考點(diǎn)18導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用8種常見考法歸類”考點(diǎn)通關(guān)】

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪題型歸納與解題策略（新高考地區(qū)專用）考點(diǎn)

18導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用8種常見考法歸類

瞽高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)

考點(diǎn)二證明不等式

（一）作差函數(shù)證明不等式

（二）構(gòu)造雙函數(shù)證明不等式

（三）適當(dāng)放縮法證明不等式

（四）利用結(jié)論證明不等式

（五）利用隱零點(diǎn)證明不等式

（六）與數(shù)列有關(guān)的不等式證明

考點(diǎn)三恒（能）成立問題

（一）分離參數(shù)法

（二）分類討論法

（三）同構(gòu)法

（四）隱零點(diǎn)法

考點(diǎn)四討論零點(diǎn)個數(shù)

考點(diǎn)五根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍

考點(diǎn)六與零點(diǎn)有關(guān)的不等式問題

（一）比值代換

（二）消參減元法

（三）構(gòu)造關(guān)聯(lián)（對稱）函數(shù)

考點(diǎn)七利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題

考點(diǎn)八導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題

受"二解題策略

1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)圖象的識別主要利用函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性以及函數(shù)值的符號等.解決此類問題應(yīng)

先觀察選項(xiàng)的不同之處，然后根據(jù)不同之處研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)而得到正確的選項(xiàng).如該題中函數(shù)解析

式雖然比較復(fù)雜，但借助函數(shù)的定義域與函數(shù)的單調(diào)性很容易利用排除法得到正確選項(xiàng).2.利用導(dǎo)數(shù)證明

不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題一般要用到構(gòu)造法，構(gòu)造法是指在證明與函數(shù)有關(guān)的不等式時，根據(jù)所要證

明的不等式，構(gòu)造與之相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性、極值、最值加以證明.常見的構(gòu)造方法有：

⑴直接構(gòu)造法：證明不等式/(x)>g(x)(/(x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明八')—g(x)>O(/(x)—g(x)<0),進(jìn)而構(gòu)造輔助

函數(shù)力(x)=/(x)—8(x),然后利用A(x)的最值證明不等式；

注：作差構(gòu)造法：待證不等式的兩邊含有相同的變量時，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”或“右減

左”的函數(shù)，通過研究其單調(diào)性等相關(guān)函數(shù)性質(zhì)證明不等式.

利用構(gòu)造差函數(shù)證明不等式的基本步驟：①作差或變形；②構(gòu)造新的函數(shù)g(x);③利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)

的單調(diào)性或最值；④根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式.

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已如條件適當(dāng)放縮，二是利用常見的放縮結(jié)論，導(dǎo)數(shù)方法證明不等式中，

最常見的是F和Inx與其他代數(shù)式結(jié)合的問題，對于這類問題，可以考慮先對廿和Inx進(jìn)行放縮，使問題

簡化，簡化后再構(gòu)建函數(shù)進(jìn)行證明.如In.vSv—1,el>v+l,Inx^^eX-vX)),<ln(x+1)<x(x>—1);

x+1

(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)：稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化

為左、右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的形式，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)；

(4)構(gòu)造雙函數(shù)：若直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)難以判斷符號，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)也不易求得，函數(shù)單調(diào)性與極值點(diǎn)都

不易獲得，則可構(gòu)造函數(shù)兒丫)和第x),利用其最值求解.在證明過程中，“隔離”轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，將不等式

不等號兩端分別“隔離”出兩個函數(shù)式凡0,g(X),使/(X)nMn>q(X)ma\恒成立，從而/(X)>8(X),但/(X)與g(X)

取到最值的條件不是同一個“x的值”；若不能直接轉(zhuǎn)化為最值問題的不等式證明可將不等式的某一部分

“隔離”開，單獨(dú)進(jìn)行研究，然后再納入整體進(jìn)行論證.

(5)利用“隱零點(diǎn)”證明不等式：關(guān)鍵在于“設(shè)而不求”及“等量代換”：常見的有不含參和含參兩種類型：

①不含參函數(shù)的隱霧點(diǎn)問題：已知不含參函數(shù)人")，導(dǎo)函數(shù)方程/住)=0的根存在，卻無法求出，設(shè)方程/(")

■0的根為M),則⑺有關(guān)系式八xo)-O成立；(萬)注意確定xo的合適范圍.②含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問題：已知

含參函數(shù)/(X,。)，其中。為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程，(X,。)=0的根存在，卻無法求出，設(shè)方程/(X,4)=0的

根為XO,則⑺有關(guān)系式/(XO,〃)?0成立，該關(guān)系式給出了XO,〃的關(guān)系；(")注意確定XO的合適范圍，往

往和〃的取值范圍有關(guān).

3.對于函數(shù)/?=<?在、=0處的泰勒展開式如下:

類似的，常用泰勒展開式擬合的不等式還有:

,~+...=ln(x+l)<v；

+...=>sin.Y<r；

3!5!(2M-1)!

WPA/*

cos.v=1----+---------+...+(-1)"?+...=^COSX>1--X2.

2!4!6!(2n)!2

4.由e=:+1演繹出的一些常見不等結(jié)構(gòu):

nft*I

5.與不等式恒成立、有解、無解等問題有關(guān)的參數(shù)范圍問題

（1）利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立或有解問題的主要策略：①構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值，進(jìn)而求

出參數(shù)的取值范圍；②分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.有些不易分參的也可采

用''同構(gòu)〃技巧.

（2）若加吠刈對XEO恒成立，則只需〃Mx）max；若”<式￥）對XWD恒成立，則只需"Ax）min：若存在

Xo^D.使〃》（Xo）成立.則只需若存在XoWO.使〃<y（X0）成立.則只需由此構(gòu)造不

等式，求解參數(shù)的取值范圍.（3）分離參數(shù)法

利用分離參數(shù)法確定不等式“X,a，0（x￡O,2為參數(shù)）恒成立問題中參數(shù)范圍的步驟：

①將參數(shù)與變量分離，化為力G.）以（X）或力。.）《啟刈的形式；

②求力（戈）在x￡O時的最大值或最小值；

③解不等式力八或力⑷W%(X)min,得到人的取值范囹.

6.與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍向題

(1)方程/(x)=0有實(shí)根U函數(shù)y=/(x)的圖象與無軸有交點(diǎn)U函數(shù)？=/*)有零點(diǎn).

(2)求極值的步驟：

①先求/(x)=0的根%(定義域內(nèi)的或者定義域端點(diǎn)的根舍去)；

②分析/兩側(cè)導(dǎo)數(shù)/(x)的符號：若左側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)右側(cè)導(dǎo)數(shù)正，則%為極小值點(diǎn)；若左側(cè)導(dǎo)數(shù)正右側(cè)導(dǎo)

數(shù)負(fù)，則為極大值點(diǎn).

(3)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值是統(tǒng)一的，極值是函數(shù)的拐點(diǎn)，也是單調(diào)區(qū)間的劃分點(diǎn)，而求函

數(shù)的最值是在求極值的基礎(chǔ)上，通過判斷函數(shù)的大致圖象，從而得到最值，大前提是要考慮函數(shù)的定義域.

(4)函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)就是/'(、)=()的根，所以可通過解方程得零點(diǎn)，或者通過變形轉(zhuǎn)化為兩個

熟悉函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo).

(5)含參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)，可轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)，若能分離參數(shù)，可將參數(shù)分離出來后，用x表

示參數(shù)的函數(shù)，作出該函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征求參數(shù)的范圍.由于利用零點(diǎn)存在定理時，一般不使用

極限語言，故常常需要“取點(diǎn)”，可借助1g-1等結(jié)構(gòu)放縮，必要時可構(gòu)造函數(shù)證明所取點(diǎn)的符

號.

(6)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的基本方法：①利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求

解；②分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解；③轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從

而構(gòu)建不等式求解.

7.與不零點(diǎn)有關(guān)的不等式問題

(1)證明雙變量不等式的基本思路：首先進(jìn)行變量的轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙變量所滿足的

關(guān)系式，或者通過比值代換(令’=力，利用關(guān)系式將其中一個變量用另一個變量表示，代人要證明的不等

式，化簡后根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值，并把最值應(yīng)用到

所證不等式.

(2)消參減元的主要目的是減元，進(jìn)而建立與所求解問題相關(guān)的函數(shù).消參減元法，主要是利用導(dǎo)數(shù)

把函數(shù)的極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，進(jìn)而建立參數(shù)與極值點(diǎn)之間的關(guān)系，消去參數(shù)或減少變元，從而簡

化目標(biāo)函數(shù).其解題要點(diǎn)如下.

①建方程：求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令/(x)=0,建立極值點(diǎn)所滿足的方程，抓住導(dǎo)函數(shù)中的關(guān)鍵——導(dǎo)函數(shù)

解析式中變號的部分(一般為一個二次整式)；

②定關(guān)系：即根據(jù)極值點(diǎn)所滿足的方程，利用方程解的知識，建立極值點(diǎn)與方程系數(shù)之間的關(guān)系；

③消參減元：即根據(jù)兩個極值點(diǎn)之間的關(guān)系，利用和差或積商等運(yùn)算，化簡或轉(zhuǎn)化所求解問題，消掉

參數(shù)或減少變量的個數(shù)；

④構(gòu)造函數(shù)：即根據(jù)消參減元后的式子的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)；

⑤求解問題：即利用導(dǎo)數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等，解決相關(guān)問題.

(3)極值點(diǎn)偏移問題，除了前述方法外，也常通過構(gòu)造關(guān)聯(lián)(對稱)函數(shù)求解，常見步兼如下：①構(gòu)造

奇函數(shù)Fa)?Hxo-x)-Wxo+x)；②對F(x)求導(dǎo)，判斷F3的符號，確定F(x)的單調(diào)性；③結(jié)合F(0)-0,

得到f(xo-x)>f(xo+x)(或/(-Vo-X)勺(X0+.V))；④由/(-VI)=J1X2)=/(Xo-(.Vo-X2))>(或+-X2))=/(lVo

-X2)得(或vy(2xo-X2)；⑤結(jié)合/(x)的單調(diào)性，得Xi>(或v)2xo-X2,得；Vl+X2>(或v)2xo.其中也可考慮

構(gòu)造F(x)=/U)-/(2xo-、)等，具體視已知條件“執(zhí)果索因”.

8.解析式中含有/,lnx的兩個模型

(1)含有，的函數(shù)模型常用的構(gòu)造方法如下，

①直接利用原函數(shù)，有時也可分為兩個初等函數(shù)模型；②構(gòu)造成“常數(shù)+因式型，求導(dǎo)后的運(yùn)算不

易受，的干擾；③分離參數(shù)法構(gòu)造函數(shù)模型，沒有參數(shù)，避免了分類討論，但是有時函數(shù)較復(fù)雜需多次求

導(dǎo).

(2)含有Inx的函數(shù)模型“獨(dú)立與不獨(dú)立“法

消掉x使Inx的系數(shù)為常數(shù)，即“獨(dú)立Fnx,可一次求導(dǎo)解決單調(diào)性問題；當(dāng)Inx的系數(shù)不能消掉時，

即Inx"不獨(dú)立”，需兩次求導(dǎo)，才能依次推導(dǎo)出單調(diào)性、零點(diǎn)、極值點(diǎn)等問題.

考點(diǎn)精析

考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1.(2023?安徽蕪湖?統(tǒng)考模擬預(yù)測)函數(shù)/(、)=■!2H二立1在區(qū)間(r,O)U(O㈤的圖像大致為()

sinx

A.B.

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))己知函數(shù)/(X)=［-X2-3X,若存在三個不相等的實(shí)數(shù)a,b,c,使得

/(?)=/(/>)=/(c)成立，則。加的取值范圍是.

3.(2023春?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(、)=。卜21)-￥，若不等式/(1)<0有且僅有I

個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為—

x+3,x<0

4.12023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(工)=,若關(guān)于x的方程［/(⑼1+“卜)-1=0有3個

—,x>0

不同的實(shí)數(shù)根，則。的取值范圍為.

■■,?

考點(diǎn)二證明不等式

(一)作差構(gòu)造函數(shù)證明不等式

5.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=xcosx,g(x)=asinx.

(1)若a=l,證明：當(dāng)XG(0,5)時x>g(x)>/(x)：

(2)當(dāng)xe(-時，TJ，求a的取值范圍.

6.(2023春?河南開封?高三統(tǒng)考期中)已知函數(shù)/(x)=x(lnx-a),aeR

(1)若函數(shù)f(x)在［1,4］上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;

(2)若a>0,求證：/(-v)<x(x-2-Ina).

7.(2023春?吉林延邊?高三延邊第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=5X、2alnx+("2)x

(1)當(dāng)a=—1,且xe(l,4)時，證明：/(、)>—3：

⑵是否存在實(shí)數(shù)小使函數(shù)g(x)=./。)-辦在(0,+。)上單調(diào)遞增?若存在，求出”的取值范圍；不存在，

說明理由.

8.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/。)=岑，8&卜告-色，曲線y=/(x)與曲線y=g(x)在x=l

處的切線互相平行.

<1)求。的值：

⑵求證：/(x)〉g(x)在(0,+8)上恒成立.

(二)構(gòu)造雙函數(shù)證明不等式

9.(2023秋?黑龍江大慶?高三鐵人中學(xué)?？计谀?已知/(力=/-xlnx.

(1)求曲線J=/(x)在(1J⑴)處的切線方程;

(2)當(dāng)〃e(0.2c)時，證明:2./-(2x+a)lnx>0.

10.(2023春?四川成都?高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)

f(x)=^ax2+(2a-\)x-2\nx.

⑴當(dāng)〃=1時，求在點(diǎn)(2,/(2))處的切線方程；

(2)。>0時,求證:/(x"4-5.

11.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=(x2_2x.+〃ex-/mi,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，曲線

y=〃x)在(2,/(2))處切線的傾斜角的正切值為+

(I)求。的值：

(2)證明：/卜)>0.

(三)適當(dāng)放縮法證明不等式

12.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)/a)=ln(x+r)+2,其中/,a,為實(shí)常數(shù)

X

(1)若CO時,討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性:

⑵若g")=e'+2,當(dāng)Y2時，證明:g(x)>/(x).

13.(2023春?四川綿陽?高三四川省綿陽南山中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)/(x)=lnx+(a-l)x+a+l(a€R).

(1)討論函數(shù)/(x)的極值情況：

(2)證明：當(dāng)時，er-/(.v)>0.

14.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x-W，g(x)=-r-//LV+2(/H€R).

(1)求函數(shù)/(x)的極值：

(2)證明：當(dāng)初之(時，/(x)>g(x)在(0,+8)上恒成立.

(四)利用結(jié)論證明不等式

15.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e'7-1.

(1)證明：/(-v)>0；

(2)當(dāng)m￡l時，證明不等式e、-〃n+cosx-220，在xe[0,”).上恒成立.

16.(2023春?吉林長春?高三長春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx,g(')=胃.

⑴求證：*x)=/(x)-g(x)在區(qū)間(。,+3)上單調(diào)遞增：

(2)求證：，-I)lnx2.

17.(2023?陜西寶雞?寶雞中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=——.

X-+.￥+1

⑴若Wx>0都有/(X)2zwsinyA-,求正數(shù)機(jī)的最大值；

InY

(2)求證：

e

(五)利用隱零點(diǎn)證明不等式

18.(2023春廣東深圳?高三紅嶺中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)/(x)=e*-lnx,其中ea2.71828.

⑴求曲線y=/(x)在(1J⑴)處的切線方程；

(2)證明：/㈤咤34.

19.(2023春,山東日照?高三校聯(lián)考期中)設(shè)函數(shù)/(.*)=*+a1門.

(1)討論/(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)零點(diǎn)的個數(shù)；

(2)證明：當(dāng)a<0時，f(x)>a\n^-^\-2a.

20.(2023春?四川成都?高三成都外國語學(xué)校?？计谥?已知/(》)=寸2+端=1門.

(1)若/心)=/(x)/+lnx,且刀(x)>x對任意XGR~恒成立，求。的范圍：

(2)當(dāng)。>0時，求證：

21.(2023?河北保定?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=sinx-aln(x+l).

(1)當(dāng)a=l時，證明：當(dāng)時，/(-v)^0；

(2)當(dāng)xw[0H時，/(x”2c12恒成立，求。的取值范圍.

(六)與數(shù)列有關(guān)的不等式證明

22.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知/(x)=(x+l)ln(x+l).

⑴求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=2x-S/(x),若關(guān)于x的方程g(x)=a有解，求實(shí)數(shù)。的最小值：

(3)證明不等式：++；+；+…N)

23.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=xe'-為e',g(x)=-2-axtaeR.

⑴求/(力在上的單調(diào)區(qū)間：

(2)若在y軸右側(cè)，函數(shù)/(1)圖象恒不在函數(shù)g(x)的圖象下方，求實(shí)數(shù)。的取值范圍：

(3)證明：當(dāng)〃eN'時，l+g+；+…+：<ln(2〃+l).

24.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ln(l+x),g(x)=av+x.

(1)當(dāng)x>-l時,/(x)<g(x),求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

(2)已知〃eN*,證明：sin—!—+sin——+---+sin—<In2.

〃+1〃+22n

25.(2023?四川自貢?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)f(x)=(x-2)e*+x+2(e為自然對數(shù)底數(shù)).

(I)判斷X￡[0M)，/⑺的單調(diào)性并說明理由；

(2)證明：MV/ZGN'?In7?+1>-+-+■??+—!—.

352/1+1

■■■■■■■OB0.

考點(diǎn)三恒(能)成立問題

(一)分離參數(shù)法

26.(2023秋?北京?高三北京交通大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ox-lnx,若/(x)>l在區(qū)

間(1，+8)內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)〃的范圍為

27.(2023秋?江西?高三校聯(lián)考期中)己知函數(shù)/(x)=《-〃?x(e為自然對數(shù)的底數(shù))，若/。)〉。在(0,內(nèi))上

X

恒成立，則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是()

A.(f,2)B.(一s,e)C.匚,田]D.1―二

I4)k4

28.(2023?河南開封?統(tǒng)考二模)己知函數(shù)/(*)=工+5而工一2m(4771—工)+1，若/(ax-e'+l)>l在xe(0,x)

上有解，則實(shí)數(shù)”的取值范圍為(;

A.U.-KO)B.3,1)C.(e,*o)D.(1,(?)

29.(2023春?廣東江門?高三臺山市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))己知函數(shù)/(x)=e，+加-工

(1)當(dāng)a=l時，討論f<x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)於0時，f(x)求。的取值范圍.

(二)分類討論法

30.(2023春?吉林長春?高三東北師大附中?？计谥?已知函數(shù)/(xbalnx—eeR).

(l)Vxe[l,+oo),/(力之一1恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

(2)若存在兩個不等正實(shí)數(shù)為，x2,fM=f(x2),且不+工2=2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

31.(2023春,安徽安慶,高三?？茧A段練習(xí))當(dāng)xe[—2,l]時，不等式ad+4x+3之0恒成立，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是

9

A.[-5,-3]B.[-6,--]C.[-6,-2]D.[-4,-3]

O

32.(2023?陜西榆林?陜西省神木中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=rlnx-《+ar,aw/?.

x

(1)當(dāng)a<0時，討論/(幻的單調(diào)性;

(2)設(shè)g(x)=/(x)+.琰(X),若關(guān)于.:的不等式g(x)-+]■+("-1"在口，2]上有解，求。的取值范圍.

33.(2023?廣西?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=lnx-a(x+l),ae/?,在(1，/⑴)處的切線與x軸平行.

(1)求/(力的單調(diào)區(qū)間:

(2)若存在%>1,當(dāng)xw(l,x°)時，/(工)一5+21+；>〃卜一1)恒成立，求左的取值范圍.

34.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知。為自然對數(shù)的底數(shù)，。為常數(shù)，函數(shù)/(x)=e"-2工.

⑴求函數(shù)〃x)的極值；

(2)若在N軸的右側(cè)函數(shù)/(x)的圖象總在函數(shù)歹=ad+l的圖象上方，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

(三)同構(gòu)法

35.(2023?全;國?高二專題練習(xí))若不等式4(/-./+彳>2111*-1114恒成立，則a的取值范圍為.

36.(2023春?湖南長沙?高三長沙麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥?己知函數(shù)/(力=的"-hu,對任意的x>l,

/(x”0恒成立，則。的取值范圍是.

37.(2023?全國?高三專題練習(xí))若小一卜/一1)》一111工一111"20,則實(shí)數(shù)4的最大值為.

38.(2023?遼寧?大連二十四中校聯(lián)考三模)關(guān)于x的不等式熱2川_1曲+工+1+21皿20在(。，+8)上恒成立,

則。的最小值是.

(四)隱零點(diǎn)法

39.(2023春?山東淄博?高三山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/(x)=xe'+x,g(x)=2x+lnx+〃?.

⑴求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x)2g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)小的取值范用.

40.(2023春?山東濟(jì)南?高三統(tǒng)考期中)已知函數(shù)/(x)=x(lnx+l)-ae”-xlnd若對任意兩個不相等的正

實(shí)數(shù)小與，都有‘(芭)-，("<2,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

■■■?MB■>■-SB-IBSB??SB?IB

考點(diǎn)四討論零點(diǎn)個數(shù)

■■■

41.(2023春?重慶九龍坡?高三統(tǒng)考期末)設(shè)函數(shù)/(x)=；x-lnx(x>0),則y=/(x)()

A.在區(qū)間(51),(Le)內(nèi)均有零點(diǎn)

B.在區(qū)間(%1),(Lc)內(nèi)均無零點(diǎn)

C.在區(qū)間(土1)內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(Le)內(nèi)無零點(diǎn)

D.在區(qū)間(：1)內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(Lc)內(nèi)有零點(diǎn)

42.(2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=e'-avsinx-x-l,aeR.

⑴若〃=；，證明：當(dāng)x?O,y)時，/(x)>0;

(2)討論函數(shù)/(x)在(0,兀)上零點(diǎn)個數(shù).

43.(2023?浙江紹興?統(tǒng)考二模)設(shè)函數(shù)/(x)=ln(x+l)-gad,g(x)=gad_axe"其中aeR.

⑴當(dāng)。=g時，求函數(shù)/(x)的值域；

(2)設(shè)尸(x)=/(x)+g(x),當(dāng)0<。<1時,

①證明：函數(shù)/口)恰有兩個零點(diǎn)；

②若為函數(shù)U卜)的極值點(diǎn)，陽為函數(shù)尸(X)的零點(diǎn)，且內(nèi)>戈0,證明：2x0>.r,.

44.(河南省安陽市2023屆高三三模文科數(shù)學(xué)試題)己知函數(shù)/(x)=x(lnx-”)+l(aeR).

⑴證明：曲線N=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)：

(2)若〃>1,證明：/(⑼有兩個零點(diǎn)一

45.(2023秋?河南濮陽?高三濮陽南樂一高?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=lnx-x+2sinx.

(1)證明：/(x)在區(qū)間存在唯一的極值點(diǎn)；

(2)試討論/(燈的零點(diǎn)個數(shù).

46.(2023?河南?校聯(lián)考三模)已知函數(shù)/(力=廿-41氏.4.

⑴判斷/(X)的導(dǎo)函數(shù)在(1，+8)上零點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由；

(2)證明：當(dāng)xe(l,+8)時，e'-4xlav-i>0.

注：0.69<ln2<0.7.

■■■>■■?SBIB?

考點(diǎn)五根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍

■,,WW?WW,WWWWWWWW?WWWWW,wWWMMV,,WWWWWWWW,MMVWWW

47.(2023春?河北?高三校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/(x)=xlnx-x-aM€R；

(1)若/(x)無零點(diǎn)，求a的取值范圍:

(2)若/。)有兩個相異零點(diǎn)不當(dāng),證明:2<1.

48.(2023?安徽六安?六安一中?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=；a/+cosx-l(ae/?),若函數(shù)/(x)有

唯一零點(diǎn)，則a的取值范圍為()

A.(一8,0)B.(-co,0)U[l,+cc)

C.(-<O,0]^[1,-KC)D.(-oo,-l]U[l,+oo)

49.（2023秋?黑龍江雞西?高三雞西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/3）=。/-3./+1,若/（X）存在唯

一的零點(diǎn)工，且3>0.則。的取值范圍是

50.（2023?河北唐山?統(tǒng)考一模）已知。>0,函數(shù)/"）=2?，-3（。2+1）/+6於-2.

（1）討論J"）的電調(diào)性：

（2）若/（x）在R上僅有一個零點(diǎn)，求。的取值范圍.

51.（2023春?山東聊城?高三統(tǒng)考期末）己知函數(shù)/（幻=（1-2）/-4―1）2,aeR.

（1）討論/（x）的單調(diào)性：

（2）若/（》）有兩個零點(diǎn)，求”的取值范圍.

52.（2023秋?山西陽泉?高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/V）=左=及）一

X

（1）討論/（X）的單調(diào)性；

（2）設(shè)g（x）="-sinx,若Mx）=g3（/（x）-2x）且y=/?（x）有兩個零點(diǎn)，求。的取值范圍.

53.（2023春,四川宜賓?高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/3=，-41+1”,—恰有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍為（）

54.（2023秋?山東濟(jì)南?高三濟(jì)南市歷城第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=Jlnx+D|,aeR.

（1）求/（x）的極值；

（2）若方程2/（x）-lnx+x+2=0有三個解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

55.（2023春?浙江寧波,高三寧波市北侖中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)/（k=--ax-|ax-2|,（〃>0）.

（I）若”（0,2）,解不等式/（幻<0；

（II）設(shè)知是函數(shù)夕=/（*）+1的四個不同的零點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)〃，使得其三個零點(diǎn)成等差數(shù)列？

若存在，求出所有。的值：若不存在，說明理由.

56.（2023秋?江西撫州?高三臨川一中階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=3+4]nx-x-a在區(qū)間（0,2）上至少有一個

X

零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A.<0,2)B.[2,4ln3-2|C.(2,4ln2--)D.[2,+cc)

■,■

考點(diǎn)六與零點(diǎn)有關(guān)的不等式問題

■■■WWWWW,WW?WWWWW*W?WW?WWWWWW*WWWWW

(一)比值代換

57.(2023?廣東?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/。)=。'-°(川詈)(。是自然對數(shù)的底數(shù))有兩個零點(diǎn).

(I)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若/(入)的兩個零點(diǎn)分別為勺，4，證明：用公>/"廠’.

58.(2023春?河北?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=Hnx-；/

(1)討論/⑺的單調(diào)性.

(2)若/。)存在兩個零點(diǎn)3兩,且曲線y=/(x)在(和0)和仇,0)處的切線交于點(diǎn)(/,%).

①求實(shí)數(shù)a的取值范圍：

②證明；為+r2>2%.

59.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(幻=(2.?1)。2'-+4-1在區(qū)間(0,+<?)上有兩個極值點(diǎn)*4?

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍：

112

⑵證明：聲+聲>]

60.(2023?云南曲靖?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(力=。/-》班+1(。€1<)/(')是/3的導(dǎo)函數(shù).

⑴求函數(shù)y=r(x)的極值：

(2)若函數(shù)/(x)有兩個不同的零點(diǎn)小七，證明：x也>2。2.

61.(2023?廣西?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=；(lnx+l)

(1)當(dāng)a=l時，求曲線N=/(x)在點(diǎn)(L/⑴)處的切線方程；

(2)若占，為是方程/(x)=F的兩個不等實(shí)根，且為>2%,證明：x；+x；>手.

e

(二)消參減元法

62.(2023?全國?高三專題練習(xí))已矢「函數(shù)/(x)=以-3/一川內(nèi).

(I)討論函數(shù)/(》)的單調(diào)性：

(2)設(shè)函數(shù)/(x)有兩個極值點(diǎn)3，再<*2)，證明：/(xj+/(xj<7+e-lnx-lnx2.

63.(2023春?四川成都?高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/(1)=1-(。+1)心-巴.

X

⑴討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性：

(2)若不S是函數(shù)/(X)的兩個不同極值點(diǎn)，且滿足：陽<々/2>1，求證：/(/二/』)<3+”.

Xl~X2

64.(2023秋,山西?高三校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(x)=aln(x+2)+5-2x,其中。為非零實(shí)數(shù).

(1)討論/(x)的單調(diào)性;

(2)若/(X)有兩個極值點(diǎn)X"2,且西<工2，證明：/(-$)+/(/)>2』.

(三)構(gòu)造關(guān)聯(lián)(對稱)函數(shù)

65.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(X)=x-\-aex.

(1)討論/*)的單調(diào)性；

(2)若/⑶有兩個零點(diǎn)內(nèi),與，旦王<與，證明：芭+2八<1+'.

e

66.(2023?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=，d1nx-。為實(shí)數(shù).

(1)求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間：

(2)若函數(shù)"X)在X=e處取得極值，r(x)是函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)，且八%)=/5),x,<x2,證明：

2<A]+x2<e

67.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/3='+lnx-2ax,4為常數(shù)，旦。>0.

⑴判斷/(x)的單調(diào)性：

⑵當(dāng)0<“<1時，如果存在兩個不同的正實(shí)數(shù)“，〃且/W)+/(〃)=l-4a,證明：,n+n>2.

■■■>■■

考點(diǎn)七利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題

■■,WWwwwwww■wwwwwwwwwwwwwww?wwwwwwwwwwww.

68.(2023春?四川成都?高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/(x)=E(x+l),g(x)=c'〃x).

(1)求函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)在(0,+8)上的單調(diào)性：

(2)證明:，0，bw(0,+8),有g(shù)(q+b)>g(a)+g(，>).

69.12023?全國?高三專題練習(xí))已知/(x)=xc'，g(x)=-(x+lY+a,若存在方，x2eR,使得/伍卜8。])

成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

4〃

70.(2023秋?山東濟(jì)寧?高三校考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x+『？(力=皆7+工，若女小萬」，

3x2e[2,3],使得/6)“(/)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是—.

71.(2023春?黑龍江哈爾濱?高三?？茧A段練習(xí))已知/(x)=lnx-；+》83——9+牝若對D”(O,2],

加使得/(%)〃&)成立，則a的取值范圍是.

72.(2023?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/*)=2x+(1-2a)inx+-.

X

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)如果方程〃x)=，”有兩個不相等的解中與，且%<%,證明：/(當(dāng)")>0.

73.(2023?湖北?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=；x2+lnx+nx,(mwR).

(I)若/(x)存在兩個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)〃;的取值范圍：

(2)若王，々為/(力的兩個極值點(diǎn)，證明：/(-?)；/-)_/(空■>與殳.

74.(2023?江蘇?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx-g(ax-T).

(1)若”=1,證明：當(dāng)0<x<l時，/(x)>0；當(dāng)戈>1時，f(x)<0.

(2)若〃x)存在兩個極值點(diǎn)小巧，證明：/(“)-/(工)<?

75.(2023秋?重慶巴南?高三重慶市清華中學(xué)校?？茧A段練習(xí)汨知函/(X)=%--2xlnx+(2-a)x(aeR

有兩個極值點(diǎn)玉，A-

(1)求。的取值范圍：

(2)當(dāng)Ovacjy時，證明：層-”>五一1.

76.(2023?海南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)己知函數(shù)〃x)=x-2lnx-(+“出方wR)在(0,+司上單調(diào)遞增.

(1)求”的取值范圍；

(2)若存在正數(shù)演，再(x尸當(dāng))滿足/'(演)=/'(12)=〃(/")為/(x)的導(dǎo)函數(shù))，求證:/(4)+/(4)>0.

?■■■?■?■■??■?■■MM

考點(diǎn)八導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題

77.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(》)=一/-31，其中QHO.

(1)若/(x)有兩個零點(diǎn)，求〃的取值范惘：

⑵若/(x)2〃(l-2sinx),求。的取值范圍.

78.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/1(x)=ax-'-lnx,g(x)=瞅-45e/?).

X

(I)若a=0,求函數(shù)/(x)在g，e'；(e為自然對數(shù)的底數(shù))上的零點(diǎn)個數(shù)：

(2)若方程〃x)=g(x)恰有一個實(shí)根，求。的取值集合；

(3)若方程〃x)=g(x)有兩個不同的實(shí)根不，X;(A,<X2),求證：2<8+電〈女I-1.

79.(2023?云南?高三校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/(.r)=—(x>0)在點(diǎn)(L/⑴)處的切線方程與x軸平行.

x+a

(1)求函數(shù)/(x)的極值:

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)-*有兩個不同的零點(diǎn)怎，巧.

①求％的取值范圍；

②證明：中2<1.

80.(2023?浙江?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(x-2)e'+a'-/).

(1)討論/(X)的極值點(diǎn)的個數(shù)：

(2)若/(X)有3個極值點(diǎn)JQ,X2，K3(其中X/Vx2Vx3)?證明：XlX3<X22.

81.(2023?全國?高三專題練習(xí))82.(2023?江西鷹潭?統(tǒng)考二模)設(shè)函數(shù)/<(x)=Inx+?er,g(x)=axex(0<a<-).

e

(1)若y=/(x)在x=i處的切線平行于直線y=2x,求實(shí)數(shù)”的值；

(2)設(shè)函數(shù)4(x)=/(x)-g(x),判斷y=a(x)的零點(diǎn)的個數(shù)；

(3)設(shè)為是力(X)的極值點(diǎn)，血是人“)的一個零點(diǎn)，且再<再，求證：3演-々>2.

考點(diǎn)18導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用8種常見考法歸類

舍高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)

考點(diǎn)二證明不等式

（三）作差函數(shù)證明不等式

（四）構(gòu)造雙函數(shù)證明不等式

（三）適當(dāng)放縮法證明不等式

（四）利用結(jié)論證明不等式

（五）利用隱零點(diǎn)證明不等式

（六）與數(shù)列有關(guān)的不等式證明

考點(diǎn)三恒（能）成立問題

（-）分離參數(shù)法

（二）分類討論法

（三）同構(gòu)法

（四）隱零點(diǎn)法

考點(diǎn)四討論零點(diǎn)個數(shù)

考點(diǎn)五根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍

考點(diǎn)六與零點(diǎn)有關(guān)的不等式問題

（一）比值代換

（二）消參減元法

（三）構(gòu)造關(guān)聯(lián)（對稱）函數(shù)

考點(diǎn)七利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題

考點(diǎn)八導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題

三二解題策略

1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)圖象的識別主要利用函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性以及函數(shù)值的符號等.

解決此類問題應(yīng)先觀察選項(xiàng)的不同之處，然后根據(jù)不同之處研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)而得

到正確的選項(xiàng).如該題中函數(shù)解析式雖然比較復(fù)雜，但借助函數(shù)的定義域與函數(shù)的單調(diào)性很

容易利用排除法得到正確選項(xiàng).

2.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題一般要用到構(gòu)造法，構(gòu)造法是拽在證明與函數(shù)有關(guān)的不等式

時，根據(jù)所要證明的不等式，構(gòu)造與之相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性、極值、最值加以證

明.常見的構(gòu)造方法有：

⑴直接構(gòu)造法：證明不等式兒Ag(x)(/(x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明人幻一g(x)>O(/(x)—g(x)<0),

進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)A(x)=/(x)—g(x),然后利用〃(x)的最值證明不等式；

注：作差構(gòu)造法：待證不等式的兩邊含有相同的變量時，一般地，可以直接構(gòu)造“左

減右”或“右減左”的函數(shù)，通過研究具單調(diào)性等相關(guān)函數(shù)性質(zhì)證明不等式.

利用構(gòu)造差函數(shù)證明不等式的基本步驟：①作差或變形；②構(gòu)造新的函數(shù)g(x);③利用

導(dǎo)數(shù)研究g(')的單調(diào)性或最值；④根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式.

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮，二是利用常見的放縮結(jié)論，導(dǎo)數(shù)方

法證明不等式中，最常見的是F和1nx與其他代數(shù)式結(jié)合的問題，對于這類問題，可以考

慮先對e'和Inx進(jìn)行放縮，使問題簡化，簡化后再構(gòu)建函數(shù)進(jìn)行證明,如加xSv—1,e^v

+1,In.v<v<ev(A->0),-^-<ln(.v+l)<x(x>-1);

x+1

(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)：稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對數(shù)，

把不等式轉(zhuǎn)化為左、右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的形式，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)；

(4)構(gòu)造雙函數(shù)：若直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)難以判斷符號，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)也不易求得，函數(shù)單

調(diào)性與極值點(diǎn)都不易獲得，則可構(gòu)造函數(shù)/(X)和8(x),利用其最值求解,在證明過程中，“隔

離”轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，將不等式不等號兩端分別“隔離”出兩個函數(shù)式/(x),g(x),使

_/(X)min>4(X)max恒成立，從而但/(X)與儀')取到最值的條件不是同一個“X的值”；

若不能直接轉(zhuǎn)化為最值問題的不等式證明可將不等式的某一部分“隔離”開，單獨(dú)進(jìn)行研

究，然后再納入整體進(jìn)行論證.

(5)利用“隱零點(diǎn)”證明不等式：關(guān)鍵在于“設(shè)而不求”及“等量代換”，常見的有不含參和

含參兩種類型：①不含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問題：已知不含參函數(shù)九》,導(dǎo)函數(shù)方程以2=0的

根存在，卻無法求出，設(shè)方程/(x)-0的根為X0,則⑺有關(guān)系式，(xo)-o成立；(")注意確

定X0的合適范圍.②含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問題：已知含參函數(shù)/(X,幻，其中4為參數(shù)，導(dǎo)函

數(shù)方程，(x,a)-0的根存在，卻尢法求出，設(shè)方程/(x,a)-0的根為xo,則⑴有關(guān)系式，(xo,

")=0成立，該關(guān)系式給出了xo,〃的關(guān)系；(")注意確定X。的合適范圍，往往和〃的取值范

圍有關(guān).

3.對于函數(shù),/(x)=e■'在x=0處的泰勒展開式如下:

F=l+±+J正

1!2!3!

類似的，常用泰勒展開式擬合的不等式還有：

ln(l+x)-x~—+1)n,.—+...=>ln(x+l)Sr；

234n

x3x5x2,1-1

sinx=x----+-----...+(-l)w-k+...=sinxSt；

3!5!(2〃-l)!

COS.V

4.由e》+1演繹出的一些常見不等結(jié)構(gòu):

x1n*Ax-l

丟棹常、杷《換或千I.

r

lnx<2^0換成衣lox<x.“質(zhì)-If]nx￡.](x>Q)J-lnx>1--

把丫換成?

把r換成打(等

1物換加'\.

lnx>-Tp*InxWex-2.huw]

5.與不等式恒成立、有解、無解等問題有關(guān)的參數(shù)范圍問題

(1)利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立或有解問題的主要策略：①構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求

出最值，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍；②分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最

值問題.有些不易分參的也可采用''同構(gòu)〃技巧.

(2)若對'WO恒成立，則只需“>/(X)max；若〃*貝\)對X￡O恒成立，則只需

n5/l-Y)min；若存在X(|￡0,使叱/由)成立，則只需向風(fēng)若存在.V(>￡O,使4<加0)成立,

則只需a'xo)m”.由此構(gòu)造不等式，求解參數(shù)的取值范圍.

（3）分離參數(shù)法

利用分離參數(shù)法確定不等式/（X,2）20（x￡O,i為參數(shù)）恒成立問題中參數(shù)范圍的步驟：

①將參數(shù)與變量分離，化為/?）2力（x）或力（2）W力（x）的形式；

②求力（工）在。時的最大值或最小值；

③解不等式力僅）2及（X）m豕或f（QW加（K）min,得到幺的取值范圍.

6.與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題

（1）方程f（x）=o有實(shí)根U函數(shù)y=/（X）的圖象與X軸有交點(diǎn)U函數(shù)y=/（x）有

零點(diǎn).

（2）求極值的步驟：

①先求/（x）=0的根與（定義域內(nèi)的或者定義域端點(diǎn)的根舍去）；

②分析/兩側(cè)導(dǎo)數(shù)/（X）的符號：若左側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)右側(cè)導(dǎo)數(shù)正，則升為極小值點(diǎn)：若左

側(cè)導(dǎo)數(shù)正右側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)，則%為極大值點(diǎn).

（3）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值是統(tǒng)一的，極值是函數(shù)的拐點(diǎn)，也是單調(diào)區(qū)間的

劃分點(diǎn)，而求函數(shù)的最值是在求極值的基礎(chǔ)上，通過判斷函數(shù)的大致圖象，從而得到最值，

大前提是要考慮函數(shù)的定義域.

（4）函數(shù)y=/（x）的零點(diǎn)就是/（幻=0的根，所以可通過解方程得零點(diǎn)，或者通過

變形轉(zhuǎn)化為兩個熟悉函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo).

（5）含參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)，可轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)，若能分離參數(shù)，可將參數(shù)分離

出來后，用k表示參數(shù)的函數(shù)，作出該函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征求參數(shù)的范圍.由于利

用零點(diǎn)存在定理時，一般不使用極限語言，故常常需要“取點(diǎn)”，可借助kuSr-1

等結(jié)構(gòu)放縮，必要時可構(gòu)造函數(shù)證明所取點(diǎn)的符號.

（6）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的基本方法：①利用零點(diǎn)存在的判定定

理構(gòu)建不等式求解；②分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問題求解；③轉(zhuǎn)化為兩個熟悉

的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.

7.與不零點(diǎn)有關(guān)的不等式問題

（1）證明雙變量不等式的基本思路：首先進(jìn)行變量的轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找

雙變量所滿足的關(guān)系式，或者通過比值代換利用關(guān)系式將其中一個變量用另一

個變量表示，代人