)見(jiàn)解析；(2)AC平分∠BCD，理由見(jiàn)解析；(3)AF＝4．【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形互補(bǔ)可知∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°，再證AD=CD，即可根據(jù)等補(bǔ)四邊形的解析：(1)見(jiàn)解析；(2)AC平分∠BCD，理由見(jiàn)解析；(3)AF＝4．【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形互補(bǔ)可知∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°，再證AD=CD，即可根據(jù)等補(bǔ)四邊形的定義得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)A分別作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF垂直CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，證△ABE≌△ADF，得到AE=AF，根據(jù)角平分線的判定可得出結(jié)論；

（3）連接AC，先證∠EAD=∠BCD，推出∠FCA=∠FAD，再證△ACF∽△DAF，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等可求出AF的長(zhǎng)．【詳解】(1)證明：∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°.∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠CBD∴弧AD＝弧CD∴AD＝CD∴四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形(2)AC平分∠BCD，理由如下：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F則∠AEB＝∠AFD＝90°∵四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形∴∠ADC+∠B＝180°又∵∠ADC+∠ADF＝180°∴∠B＝∠ADF在△AFD與△AEB中∴≌∴∴點(diǎn)A一定在∠BCD的平分線上即AC平分∠BCD.(3)連接AC同(2)理得∠EAD＝∠BCD由(2)知AC平分∠BCD所以∠FCA＝∠BCD同理∠FAD＝∠EAD∴∠FCA＝∠FAD.又∵∠F＝∠F∴△FAD∽△FCA∴即∴AF＝4【點(diǎn)睛】本題考查了新定義等補(bǔ)四邊形，圓的有關(guān)性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是要能夠通過(guò)自主學(xué)習(xí)來(lái)進(jìn)行探究，運(yùn)用等．2．（1），60；（2），；（3）或【分析】（1）證明，得出，，即可得出結(jié)論；（2）證明，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出，再求出，①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，先判斷出四邊形是矩形，求出，再根據(jù)勾股定理求出，解析：（1），60；（2），；（3）或【分析】（1）證明，得出，，即可得出結(jié)論；（2）證明，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出，再求出，①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，先判斷出四邊形是矩形，求出，再根據(jù)勾股定理求出，，得出；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，同①的方法得，，，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖①中，在為等腰三角形，，，是等邊三角形，，，同理：，，，，，，，點(diǎn)、、在同一直線上，，，，故答案為：，60．（2）如圖②中，，、所在直線相交所成的銳角的大小為．理由：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，設(shè)交于點(diǎn)．在等腰三角形中，，，，同理，，，，，，，，，，．、所在直線相交所成的銳角的大小為．（3）由（2）知，，，在中，，，①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，如圖③，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，當(dāng)時(shí)，可證，，，，四邊形是矩形，，矩形是正方形，，在中，根據(jù)勾股定理得，，．②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，如圖④同①的方法得，，，，綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，判斷出△ACE∽△ABD是解本題的關(guān)鍵．3．（1），；（2）成立，不成立，與的關(guān)系為，見(jiàn)解析；（3）2或14【分析】（1）連接AE，證明△ABC、△APE為等邊三角形，再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BP=CE，，再求得，即可得，所有．解析：（1），；（2）成立，不成立，與的關(guān)系為，見(jiàn)解析；（3）2或14【分析】（1）連接AE，證明△ABC、△APE為等邊三角形，再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BP=CE，，再求得，即可得，所有．（2）成立，不成立，與的關(guān)系為．選圖2證明：連接，易證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，由此可得，結(jié)論可證；選圖3證明，類(lèi)比圖2的證明方法即可；（3）分圖2和圖3兩種情況求CE的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）如圖，連接AE，∵，且，∴△ABC為等邊三角形，∴，AB=AC，∵，且，∴△APE為等邊三角形，∴，AP=AE，∴，∴；在△BAP和△CAE中，，∴，∴BP=CE，，∵，，，∴∠ABP=30°，∴，∴，∴．故答案為：，．（2）成立，不成立，與的關(guān)系為．理由如下：選圖2證明：連接，由題意可知：、均為等腰直角三角形，∴，，∴，即；又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，．選圖3證明：理由如下：連接，由題意可知：、均為等腰直角三角形，∴，，∴，即，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，；（3）或14．如圖，∵，∴，∵，∴在中，，∴，由（2）知：，∴；如圖，同理可得，∴，∴．綜上：的長(zhǎng)為2或14．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．問(wèn)題呈現(xiàn)：證明見(jiàn)解析；拓展探究：（1）3；（2）．【分析】問(wèn)題呈現(xiàn)：由同角的余角相等可知，，由正方形的性質(zhì)知，，，則利用證可得，可得；拓展探究：（1）根據(jù)，，可得是等腰直角三角形，，并可得，，解析：?jiǎn)栴}呈現(xiàn)：證明見(jiàn)解析；拓展探究：（1）3；（2）．【分析】問(wèn)題呈現(xiàn)：由同角的余角相等可知，，由正方形的性質(zhì)知，，，則利用證可得，可得；拓展探究：（1）根據(jù)，，可得是等腰直角三角形，，并可得，，可求得，根據(jù)證可得，可得四邊形的面積=，據(jù)此求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)是等腰直角三角形，，是斜邊上的中垂線，的角平分線，可得：也是等腰直角三角形，，可得，再根據(jù)，可求出，根據(jù)，則四邊形的周長(zhǎng)為：，據(jù)此求解即可．【詳解】證明：，，，，，在與中，，．【拓展探究】（1）在中，，，是等腰直角三角形，∴又，是斜邊上的中垂線，的角平分線，，；又∵∴在和中，，，∴四邊形的面積=（2）如下圖示，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)∵由（1）可知，是等腰直角三角形，，是斜邊上的中垂線，的角平分線，則可得：也是等腰直角三角形，，∴，若，則∴∵∴，，則四邊形的周長(zhǎng)為：．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，已知正弦，正切求邊長(zhǎng)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（1）等邊三角形；（2）的形狀不變，理由見(jiàn)解析；（3）或．【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)、解直角三角形可得，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線可得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)可得，最后解析：（1）等邊三角形；（2）的形狀不變，理由見(jiàn)解析；（3）或．【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)、解直角三角形可得，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線可得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)可得，最后根據(jù)等邊三角形的判定即可得出結(jié)論；（2）如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理證出，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)三角形中位線定理可得，，從而可得，最后根據(jù)等邊三角形的判定即可得出答案；（3）分點(diǎn)在線段上和點(diǎn)在線段上兩種情況，再利用直角三角形的性質(zhì)、勾股定理分別求出的長(zhǎng)，然后根據(jù)線段中點(diǎn)的定義、線段的和差即可得．【詳解】解：（1）在矩形中，，，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，同理可得：，，，，，是等邊三角形，故答案為：等邊三角形；（2）的形狀不變，理由如下：如圖，延長(zhǎng)到，使；延長(zhǎng)到，使，連接，其中相交于點(diǎn)，相交于點(diǎn)，相交于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，垂直平分，，同理可得：，，即，在和中，，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，是的中位線，，同理可得：，，是等邊三角形；（3）由題意，分以下兩種情況：①如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，，，在中，，，在中，，，，；②如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，同理可得：，，，，綜上，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2），通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．6．（1）依據(jù)1：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，依據(jù)2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；（2）見(jiàn)解析；（3）4【分析】（1）借助問(wèn)題情景即可得出結(jié)論；（2）連接CE，先根據(jù)已證結(jié)論及正方形的性解析：（1）依據(jù)1：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，依據(jù)2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；（2）見(jiàn)解析；（3）4【分析】（1）借助問(wèn)題情景即可得出結(jié)論；（2）連接CE，先根據(jù)已證結(jié)論及正方形的性質(zhì)得出AB=BC，∠1=∠4，再由矩形性質(zhì)證得∠PBA=∠EBC，得出△PBA≌△EBC，即可得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AP，垂足為M．結(jié)合（2）所得結(jié)論利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得BM=PM=ME，設(shè)BM=ME=x，則AM=x+-1．則根據(jù)三角函數(shù)解直角三角形求出x=1，再由直角三角形的性質(zhì)求出正方形的邊長(zhǎng)，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）依據(jù)1：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．依據(jù)2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．（2）證明：連接CE，由題意得，∠CEA=90°，∴∠1+∠2=180°-∠AEC=90°．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC．∴∠3+∠4=180°-∠ABC=90°．∵∠2=∠3．∴∠1=∠4．∵四邊形EBFD是矩形，∴∠EBF=90°．∴∠PBE=180°-∠EBF=90°．∴∠PBE=∠ABC．∴∠PBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．即∠PBA=∠EBC．∴△PBA≌△EBC．∴PB=EB．（3）解：過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AP，垂足為M．由（2）可知，PB=BE，∠PBE=90°．∴BM=PM=ME．設(shè)BM=ME=x，則AM=x+-1．∵在Rt△ABM中，∠BAM=30°．∴AB=2BM，tan∠BAM=，解得x=1．∴AB=2，∴S正方形ABCD=2×2=4．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握特殊四邊形、全等三角形及三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．7．等腰直角三角形；（1）①1：；②互相平行；③；（2）22.5°或67.5°【分析】特例感知：根據(jù)三角形的中位線定理得出PQ//BD，PQ=，結(jié)合已知即可得出答案；（1）①先根據(jù)勾股定理得出EF解析：等腰直角三角形；（1）①1：；②互相平行；③；（2）22.5°或67.5°【分析】特例感知：根據(jù)三角形的中位線定理得出PQ//BD，PQ=，結(jié)合已知即可得出答案；（1）①先根據(jù)勾股定理得出EF=，再根據(jù)△EGF∽△BGA得出，從而得出FG：GA的值；②過(guò)P作PM//BC交CE與點(diǎn)M，再證得F在PM上即可；③根據(jù)三角形的中位線定理得出PD//CE，結(jié)合已知得出P在AD上，得出PQ=，再利用勾股定理得出PQ的長(zhǎng)；（2）分點(diǎn)F在BC的下方和上方兩種情況加以討論即可【詳解】解：特例感知：∵P、Q分別為BE、AF的中點(diǎn)，∴PQ//BD，PQ=，∵△ABD是等腰直角三角形，∴△APQ為等腰直角三角形，故答案為：等腰直角三角形；（1）①∵AB=6，∠B=45°，∠ADB=90°，∴，∴AD=BD=，∴EF=，∵∠BFC=∠BAC=90°，∴∠GFE=∠BAG，∵∠AGP=∠EGF，∴∠ABQ=∠GBF，∴△EGF∽△BGA，∴，∴故答案為：；②如圖，過(guò)P作PM//BC交CE與點(diǎn)M，∴，∴EM=CM∴FM//BC，∴F在PM上，∴PF∥CD，故答案為：平行；③∵BP=PE，BD=CD，∴DP為△BCE的中位線，∴PD//CE，∵CE⊥BC，∴PD⊥BC，又∵AD⊥BC，∴P在AD上，∠APF=∠ADC=90°，∵Q為AF的中點(diǎn)，∴PQ=，又∵∠B=45°，∠ADB=90°，∴，∴FC=EF=，∴AF=AC-CF=6-，∴PQ==；（2）當(dāng)點(diǎn)F在BC的下方時(shí)，如圖∵AC⊥CF∴∠ACF=90°，∵∠ACD=45°，∴∠BCF=45°，∴點(diǎn)E在BC邊上，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CE，∴∠AEC=∠CAE=67.5°當(dāng)點(diǎn)F在BC的上方時(shí)，如圖∵AC⊥CF∴∠ACF=90°，∵∠ACD=45°，∠FCE=45°，∴點(diǎn)E在BC邊的延長(zhǎng)線上，∴∠ACE=135°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CE，∴∠AEC=∠CAE=22.5°【點(diǎn)睛】本題考查了幾何變換---旋轉(zhuǎn)綜合題，涉及到勾股定理、三角形中位線以及相似三角形的性質(zhì)和判定，清楚準(zhǔn)確的分析出旋轉(zhuǎn)的過(guò)程是解題的關(guān)鍵8．（1）30°，6，4，7；（2）AG；（3）等邊，；（4）3，，6【分析】（1）由點(diǎn)H為AC中點(diǎn)，可得AC=2AH，由折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，與四邊形ABCD為矩形，可證GH為AC的垂直平分線，可解析：（1）30°，6，4，7；（2）AG；（3）等邊，；（4）3，，6【分析】（1）由點(diǎn)H為AC中點(diǎn)，可得AC=2AH，由折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，與四邊形ABCD為矩形，可證GH為AC的垂直平分線，可得AG=CG，∠GCH=∠GAH，可求∠ACB=30°，利用三角函數(shù)可求BC=，AG=4，BF=FC=，可求，與△ABG相似的三角形由7個(gè)；（2）由EF為折痕，可證△AEH∽△AHG，可得即可；（3）由四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)H為對(duì)角線AC中點(diǎn)，可證△ABH為等邊三角形，再證△ABM∽△MHN，可得即可；（4）連結(jié)BD，當(dāng)點(diǎn)Q′在BD上時(shí)，Q′D最小，先求BC=，AQ′=，可求Q′D最小=，當(dāng)BQ′⊥BD時(shí)，△BDQ′面積最大∠CBQ′=60°，S△BDQ′最大=．【詳解】解（1）∵點(diǎn)H為AC中點(diǎn)，∴AC=2AH，∵折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，∴AB=AH=2，BG=HG，∠BAG=∠HAG=，∠B=∠AHG，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B=90°，∴∠AHG=∠B=90°，∴GH為AC的垂直平分線，∴AG=CG，∠GCH=∠GAH，∴∠BAG=∠HAG=∠GCH，∵∠BAH+∠BCH=180°-∠B=90°，∴3∠ACB=90°∴∠ACB=30°，∴∠BAG=∠HAG=∠GCH=30°，∴tan30°=，AB=2，∴BC=，∵tan∠BAG=tan30°=，∴BG=，∴AG=2BG=4，BF=FC=，∴GF=BF-BG=3-2=1，∴，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=30°，∴∠BAG=∠HAG=∠GHF=∠HCF=∠GCH=∠EAH=∠DAC=∠BCA=30°，∵∠B=∠AHG=∠HFG=∠HFC=∠AEH=∠D=∠GHC=∠CBA=90°，∴△ABG∽△AHG∽△HFG∽△CFH∽△CHG∽△AEH∽△ADC∽△CBA，∴與△ABG相似的三角形由7個(gè)，故答案為：30°；6；4；7；（2）∵EF為折痕，∴EH⊥AD，∵∠EAH=∠HAG=30°∠AHG=∠AEH=90°∴△AEH∽△AHG，∴，∴故答案為AG；（3）∵四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)H為對(duì)角線AC中點(diǎn)，∴AH=CH=BH，由圖2知AB=AH，∴AH=BH=AB，∴△ABH為等邊三角形，∴∠ABH=∠AHB=60°，∵∠AMN＝∠ABH；∴∠AMN＝∠ABH=∠AHB=60°，∴∠BAM+∠AMB=180°-∠ABH=120°，∠AMB+∠NMH=180°-∠AMN=120°，即∠BAM+∠AMB=∠AMB+∠NMH，∴∠BAM=∠NMH，∴△ABM∽△MHN，∴，∵AB=，MH=，∴，∴，故答案為：等邊；，（4）連結(jié)BD，當(dāng)點(diǎn)Q′在BD上時(shí)，Q′D最小∵AB=2，AD=BC=6，∴BC=∵AQ′=Q′H=∴Q′D最小=當(dāng)BQ′⊥BD時(shí)，△BDQ′面積最大∵tan∠DAC=，∴∠DAC=30°，∴∠CBQ′=90°-∠DBC=90°-30°=60°∴tan∠CBQ'=S△BDQ′最大=；故答案為；；6．【點(diǎn)睛】本題考查折疊性質(zhì)，矩形性質(zhì)，線段垂直平分線，銳角三角函數(shù)，三角形相似判定與性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，兩圖形的最小距離，最大面積，掌握查折疊性質(zhì)，矩形性質(zhì)，線段垂直平分線，銳角三角函數(shù)，三角形相似判定與性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，兩圖形的最小距離，最大面積求法是解題關(guān)鍵．9．（1）①；②；③等邊，證明見(jiàn)解析；（2）①3；②．【分析】（1）①利用圓的基本性質(zhì)，即可求解；②根據(jù)折疊的性質(zhì)，利用勾股定理，即可求解；③利用勾股定理，求得B′D=，即可求解；（2）①由題解析：（1）①；②；③等邊，證明見(jiàn)解析；（2）①3；②．【分析】（1）①利用圓的基本性質(zhì)，即可求解；②根據(jù)折疊的性質(zhì)，利用勾股定理，即可求解；③利用勾股定理，求得B′D=，即可求解；（2）①由題意知點(diǎn)B'在以點(diǎn)E為圓心，半徑長(zhǎng)為2的圓上，△ABB'的面積要最大，只要以AB為底的高最長(zhǎng)即可，此時(shí)當(dāng)B'E⊥AB時(shí)，△ABB'的面積最大；②當(dāng)E、B′、C三點(diǎn)共線時(shí)，B'C+EB'取得最小值，即B'C+2PQ取得最小值，且最小值為EC的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知：BE=B′E，BC=B′C=3，MA=MB=NC=ND=，∠B=∠EB′C=90，①點(diǎn)B′在以點(diǎn)E為圓心，BE的長(zhǎng)為半徑的圓上；②B′M=MN-B′N(xiāo)===；③B′D=，∴△DB'C為等邊三角形；故答案為：①BE，②，③等邊；（2）①∵AB=3=3AE，∴AE=1，BE=2，故點(diǎn)B'在以點(diǎn)E為圓心，半徑長(zhǎng)為2的圓上，∴△ABB'的面積要最大，只要以AB為底的高最長(zhǎng)即可，∴當(dāng)B'E⊥AB時(shí)，△ABB'的面積最大，如圖：△ABB'的面積最大值；②∵∠AQP=∠AB'E，∴PQ∥B'E，∵P為AE的中點(diǎn)，∴Q為AB'的中點(diǎn)，∴PQ為△AEB'的中位線，∴PQ=EB'，即EB'=2PQ，∴B'C+2PQ=B'C+EB'，當(dāng)E、B′、C三點(diǎn)共線時(shí)，B'C+EB'取得最小值，即B'C+2PQ取得最小值，且最小值為EC的長(zhǎng)，∴EC=，∴B'C+2PQ的最小值為．故答案為：①；②．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)、圖形的折疊、等腰三角形的性質(zhì)等，有一定的綜合性，難度適中，其中（2）①當(dāng)B'E⊥AB時(shí)，△ABB'的面積最大；②當(dāng)E、B′、C三點(diǎn)共線時(shí)，B'C+2PQ取得最小值，是解本題的關(guān)鍵．10．（1）①EF=BE+DF；②成立，理由見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，求出∠EAF=∠GAF=45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GA解析：（1）①EF=BE+DF；②成立，理由見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，求出∠EAF=∠GAF=45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF，即可求出答案；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，得出AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，推出C、D、G在一條直線上，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF，即可得出結(jié)果；

（2）把△AEC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF．根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出∠ABC=∠C=45°，BC=4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，求出∠FAD=∠DAE=45°，證△FAD≌△EAD，根據(jù)全等得出DF=DE，設(shè)DE=x，則DF=x，BF=CE=3-x，根據(jù)勾股定理得出方程，求出x即可．【詳解】解：（1）①如圖1中，∵把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，∠B=∠ADG=90°，

∵∠ADC=90°，∴∠ADC+∠ADG=90°∴F、D、G共線．

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠EAF=∠GAF=45°，

在△EAF和△GAF中，，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=GF，

∵BE=DG，

∴EF=GF=DF+DG=BE+DF，

故答案為：EF=BE+DF；②成立，理由如下：如圖2，把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，則AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC+∠ADG=180°，∴C、D、G在一條直線上，與①同理得，∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF和△GAF中，，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=GF，∵BE=DG，∴EF=GF=BE+DF；（2）∵△ABC中，，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠C=45°，．如圖3，把△AEC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF．則AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，∵∠DAE=45°，∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°，∴∠FAD=∠DAE=45°，在△FAD和△EAD中，，∴△FAD≌△EAD（SAS），∴DF=DE，設(shè)DE=x，則DF=x，∵BC=4，∴BF=CE=4-1-x=3-x，∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，∴∠FBD=90°，由勾股定理得：DF2=BF2+BD2，x2=（3-x）2+12，解得：，即DE=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，此題運(yùn)用了類(lèi)比的思想，一般先在特殊圖形中找到規(guī)律，然后再推廣到一般圖形中，對(duì)學(xué)生的分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力要求比較高．11．（1）①，②；（2），，證明見(jiàn)解析；（3）或【分析】（1）①由銳角三角函數(shù)可得AC＝BC，CF＝CE，可得AF＝AC?CF＝（BC?CE），BE＝BC?CE，即可求；②由垂直的定義可得AF⊥B解析：（1）①，②；（2），，證明見(jiàn)解析；（3）或【分析】（1）①由銳角三角函數(shù)可得AC＝BC，CF＝CE，可得AF＝AC?CF＝（BC?CE），BE＝BC?CE，即可求；②由垂直的定義可得AF⊥BE；（2）由題意可證△ACF∽△BCE，可得，∠FAC＝∠CBE，由余角的性質(zhì)可證AF⊥BE；（3）分兩種情況討論，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理可求AF的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，故答案為：，；（2），如圖，連接，延長(zhǎng)交于，交于點(diǎn)，∵旋轉(zhuǎn)，∴，∵，∴，且，∴，∴，，∵，∴，∴；（3）①如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，，，，∴，，∵，，∴，且三點(diǎn)在同一直線上，∴，∵旋轉(zhuǎn)，∴，∴，且，∴，，∴，∴；②如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，，，，∴，，∵，，∴，∵旋轉(zhuǎn)，∴，且，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是相似綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．12．（1）①1；②90°；（2）(2),，理由見(jiàn)解析；（3）或【分析】（1）①根據(jù)已知條件可知為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證明，即可得出答案；②根據(jù)，得出，因?yàn)椋^而推出；（2）利用已知解析：（1）①1；②90°；（2）(2),，理由見(jiàn)解析；（3）或【分析】（1）①根據(jù)已知條件可知為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證明，即可得出答案；②根據(jù)，得出，因?yàn)?，繼而推出；（2）利用已知條件證明△ACD∽△BCE，即可推出,；（3）當(dāng)點(diǎn)E在AF右邊時(shí)，如圖2所示，由已知條件可得出，在中運(yùn)用勾股定理可求出AD的值，再運(yùn)用（2）中結(jié)論即可得出BE的值；當(dāng)點(diǎn)E在AF左邊時(shí)，如圖3所示，可證明，，再運(yùn)用（2）中結(jié)論即可得出BE的值．【詳解】解：（1）①∵，，∴為等邊三角形∴∴∴∴的值為1；故答案為：1；②∵∴∵∴∴∵∴故答案為：90°．（2）,.理由如下：在Rt△ABC中，，.∴.同理：.∴.又.∴.∴△ACD∽△BCE.∴,.∴.（3）當(dāng)點(diǎn)E在AF右邊時(shí)，如圖2所示：∵，，，∴，∴∵∴；當(dāng)點(diǎn)E在AF左邊時(shí)，如圖3所示同理，可得，∵∴∴∴∵∵∴綜上所述，BE的值為或.【點(diǎn)睛】本題是一道關(guān)于三角形相似的綜合題目，涉及的知識(shí)點(diǎn)有全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定、解直角三角形、勾股定理的應(yīng)用等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，它充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題中的數(shù)形結(jié)合思想和整體轉(zhuǎn)化思想．13．（1）60；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，進(jìn)而得到∠BAM=∠CAN，再利用SAS可證明≌，繼而得出結(jié)論；解析：（1）60；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，進(jìn)而得到∠BAM=∠CAN，再利用SAS可證明≌，繼而得出結(jié)論；（2）也可以通過(guò)證明≌，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣；（3）當(dāng)∠ABC＝∠AMN時(shí)，∽，利用相似的性質(zhì)得到，又根據(jù)∠BAM＝∠CAN，證得∽，即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵、是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM=∠CAN，

∵在和中，，∴≌（SAS），∴∠ABC=∠ACN；∵是等邊三角形∴∠ABC=60°∴∠ACN=∠ABC=60°．（2）結(jié)論∠ACN＝60°仍成立．理由如下：∵、都是等邊三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∴≌，∴∠ACN＝∠ABM＝60°．（3）添加條件：∠ABC＝∠AMN．理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，∠ABC＝∠AMN，∴∠BAC＝∠MAN，∴∽，∴．又∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴∽，∴∠ABC＝∠ACN．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，找到全等的條件，利用全等的性質(zhì)證明結(jié)論．14．（1）①AF＝BE，②90°；（2）AF＝BE，∠ABE＝α．理由見(jiàn)解析；（3）BE的長(zhǎng)為2或4．【分析】（1）①由等腰直角三角形的判定和性質(zhì)可得：∠ABC＝45°，由平行線的性質(zhì)可得∠FDB＝解析：（1）①AF＝BE，②90°；（2）AF＝BE，∠ABE＝α．理由見(jiàn)解析；（3）BE的長(zhǎng)為2或4．【分析】（1）①由等腰直角三角形的判定和性質(zhì)可得：∠ABC＝45°，由平行線的性質(zhì)可得∠FDB＝∠C＝90°，進(jìn)而可得由等角對(duì)等邊可得DF＝DB，由旋轉(zhuǎn)可得：∠ADF＝∠EDB，DA＝DE，繼而可知△ADF≌△EDB，繼而即可知AF＝BE；②由全等三角形的性質(zhì)可知∠DAF＝∠E，繼而由三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）由平行線的性質(zhì)可得∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，由等邊對(duì)等角可得∠ABC＝∠CAB，進(jìn)而根據(jù)等角對(duì)等邊可得DB＝DF，再根據(jù)全等三角形的判定方法證得△ADF≌△EDB，進(jìn)而可得求證AF＝BE，∠ABE＝∠FDB＝α；（3）分兩種情況考慮：①如圖（3）中，當(dāng)點(diǎn)D在BC上時(shí)，②如圖（4）中，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，由平行線分線段成比例定理可得、，代入數(shù)據(jù)求解即可；【詳解】（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1中，設(shè)AB交DE于O．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C＝90°，∴∠DFB＝∠DBF＝45°，∴DF＝DB，∵∠ADE＝∠FDB＝90°，∴∠ADF＝∠EDB，∵DA＝DE，DF＝DB∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF＝BE，∠DAF＝∠E，∵∠AOD＝∠EOB，∴∠ABE＝∠ADO＝90°故答案為：①AF＝BE，②90°．（2）拓展探究：結(jié)論：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：∵DF‖AC∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB，∴∠ABC＝∠DFB，∴DB＝DF，∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，∴∠ADF＝∠EDB，∵AD＝DE，DB＝DF∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，∴∠ABE＝∠FDB＝α．（3）解決問(wèn)題①如圖（3）中，當(dāng)點(diǎn)D在BC上時(shí)，由（2）可知：BE＝AF，∵DF∥AC，∴，∵AB＝8，∴AF＝2，∴BE＝AF＝2，②如圖（4）中，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵AC∥DF，∴，∵AB＝8，∴BE＝AF＝4，故BE的長(zhǎng)為2或4．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等邊對(duì)等角的性質(zhì)和等角對(duì)等邊的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平行線分線段成比例定理，涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)．15．(1)①見(jiàn)解析；②CG=2EG；(2)見(jiàn)解析；(3)；(4)【分析】(1)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證得AD=CD，再證明△AFG△ADG，即可證明結(jié)論；②根據(jù)①得到BC=2AF，F(xiàn)G=GD，解析：(1)①見(jiàn)解析；②CG=2EG；(2)見(jiàn)解析；(3)；(4)【分析】(1)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證得AD=CD，再證明△AFG△ADG，即可證明結(jié)論；②根據(jù)①得到BC=2AF，F(xiàn)G=GD，再證明△AFG△BCG，即可得到CG=2EG；(2)先證得四邊形ABEC為正方形，同理得△AFG△AEG和△AFG△BCG，即可得證；(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，證得△AFG△BCG，即可求解；(4)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC=2AD，繼而得到，由△AFG△BCG，即可求解．【詳解】(1)①△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴AD=BD=CD=BC，∠BAD=∠CAD=45°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AF=AD，∠DAF=90°，∴∠GAF=∠GAD=45°，在△AFG和△ADG中，，∴△AFG△ADG，∴AF=AD，∴AF=CD；②CG=2EG，理由如下：由①得：∠GAF=∠B=45°，AF=BC，∴AF∥BC，2AF=BC，∴△AFG△BCG，∴，∴CG=2FG，∵△AFG△ADG，∴FG=DG，即FG=EG，∴CG=2EG；(2)連接EB、EC，∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE=AD，∴DE=AD＝BD=CD，且AE⊥BC，∠BAC=90°，∴四邊形ABEC為正方形，∴BC=AE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AF=AE，∠EAF=90°，∴∠GAF=∠GAE=45°，在△AFG和△AEG中，，∴△AFG△AEG，∴AF=AE=BC，F(xiàn)G=EG，在△AFG和△BCG中，，∴△AFG△BCG，∴FG=CG，∴FG=CG=EG，∴CF=2EG；(3)同理得：FG=EG，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴，即，同理得：△AFG△BCG，∴，∴，∴，∴；(4)同理可得：FG=EG，BC=2AD，AF=AE，∵，∴，同理可得：△AFG△BCG，∴，∴，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（1）①；②；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由詳見(jiàn)解析；（3）或2或．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△BCD≌△BCE（SAS），可得結(jié)論；（2）結(jié)論仍然成立．利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△BCD≌解析：（1）①；②；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由詳見(jiàn)解析；（3）或2或．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△BCD≌△BCE（SAS），可得結(jié)論；（2）結(jié)論仍然成立．利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△BCD≌△BCE（SAS），可得結(jié)論；（3）分三種情形利用等邊三角形的判定和性質(zhì)分別求解即可．【詳解】（1）如圖1中，∵CM平分∠ACB，∠ACB=90°，

∠ACM=∠BCM=45°，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠DCE=90°，CD=CE，

∴∠BCD=∠BCE=45°，在△BCD和△BCE中，，∴△BCD≌△BCE（SAS），

∴BD=BE，

∵CD=CE，

∴BC垂直平分線段DE，

故答案為：BD=BE，BC⊥DE；（2）結(jié)論仍然成立．理由：∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠DCE=，CD=CE，∴，在△BCD和△BCE中，，∴△BCD≌△BCE（SAS），

∴BD=BE，

∵CD=CE，

∴BC垂直平分線段DE，

故BD=BE，BC⊥DE仍然成立；（3）①如圖3（1），當(dāng)時(shí)，∵，，，CD是的平分線，∴△ABC是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，∴AD=AB=1，CD⊥AB，∠ECA=30，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：CE=CF，∠ECF=60，∴△EFC是等邊三角形，∵，∴AF=AE，∠DAE=∠GAF，∴∠DAE+∠EAG=∠GAF+∠EAG=60，∴△AEF是等邊三角形，在Rt△ADE中，，∴EF=AE=；②如圖3（2），當(dāng)時(shí)，由①得：AD=AB=1，CD⊥AB，△EFC是等邊三角形，∵，∴，∠AGF=∠ADE=90，由①得：∠ECA=∠FCA=30，在Rt△ADC和Rt△FGC中，，∴Rt△ADCRt△FGC，∴，∴；③如圖（3），當(dāng)時(shí)，∵，∴，同理可得△EFC是等邊三角形，可求得：∠GFA=30，AG=AD=1，∴，∴；綜上，的長(zhǎng)或2或【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．17．【觀察】①90；②105；【發(fā)現(xiàn)】①50；②y＝，補(bǔ)全圖象見(jiàn)解析；【拓展】0＜x≤12或48≤x≤72【分析】【觀察】①先據(jù)題意求出兩個(gè)機(jī)器人速度的關(guān)系，再確定第二次迎面相遇的位置，然后設(shè)此時(shí)相解析：【觀察】①90；②105；【發(fā)現(xiàn)】①50；②y＝，補(bǔ)全圖象見(jiàn)解析；【拓展】0＜x≤12或48≤x≤72【分析】【觀察】①先據(jù)題意求出兩個(gè)機(jī)器人速度的關(guān)系，再確定第二次迎面相遇的位置，然后設(shè)此時(shí)相遇點(diǎn)距點(diǎn)A為m個(gè)單位，根據(jù)題意列方程即可求出結(jié)果；②仿照①的解題思路和方法解答即可；【發(fā)現(xiàn)】①當(dāng)點(diǎn)第二次相遇地點(diǎn)剛好在點(diǎn)B時(shí)，根據(jù)題意可列方程150﹣x＝2x，解出的x的值即為a的值；②分0＜x≤50與50＜x＜75兩種情況，分別求出正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步即可補(bǔ)全函數(shù)圖象；【拓展】分三種情況畫(huà)出圖形，然后根據(jù)題意得出相應(yīng)的分式方程，解方程即可得出y與x的關(guān)系，進(jìn)而可得關(guān)于x的不等式，解不等式即可得到結(jié)論．【詳解】解：【觀察】①∵相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為30個(gè)單位長(zhǎng)度，∴相遇地點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離為150﹣30＝120個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)機(jī)器人甲的速度為v，則機(jī)器人乙的速度為v＝4v，∴機(jī)器人甲從相遇點(diǎn)到點(diǎn)B所用的時(shí)間為，機(jī)器人乙從相遇地點(diǎn)到點(diǎn)A再返回到點(diǎn)B所用時(shí)間為，而，∴機(jī)器人甲與機(jī)器人乙第二次迎面相遇時(shí)，機(jī)器人乙從第一次相遇地點(diǎn)到點(diǎn)A，返回到點(diǎn)B，再返回向A時(shí)和機(jī)器人甲第二次迎面相遇，設(shè)此時(shí)相遇點(diǎn)距點(diǎn)A為m個(gè)單位，根據(jù)題意得，30+150+150﹣m＝4（m﹣30），解得：m＝90，故答案為：90；②∵相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為35個(gè)單位長(zhǎng)度，∴相遇地點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離為150﹣35＝115個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)機(jī)器人甲的速度為v，則機(jī)器人乙的速度為，∴機(jī)器人乙從相遇點(diǎn)到點(diǎn)A再到點(diǎn)B所用的時(shí)間為，機(jī)器人甲從相遇點(diǎn)到點(diǎn)B所用時(shí)間為，而，∴機(jī)器人甲與機(jī)器人乙第二次迎面相遇時(shí)，機(jī)器人乙從第一次相遇地點(diǎn)到點(diǎn)A，返回到點(diǎn)B，再返回向A時(shí)和機(jī)器人甲第二次迎面相遇，設(shè)此時(shí)相遇點(diǎn)距點(diǎn)A為m個(gè)單位，根據(jù)題意得，35+150+150﹣m＝（m﹣35），解得：m＝105，故答案為：105；【發(fā)現(xiàn)】①當(dāng)?shù)诙蜗嘤龅攸c(diǎn)剛好在點(diǎn)B時(shí)，設(shè)機(jī)器人甲的速度為v，則機(jī)器人乙的速度為，根據(jù)題意知，150﹣x＝2x，∴x＝50，即：a＝50，故答案為：50；②當(dāng)0＜x≤50時(shí)，點(diǎn)P（50，150）在線段OP上，∴線段OP的表達(dá)式為y＝3x，當(dāng)v＜時(shí)，即當(dāng)50＜x＜75，此時(shí)，第二次相遇地點(diǎn)是機(jī)器人甲在到點(diǎn)B返回向點(diǎn)A時(shí)，設(shè)機(jī)器人甲的速度為v，則機(jī)器人乙的速度為，根據(jù)題意知，x+y＝（150﹣x+150﹣y），整理，得y＝﹣3x+300，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝，補(bǔ)全圖象如圖2所示：【拓展】①如圖，由題意知，，∴y＝5x，∵0＜y≤60，∴0＜x≤12；②如圖，∴，∴y＝﹣5x+300，∵0≤y≤60，∴48≤x≤60，③如圖，