[A組·基礎(chǔ)鞏固]熱點(diǎn)一帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界極值問題1.如圖所示，豎直線MN∥PQ，MN與PQ間距離為a，其間存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，O是MN上一點(diǎn)，O處有一粒子源，某時(shí)刻放出大量速率均為v(方向均垂直磁場(chǎng)方向)、比荷一定的帶負(fù)電粒子(粒子重力及粒子間的相互作用力不計(jì))，已知沿圖中與MN成θ＝60°角射出的粒子恰好垂直PQ射出磁場(chǎng)，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為()A.eq\f(πa,3v) B.eq\f(2\r(3)πa,3v)C.eq\f(4πa,3v) D.eq\f(2πa,v)解析：當(dāng)θ＝60°時(shí)，a＝Rsin30°，即R＝2a.設(shè)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)的圓心角為α，則其在磁場(chǎng)中運(yùn)行的時(shí)間為t＝eq\f(α,2π)T，即α越大，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行的時(shí)間越長(zhǎng)，α最大時(shí)粒子的運(yùn)行軌跡恰好與磁場(chǎng)的右邊界相切，因R＝2a，此時(shí)圓心角αm為120°，即最長(zhǎng)運(yùn)行時(shí)間為eq\f(T,3)，而T＝eq\f(2πR,v)＝eq\f(4πa,v)，所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為eq\f(4πa,3v)，C正確．答案：C2.如圖所示，長(zhǎng)方形abcd長(zhǎng)ad＝0.6m，寬ab＝0.3m，O、e分別是ad、bc的中點(diǎn)，以ad為直徑的半圓內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(邊界上無(wú)磁場(chǎng))，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0.25T．一群不計(jì)重力、質(zhì)量m＝3×10－7kg、電荷量q＝＋2×10－3C的帶電粒子以速度v＝5×102mA．從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在Oa邊B．從aO邊射入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在ab邊C．從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在Oa邊和ab邊D．從aO邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在ab邊和bc邊解析：由r＝eq\f(mv,qB)得帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑r＝0.3m，從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在ab和be邊．從aO邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在ab邊和bc邊，選項(xiàng)D正確．答案：D3.(2018·安徽師大附中模擬)如圖所示，在x軸上方存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.在xOy平面內(nèi)，從原點(diǎn)O處沿與x軸正方向成θ角(0＜θ＜π)以速率v發(fā)射一個(gè)帶正電的粒子(重力不計(jì))．則下列說(shuō)法正確的是()A．若v一定，θ越大，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越短B．若v一定，θ越大，則粒子離開磁場(chǎng)的位置距O點(diǎn)越遠(yuǎn)C．若θ一定，v越大，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的角速度越大D．若θ一定，v越大，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越短解析：由左手定則可知，帶正電的粒子向左偏轉(zhuǎn)．若v一定，θ越大，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越短，選項(xiàng)A正確；若v一定，θ等于90°時(shí)，粒子離開磁場(chǎng)的位置距O點(diǎn)最遠(yuǎn)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；若θ一定，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期與v無(wú)關(guān)，由ω＝eq\f(2π,T)可知粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的角速度與v無(wú)關(guān)，選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤．答案：A4.(2018·遼寧沈陽(yáng)模擬)如圖所示，在真空中坐標(biāo)xOy平面的x＞0區(qū)域內(nèi)，有磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝1.0×10－2T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向與xOy平面垂直，在x軸上的P(10,0)點(diǎn)，有一放射源，在xOy平面內(nèi)向各個(gè)方向發(fā)射速率v＝104m/s的帶正電的粒子，粒子的質(zhì)量為m＝1.6×10－25kg，電荷量為q＝1.6×10－18C解析：帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)由牛頓第二定律得：qvB＝meq\f(v2,R)解得：R＝eq\f(mv,qB)＝0.1m＝10cm如圖所示，當(dāng)帶電粒子打到y(tǒng)軸上方向的A點(diǎn)與P連線正好為其圓軌跡的直徑時(shí)，A點(diǎn)即為粒子能打到y(tǒng)軸上方的最高點(diǎn)．因OP＝10cm，AP＝2R＝20cm則OA＝eq\r(AP2－OP2)＝10eq\r(3)cm當(dāng)帶電粒子的圓軌跡正好與y軸下方相切于B點(diǎn)時(shí)，若圓心再向左偏，則粒子就會(huì)從縱軸離開磁場(chǎng)，所以B點(diǎn)即為粒子能打到y(tǒng)軸下方的最低點(diǎn)，易得OB＝R＝10cm，綜上所述，帶電粒子能打到y(tǒng)軸上的范圍為－10～10eq\r(3)cm.答案：－10～10eq\r(3)cm熱點(diǎn)二帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問題5.(多選)如圖所示，直線MN與水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，左下方存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B.一粒子源位于MN上的a點(diǎn)，能水平向右發(fā)射不同速率、質(zhì)量為m(重力不計(jì))、電荷量為q(q＞0)的同種粒子，所有粒子均能通過(guò)MN上的b點(diǎn)，已知ab＝L，則粒子的速度可能是()A.eq\f(\r(3)qBL,6m) B.eq\f(\r(3)qBL,3m)C.eq\f(\r(3)qBL,2m) D.eq\f(\r(3)qBL,m)解析：由題意可知粒子可能的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，所有圓弧的圓心角均為120°，所以粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為r＝eq\f(\r(3),3)·eq\f(L,n)(n＝1,2,3，…)，由洛倫茲力提供向心力得qvB＝meq\f(v2,r)，則v＝eq\f(qBr,m)＝eq\f(\r(3)qBL,3m)·eq\f(1,n)(n＝1,2,3，…)，所以A、B正確．答案：AB6.(多選)如圖所示，垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)以MN為邊界，左側(cè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1，右側(cè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B2，B1＝2B2＝2T，比荷為2×106C/kg的帶正電粒子從O點(diǎn)以v0＝4×104m/s的速度垂直于MN進(jìn)入右側(cè)的磁場(chǎng)區(qū)域，則粒子通過(guò)距離O點(diǎn)4cmA.eq\f(π,2)×10－6s B．π×10－6sC.eq\f(3π,2)×10－6s D．2π×10－6s解析：粒子在右側(cè)磁場(chǎng)B2中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則qv0B2＝meq\f(v\o\al(2,0),R2)解得R2＝eq\f(mv0,qB2)＝2cm故粒子經(jīng)過(guò)半個(gè)圓周恰好到達(dá)P點(diǎn)，軌跡如圖甲所示．則粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1＝eq\f(T2,2)＝eq\f(πm,qB2)＝eq\f(π,2)×10－6s由于B1＝2B2，由上面的求解可知粒子從P點(diǎn)射入左邊的磁場(chǎng)后，做半徑R1＝eq\f(1,2)R2＝1cm的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)兩次周期性運(yùn)動(dòng)可再次經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，軌跡如圖乙所示，則粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2＝T1＋T2＝eq\f(3π,2)×10－6s在以后的運(yùn)動(dòng)中，粒子通過(guò)MN的點(diǎn)會(huì)遠(yuǎn)離P點(diǎn)．所以，粒子通過(guò)距離O點(diǎn)4cm的磁場(chǎng)邊界上的P點(diǎn)所需的時(shí)間為eq\f(π,2)×10－6s或eq\f(3π,2)×10－6s，故A、C正確．答案：AC[B組·能力提升]A.eq\f(qBl,2m) B.eq\f(\r(3)qBl,6m)C.eq\f(\r(3)qBl,4m) D.eq\f(qBl,6m)aC＝eq\f(2\r(3)R,3)，AC＝eq\f(\r(3),3)R，CE＝R－eq\f(\r(3),3)R，則Cc＝2(R－eq\f(\r(3),3)R)則l＝eq\f(2\r(3)R,3)＋2(R－eq\f(\r(3),3)R)，整理可以得到R＝eq\f(l,2)由于qvB＝meq\f(v2,R)，整理得到v＝eq\f(qBl,2m)，故選項(xiàng)A正確．答案：A8．(多選)(2018·浙江溫州中學(xué)模擬)如圖所示，在Ⅰ、Ⅱ兩個(gè)區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度均為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向分別垂直于紙面向外和向里，AD、AC邊界的夾角∠DAC＝30°，邊界AC與邊界MN平行，Ⅱ區(qū)域?qū)挾葹閐.質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子可在邊界AD上的不同點(diǎn)射入，入射速度垂直AD且垂直磁場(chǎng)，若入射速度大小為eq\f(qBd,m)，不計(jì)粒子重力，則()A．粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑為eq\f(d,2)B．粒子距A點(diǎn)0.5d處射入，不會(huì)進(jìn)入Ⅱ區(qū)C．粒子距A點(diǎn)1.5d處射入，在Ⅰ區(qū)內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為eq\f(πm,qB)D．能夠進(jìn)入Ⅱ區(qū)域的粒子，在Ⅱ區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為eq\f(πm,3qB)解析：粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有qvB＝meq\f(v2,r)，其中：v＝eq\f(qBd,m)，解得：r＝d，故A錯(cuò)誤；畫出恰好不進(jìn)入Ⅱ區(qū)的臨界軌跡，如圖所示．結(jié)合幾何關(guān)系，有AO＝eq\f(r,sin30°)＝2r＝2d，故從距A點(diǎn)0.5d處射入，會(huì)進(jìn)入Ⅱ區(qū)，故B錯(cuò)誤；粒子距A點(diǎn)1.5d處射入，在Ⅰ區(qū)內(nèi)運(yùn)動(dòng)的軌跡為半個(gè)圓周，故時(shí)間為：t＝eq\f(T,2)＝eq\f(πm,qB)，故C正確；從A點(diǎn)進(jìn)入的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡最短(弦長(zhǎng)也最短)，時(shí)間最短，軌跡如圖所示．軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為60°，故時(shí)間為t＝eq\f(T,6)＝eq\f(πm,3qB)，故D正確．答案：CD9.如圖所示，直徑分別為D和2D的同心圓處于同一豎直面內(nèi)，O為圓心，GH為大圓的水平直徑．兩圓之間的環(huán)形區(qū)域(Ⅰ區(qū))和小圓內(nèi)部(Ⅱ區(qū))均存在垂直圓面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．間距為d的兩平行金屬極板間有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，上極板開有一小孔．一質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子由小孔下方eq\f(d,2)處?kù)o止釋放，加速后粒子以豎直向上的速度v射出電場(chǎng)，由H點(diǎn)緊靠大圓內(nèi)側(cè)射入磁場(chǎng)．不計(jì)粒子的重力．(1)求極板間電場(chǎng)強(qiáng)度的大小；(2)若粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與小圓相切，求Ⅰ區(qū)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．解析：(1)設(shè)極板間電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E，對(duì)粒子在電場(chǎng)中的加速運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理得qE·eq\f(d,2)＝eq\f(1,2)mv2①由①式得E＝eq\f(mv2,qd)②(2)設(shè)Ⅰ區(qū)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由牛頓第二定律得qvB＝meq\f(v2,R)③如圖所示，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與小圓相切有兩種情況．若粒子軌跡與小圓外切，由幾何關(guān)系得R＝eq\f(D,4)④聯(lián)立③④式得B＝eq\f(4mv,qD)⑤若粒子軌跡與小圓內(nèi)切，由幾何關(guān)系得R＝eq\f(3D,4)⑥聯(lián)立③⑥式得B＝eq\f(4mv,3qD)⑦10.如圖所示，ABCD為邊長(zhǎng)為2a的正方形，O為正方形中心，正方形區(qū)域左、右兩對(duì)稱部分中分別存在方向垂直ABCD平面向里和向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從B點(diǎn)處以速度v垂直磁場(chǎng)方向射入左側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域，速度方向與BC邊夾角為15°，粒子恰好經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，已知cos15°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，粒子重力不計(jì)．(1)求左側(cè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大?。?2)若粒子從CD邊射出，求右側(cè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的取值范圍．解析：(1)粒子從B點(diǎn)射入左側(cè)磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示，△BO1O為等邊三角形，由幾何關(guān)系可得軌跡半徑r1＝eq\r(2)a，粒子在左側(cè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，有qvB1＝eq\f(mv2,r1)，得B1＝eq\f(\r(2)mv,2qa).(2)當(dāng)右側(cè)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B2＝B1時(shí)，粒子從D點(diǎn)射出，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙所示，這是粒子從CD邊射出的最小磁感應(yīng)強(qiáng)度，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度增大時(shí)，粒子在右側(cè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑減小，當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡與CD邊相切時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度最大，軌跡如圖丙所示．由幾何關(guān)系可知r2＋r2cos15°