南昌市二模文科數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)

B.[1,+∞)

C.(1,+∞)

D.(-1,+∞)

2.若集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax=1},且A∩B={1},則實數(shù)a的值為（）

A.1

B.-1

C.1或-1

D.0

3.下列函數(shù)中，在(0,+∞)上單調(diào)遞減的是（）

A.y=2^x

B.y=log?x

C.y=x3

D.y=sinx

4.若復數(shù)z滿足|z|=2且arg(z)=π/3,則z的代數(shù)形式為（）

A.2(cos(π/3)+isin(π/3))

B.2(cos(π/3)-isin(π/3))

C.2(cos(2π/3)+isin(2π/3))

D.2(cos(2π/3)-isin(2π/3))

5.已知等差數(shù)列{a_n}中，a?=3,a?=9,則該數(shù)列的通項公式為（）

A.a_n=3n

B.a_n=3n-2

C.a_n=3n+2

D.a_n=6n

6.在△ABC中，若角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且a2=b2+c2-bc,則角A的大小為（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

7.已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+1在x=1處取得極值,則實數(shù)a的值為（）

A.1

B.-1

C.2

D.-2

8.設函數(shù)g(x)=|x-1|+|x+1|,則g(x)的最小值為（）

A.0

B.1

C.2

D.3

9.已知直線l?:y=kx+1與直線l?:y=x-1垂直,則實數(shù)k的值為（）

A.-1

B.1

C.-2

D.2

10.在直角坐標系中，點P(x,y)到點A(1,0)和點B(0,1)的距離之和的最小值為（）

A.1

B.√2

C.√3

D.2

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.y=x3

B.y=sinx

C.y=log?(-x)

D.y=tanx

2.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,且f(1)=0,f(-1)=4,f(0)=-1,則有（）

A.a=1

B.b=-1

C.c=-1

D.Δ>0

3.下列命題中，正確的有（）

A.若x>1,則x2>x

B.若a2>b2,則a>b

C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，則對任意x?<x?∈I,有f(x?)<f(x?)

D.若lim(x→∞)f(x)=A,則lim(x→-∞)f(x)=A

4.在等比數(shù)列{a_n}中，若a?=6,a?=162,則有（）

A.公比q=3

B.首項a?=2

C.通項公式a_n=2×3^(n-1)

D.S?=244

5.已知ABC是直角三角形，且斜邊AB=5,直角邊AC=3,則有（）

A.sinA=3/5

B.cosB=4/5

C.tanC=4/3

D.sinB=4/5

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若復數(shù)z=1+i滿足z2+az+b=0(a,b∈R),則a+b的值為________。

2.函數(shù)f(x)=√(x-1)的定義域是________。

3.在等差數(shù)列{a_n}中，若a?=10,a??=19,則該數(shù)列的公差d為________。

4.已知點A(1,2)和點B(3,0),則線段AB的斜率為________。

5.若函數(shù)g(x)=x3-3x+1在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值分別為M和m,則M-m的值為________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.解方程組：{x+2y=5{3x-y=2

2.計算不定積分∫(x2+2x+3)dx。

3.已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x2+1，求其在x=1處的導數(shù)f'(1)。

4.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=3，b=4，c=5，求角B的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）。

5.已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=n2+n，求該數(shù)列的通項公式a_n(n≥1)。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：函數(shù)f(x)=log?(x-1)有意義需滿足x-1>0，即x>1，所以定義域為(1,+∞)。

2.C

解析：解方程組：{x=1{ax=1

代入得a=1，但需驗證，若a=1，則B={x|x=1}，A∩B={1}成立；若a=-1，則B={x|x=-1}，A∩B=?，矛盾。故a=1或-1。

3.B

解析：指數(shù)函數(shù)y=2^x在(0,+∞)上單調(diào)遞增；對數(shù)函數(shù)y=log?x在(0,+∞)上單調(diào)遞增；冪函數(shù)y=x3在(0,+∞)上單調(diào)遞增；正弦函數(shù)y=sinx在(0,+∞)上非單調(diào)。

4.A

解析：根據(jù)復數(shù)三角形式，|z|=2，arg(z)=π/3，則z=2(cos(π/3)+isin(π/3))=2(1/2+i√3/2)=1+i√3。

5.A

解析：設公差為d，則a?=a?+4d=3+4d=9，解得d=3/2，所以a_n=3+(n-1)×3/2=3n/2，即3n。

6.D

解析：由a2=b2+c2-bc，變形為a2=b2+c2-2bc/2=b2+c2-bc+bc/2=b2+c2-(bc/2)2=(b-c/√2)2≥0，等號成立當且僅當b=c/√2，此時a2=b2+c2，所以角A=90°。

7.C

解析：f'(x)=2x-2a，令f'(x)=0得x=a。由題意x=1處取得極值，即a=1，所以f'(x)=2x-2。驗證：f'(1-ε)<0,f'(1+ε)>0(ε>0)，故x=1處為極小值點，所以a=2。

8.C

解析：g(x)=|x-1|+|x+1|={x+2(x<-1{2(x=-1{-x+2(x>-1

分段函數(shù)在x=-1處取得最小值2。

9.A

解析：兩直線垂直則k?k?=-1。l?斜率k?=k，l?斜率k?=1。所以k×1=-1，解得k=-1。

10.B

解析：設P(x,y)，A(1,0)，B(0,1)。|PA|2=(x-1)2+y2，|PB|2=x2+(y-1)2。令F(x,y)=|PA|2+|PB|2=x2+y2+x2+y2-2x-2y+2=2(x2+y2-x-y)+2。幾何意義：P到A、B距離和最小即P在AB中垂線上。AB中點(1/2,1/2)，中垂線方程x+y=1。代入F得F(1/2,1/2)=2(1/4+1/4-1/2-1/2)+2=2(1/2-1)+2=1。所以最小值√F(1/2,1/2)=√1=√2。

二、多項選擇題答案及解析

1.ABD

解析：奇函數(shù)f(-x)=-f(x)。A：f(-x)3=(-x)3=-x3=-f(x)，是奇函數(shù)；B：sin(-x)=-sinx=-sinx，是奇函數(shù)；C：log?(-x)是定義域為(-∞,0)的函數(shù)，f(-x)=log?(-(-x))=log?x≠-log?(-x)=-f(x)，不是奇函數(shù)；D：tan(-x)=-tanx=-tanx，是奇函數(shù)。

2.ABC

解析：f(1)=a+b+c=0①，f(-1)=a-b+c=4②，f(0)=c=-1③。由①+②得2a+2c=4，代入③得2a-2=4，解得a=3。代入③得3+b-1=0，解得b=-2。所以a=3,b=-2,c=-1。判別式Δ=b2-4ac=(-2)2-4×3×(-1)=4+12=16>0，所以D錯誤。

3.AC

解析：A：x>1時，x2-x=x(x-1)>0，所以x2>x；B：a2>b2?|a|>|b|，但不一定有a>b，例如a=-3,b=2，a2=9>b2=4但a<-b；C：單調(diào)遞增定義，x?<x??f(x?)<f(x?)，正確；D：極限存在與左右極限存在且相等無關，例如f(x)={1(x>0{0(x<0，lim(x→0)f(x)不存在，但左右極限都存在且為0，錯誤。

4.ABC

解析：a?=a?q3=6q3，a?=a?q?=2q?。所以6q3=2q??3q3=q??q=3。代入a?=2q=6，a?=a?/q=6/3=2。a_n=a?q^(n-1)=2×3^(n-1)。S?=a?(1-q?)/(1-q)=2(1-3?)/(1-3)=2(1-243)/(-2)=2×(-242)/(-2)=242。所以C、D錯誤。

5.ABCD

解析：直角三角形中，sinA=對邊/斜邊=3/5，cosB=鄰邊/斜邊=4/5，tanC=對邊/鄰邊=3/4，sinB=鄰邊/斜邊=4/5。

三、填空題答案及解析

1.0

解析：z2=1-2i-1=-2i，方程為-2i+az+b=0?az+b=-2i。因為a,b∈R，所以實部虛部分別為0。實部：0=0，虛部：a=0,b=-2。所以a+b=0。

2.[1,+∞)

解析：根號內(nèi)表達式有意義需x-1≥0，即x≥1。

3.1

解析：a??=a?+5d?19=10+5d?d=3/5?；蛘遖?=a?+4d=10，a??=a?+9d=19?a?=1，所以d=(19-1)/8=3/5。

4.-2/3

解析：斜率k=(y?-y?)/(x?-x?)=(0-2)/(3-1)=-2/2=-1。

5.16

解析：g'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)。令g'(x)=0得x=-1或x=1。g(-2)=(-2)3-3(-2)+1=-8+6+1=-1，g(-1)=(-1)3-3(-1)+1=-1+3+1=3，g(0)=03-3(0)+1=1，g(1)=13-3(1)+1=1-3+1=-1，g(2)=23-3(2)+1=8-6+1=3。所以M=max{3,3,1,-1,-1}=3，m=min{3,3,1,-1,-1}=-1。M-m=3-(-1)=4。

四、計算題答案及解析

1.解：

{x+2y=5①

{3x-y=2②

①×3-②得7y=13?y=13/7

代入①得x+2×13/7=5?x+26/7=35/7?x=9/7

解為{x=9/7{y=13/7

2.解：

∫(x2+2x+3)dx=∫x2dx+∫2xdx+∫3dx

=x3/3+x2+3x+C

3.解：

f'(x)=d/dx[ln(x+1)]-d/dx[x2]+d/dx[1]

=1/(x+1)-2x+0

f'(1)=1/(1+1)-2×1=1/2-2=-3/2

4.解：

cosA=b2+c2-a2/(2bc)=42+52-32/(2×4×5)=16+25-9/40=32/40=4/5

A=arccos(4/5)

sinA=√(1-cos2A)=√(1-(4/5)2)=√(1-16/25)=√9/25=3/5

cosB=a2+c2-b2/(2ac)=32+52-42/(2×3×5)=9+25-16/30=18/30=3/5

B=arccos(3/5)

另解：sinB=√(1-cos2B)=√(1-(3/5)2)=√(1-9/25)=√16/25=4/5

所以角B的大小為arccos(3/5)或arctan(4/3)。

5.解：

a_n=S_n-S_(n-1)(n≥2)

a_n=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]

=n2+n-(n2-2n+1+n-1)

=n2+n-(n2-n)

=2n

當n=1時，a?=S?=12+1=2，與公式a_n=2n一致。

所以通項公式a_n=2n(n≥1)。

本試卷涵蓋的理論基礎部分知識點總結(jié)：

1.函數(shù)部分：函數(shù)概念與性質(zhì)（定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性）、基本初等函數(shù)（指數(shù)、對數(shù)、冪、三角函數(shù)）的圖像與性質(zhì)、函數(shù)方程、函數(shù)與方程的關系。

2.集合部分：集合概念與表示、集合運算（交、并、補）、集合關系（包含、相等）。

3.數(shù)列部分：等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、通項公式、前n項和公式、性質(zhì)。

4.向量與三角函數(shù)部分：向量的坐標運算、數(shù)量積、直線方程（點斜式、斜截式、一般式）、兩直線位置關系、