高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省南昌市2025屆高三下學(xué)期信息卷數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合A=x1≤2x≤16,x∈Z，A．1,3 B．3,4 C．2,3 D．2,3【答案】C【解析】由A={x由B={x|x-3所以A∩B=2,3故選：C2．已知a，b均為正數(shù)，則“l(fā)na>ln1b”是“a+b>2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由lna>ln1b，可得lna>所以ab>1，所以a+b≥2ab>2，所以“l(fā)na>ln1b取a=2,b=14，可得lna<ln1b，故“l(fā)n所以“l(fā)na>ln1b”是“故選：A.3．在x+1×x+2×?×x+10的展開式中，A．55 B．60 C．75 D．90【答案】A【解析】從十個(gè)括號(hào)中選出9個(gè)x，再?gòu)氖Ｏ乱粋€(gè)括號(hào)中選出一個(gè)數(shù)相乘即含有x9故x9的系數(shù)為1+2+3+?+10=55故選：A4．已知函數(shù)fx=2x+2,x>14x+3,x≤1，若A．25或2 B．25或1 C．1 D【答案】D【解析】當(dāng)a>1時(shí)，因?yàn)閒a=5-a，得到2a又因?yàn)閥=2x+x在區(qū)間R上單調(diào)遞增，只有這一個(gè)根，又因?yàn)閍>1,當(dāng)a≤1時(shí)，由fa=5-a，得到4a+3=5-a?5a=2，解得：綜上：實(shí)數(shù)a的值為2故選：D5．已知平面向量a，b滿足a=b=3，且a在b上的投影向量為-32b，則向量A．π3 B．2π3 C．3【答案】D【解析】由題設(shè)a?b|b|所以cosa,b=-3故選：D6．對(duì)于函數(shù)fx，實(shí)數(shù)a，b滿足a≠b，fa=fb，則稱a與b是函數(shù)fx的“同值點(diǎn)”.若x與2，y與3，z與5都是函數(shù)fx=A．x<y<z B．y<x<z C．z<x<y D．z<y<x【答案】D【解析】由f'x=ex-e，當(dāng)x<1所以fx在(-∞,1)由2,3,5∈(1,+∞)，且根據(jù)同值點(diǎn)的定義，知x,y,z∈(-∞,1)，故故選：D7．我們知道一個(gè)常識(shí)：奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù).推廣到一般的情況：如果函數(shù)fx的圖象有對(duì)稱中心，那么其導(dǎo)函數(shù)f'x的圖象會(huì)有對(duì)稱軸；如果函數(shù)fx的圖象有對(duì)稱軸，那么其導(dǎo)函數(shù)f'x的圖象會(huì)有對(duì)稱中心A．fx有對(duì)稱中心-12,3C．fx有對(duì)稱軸x=-12 D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)fx=ln所以f'導(dǎo)函數(shù)關(guān)于x=12對(duì)稱，所以fx關(guān)于1故選：B8．已知三棱錐A-BCD，平面ABC⊥平面BCD，∠BAC=π4，∠BDC=π6，BC=2，則三棱錐A．16π B．20π C．28π【答案】B【解析】設(shè)△ABC,△BCD的外接圓圓心分別為O1,O2，三棱錐過O1作平面ABC的垂線，過O2作平面BCD的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為三棱錐A-BCD取BC中點(diǎn)E，則EO因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，EO1?所以EO1⊥所以EO1//O因?yàn)镋O2?平面BCD，所以EO因?yàn)椤鰽BC的外接圓半徑r1=BC所以EO因?yàn)椤鰾CD的外接圓半徑r2=BC所以O(shè)B=OO22+所以三棱錐A-BCD外接球的表面積為4π故選：B.二、多選題9．已知一組數(shù)據(jù)為連續(xù)的正整數(shù)：x1,x2,?,x10xA．中位數(shù)不變 B．平均數(shù)不變C．方差變小 D．若x1=1，則數(shù)據(jù)x1,【答案】ABC【解析】原來的中位數(shù)與現(xiàn)在的中位數(shù)均為x5+x由連續(xù)的正整數(shù)的性質(zhì)可知平均數(shù)不變，故B正確；由方差的意義可知，去掉x1,x若x1=1，則數(shù)據(jù)為因?yàn)?0×80%=8，所以第80百分位數(shù)為8+92=8.5故選：ABC.10．已知函數(shù)fx=sinA．fx為周期函數(shù) B．fx在C．fx最大值為2 D．?x【答案】AB【解析】函數(shù)fx=sin由于f(x+2π所以2π為fx的一個(gè)周期，故因?yàn)閒=4cos當(dāng)x∈(π3,則f'故f(x)在區(qū)間(π3,因?yàn)?1≤sinx≤1,-1≤sin2x≤1，所以但當(dāng)sinx=1，即x=π2+2kπ(k∈Z)令gx=fxg=4cos∵-1≤cosx≤1，∴g'(x)≤4×(1+當(dāng)x>0時(shí)，g(x)<g(0)=0，從而xg(x)<0，即xfx-3x當(dāng)x=0時(shí)，g(x)=g(0)=0，從而xg(x)=0，即xfx-3x當(dāng)x<0時(shí)，g(x)>g(0)=0，從而xg(x)<0，即xfx-3x綜上，xfx≤3x2，故不存在x0故選：AB．11．已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)fx，滿足?x，y∈R，fxyA．f1=1 B．C．fx為奇函數(shù) D．若f8【答案】ACD【解析】因fx為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，則?x，y對(duì)于A，令x=y=1，則f1=f若f1=0，則對(duì)?y，取x=1，都有故f1≠0?f1對(duì)于B，令x=y=0，則f0=f20因f1>f0，結(jié)合fx為定義在對(duì)于C，令x=y=-1，則f1=f則f-1=-1，取y=1??x,fx則?x,fx+f-x=0，又fx定義為R對(duì)于D，令y=2，x=2，則f4則f8則f2n=f2故選：ACD三、填空題12．已知復(fù)數(shù)z滿足z2=2+23i，則【答案】±1【解析】設(shè)z=a+bi,a,b∈所以a2-b2=22ab=23，解得a=所以z的虛部為±1.故答案為：±1.13．已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，an+1=2an【答案】60【解析】當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an+1=2an令a1=m>0，則a2=2m，a3所以an是周期為4的數(shù)列，且a當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)取等號(hào)，則S40所以S40的最小值為故答案為：6014．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，其離心率e=35，點(diǎn)【答案】7【解析】根據(jù)已知條件e=35，可知設(shè)a=5t,c=3t，線段MF則在△PF1F在△PMF2中有可得到方程l2+(10t-l)帶入cos∠故答案為:718四、解答題15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=3，3（1）求b；（2）如圖延長(zhǎng)AB，若BD=3c時(shí)，CD⊥BC，求c.解：（1）∵3cos∴31-2sin2由正弦定理得：b2=3a∴b=3；（2）因?yàn)椤螦BC+∠CBD=π，所以所以在△BCD中，BD=3c，a=BC=3，且CD⊥BC，所以cos在△ABC中，由余弦定理可得cos∠ABC=所以c2+3-92c×得c=2．16．如圖所示，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，D，E，F(xiàn)分別是各邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ADE，△BEF，△CDF分別沿DE，EF，DF折起，使得△ADE，△BEF，△CDF所在平面均與底面DEF垂直.

（1）求證：平面ABC∥平面DEF；（2）求二面角C-DA-E的正弦值.（1）證明：因?yàn)椤鰽BC為正三角形，且D，E，F(xiàn)分別是各邊的中點(diǎn)，

所以△ADE，△BEF，△CDF均為正三角形.分別取DE，EF，F(xiàn)D的中點(diǎn)A1，B1，則AA1⊥DE，BB1又因?yàn)槠矫鍭DE⊥底面DEF，平面ADE∩底面DEF=DE，AA1?所以AA1⊥平面DEF，同理可得BB1所以四邊形AA1B因?yàn)锳B?平面DEF，A1B1?平面DEF，所以AB∥平面DEF，同理可得CB又AB∩BC=B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，所以平面ABC∥平面DEF.（2）解：由（1）可知A1以A1為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以A1E，A1F，A1A則A0,0,32，C-1所以AC=-1設(shè)平面CDA的法向量為n1=令x=3，得y=3，z=-3，所以易知平面EDA的一個(gè)法向量為n2所以cosn所以二面角C-DA-E的正弦值為2517．已知函數(shù)fx=exx2（1）求a的值；（2）判斷fx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)解：（1）f'因?yàn)閤=2不是fx所以方程ex則a必須大于0，若曲線y=ex,y=ax則y=e所以此時(shí)ex-ax=0必須有兩個(gè)正根，且即e所以a=e（2）由（1）可得：f'設(shè)gx則方程gx=0的兩根為x=2,x=x當(dāng)0<x<x0時(shí)，gx>0，所以x-2gx<0當(dāng)x0<x<2時(shí)，gx<0，所以x-2gx>0當(dāng)x≥2時(shí)，gx≥0，所以x-2gx≥0，即f所以f因?yàn)閑x0=所以f==e且x→0時(shí)，fxx→+∞時(shí)，所以fx在0,所以fx在0,+∞上有且僅有218．在直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)Q（y軸右側(cè)）到點(diǎn)F1,0的距離比到y(tǒng)軸的距離大1.記動(dòng)點(diǎn)Q軌跡為C（1）求C的方程；（2）設(shè)△ABM為曲線C的內(nèi)接直角三角形（A在第一象限，M在B的下方），且M為直角頂點(diǎn)，若△ABM的重心G在x軸上.（?。┣笞C：直線AB過定點(diǎn)；（ⅱ）設(shè)直線AB經(jīng)過的定點(diǎn)為P，AM與x軸交于H，設(shè)△BPG的面積為S1，△MGH的面積為S2，則S解：（1）依題意可知?jiǎng)狱c(diǎn)Q到點(diǎn)F1,0的距離等于到直線x=-1所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以F1,0為焦點(diǎn)，x=-1所以C的方程為y2（2）（?。┰O(shè)Ax因?yàn)锳,B在曲線C上，所以y12=4則理可得kAM=4因?yàn)椤鰽BM為直角三角形，所以MA⊥MB，所以kAM?k則y1又因?yàn)椤鰽BM的重心G在x軸上，則有y1+y所以y1y2=-16，直線所以直線AB的方程為4x-y2+y1（ⅱ）設(shè)Ax1,因?yàn)镚是△ABM的重心，所以S△GAB不妨設(shè)S△ABM=S，所以S△BPG所以S1S2所以S1S2=y又因?yàn)镸在B的下方，所以y3<y2，即令a=2t+1<-3，即S1設(shè)fa=-4a-2-3所以0<fa<1，即19．一游戲活動(dòng)中，準(zhǔn)備了n張卡片，這n張卡片各標(biāo)記了一個(gè)數(shù)字，各卡片的數(shù)字互不相同，游戲者不知道各卡片的數(shù)字.游戲規(guī)則是：逐張抽出卡片，觀察卡片的數(shù)字，并確定是否選擇這張卡片的數(shù)字，若選擇這張卡片的數(shù)字，游戲結(jié)束，若不選擇這張卡片的數(shù)字，繼續(xù)逐張抽出卡片，不能回頭選擇.為使選擇到卡片的數(shù)字大，甲采取的策略是：前k（k∈N+，k≤n-1）張卡片的數(shù)字都不選擇，記下這k張卡片的最大數(shù)字，從第k+1張卡片開始，一旦發(fā)現(xiàn)數(shù)字比前k張卡片最大數(shù)字大的卡片，則選擇該張卡片的數(shù)字，若一直沒有比前k（1）若n=3，k=1，求甲選到這3張卡片數(shù)字中的最大數(shù)字的概率；（2）若n=4，k=2，這4張卡片標(biāo)記的數(shù)字從小到大分別是1，2，3，4，記甲選到卡片的數(shù)字為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）甲選取到這n張卡片中的最大數(shù)字的概率最大時(shí)，k=k0，證明：（1）解：設(shè)這三張卡片標(biāo)記的數(shù)字從小到大依次為a1排列有：a按照甲的策略，能取到a3的有：a所以，甲選到這3張卡片數(shù)字中最大數(shù)字的概率是36（2）解：X的可能取值是1,2,3,4，將這四張卡片排成一列，有A4“X=1”表示標(biāo)記數(shù)字4的卡片排在前2位，標(biāo)記數(shù)字1的卡片排在第4位，PX=1“X=2”表示標(biāo)記數(shù)字4的卡片排在前2位，標(biāo)記數(shù)字2的卡片排在第4位，PX=2“X=3”表示標(biāo)記數(shù)字1,2的卡片排在前2位，標(biāo)記數(shù)字3的卡片排在第3位，或標(biāo)記數(shù)字4的卡片排在前2位，標(biāo)記數(shù)字3的卡片排在第4位，PX=3“X=4”表示標(biāo)記數(shù)字3的卡片排在前2位