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高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省徐州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.圓的圓心坐標(biāo)與半徑分別為()A. B. C. D.【答案】D【解析】由圓,可得圓,所以圓心坐標(biāo)為,半徑為.故選:D.2.已知直線l上的一點(diǎn)向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后,仍在該直線上,則直線l的斜率為()A. B.- C.2 D.-2【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)是直線上的一點(diǎn),將點(diǎn)右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,得到點(diǎn)仍在該直線上,則直線的斜率.故選:B.3.雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】由該雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,則,由可得,即有,解得.故選:B.4.若圓與圓有且只有三條公切線,則實(shí)數(shù)的值為()A.6 B.4 C.6或 D.4或【答案】C【解析】由圓與圓有且只有三條公切線,故兩圓外切,故,即,解得.故選:C.5.以橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn),以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線的方程為()A. B. C. D.【答案】C【解析】橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為,,焦點(diǎn)為,,所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,,頂點(diǎn)為,,則雙曲線的焦點(diǎn)在軸上,且,,所以,所以雙曲線的方程為.故選:C.6.拋物線的焦點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最小值為()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】對(duì)于拋物線,則,根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)公式,可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為.則焦點(diǎn)到圓心的距離.因?yàn)閳A的半徑,焦點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最小值為焦點(diǎn)到圓心的距離減去圓的半徑,即.故選:B.7.已知橢圓C:上有一點(diǎn)A,它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B,點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn),且,,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,因?yàn)?,所以根?jù)橢圓的對(duì)稱性可知:四邊形為矩形,所以,在中,,根據(jù)橢圓定義可知:,所以,所以,,所以,所以離心率為故選:B.8.已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn),且,線段的中點(diǎn)為,則直線的斜率的最大值為()A. B. C. D.1【答案】A【解析】依題意,拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上,設(shè)的方程為:,顯然直線不垂直于y軸,設(shè)直線PQ的方程為:,點(diǎn),由消去x得:,則有,由得:,解得,于是拋物線:的焦點(diǎn),弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,則點(diǎn),顯然直線的斜率最大,必有,則直線的斜率,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),所以直線的斜率的最大值為.故選:A二、多項(xiàng)選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分,選對(duì)但不全的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線與,則下列說(shuō)法正確的是()A.直線恒過(guò)第二象限 B.坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的最大距離為C.若,則 D.若,則與之間的距離為【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng),將直線變形.令,解得,即直線恒過(guò)定點(diǎn),該點(diǎn)在第二象限,所以直線恒過(guò)第二象限,A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng),因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的最大距離就是原點(diǎn)到定點(diǎn)的距離.根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式,則,B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng),若,對(duì)于直線和.根據(jù)兩直線垂直的條件,可得,解得,C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng),若,則.由,可得,解得或.當(dāng)時(shí),,,滿足.當(dāng)兩直線重合,兩平行直線,,根據(jù)兩平行直線間的距離公式,則,D選項(xiàng)正確.故選:ABD.10.拋物線的準(zhǔn)線為l,P為上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)作圓的一條切線,切點(diǎn)為,過(guò)作的垂線,垂足為,則下列結(jié)論正確的是()A.與圓相切 B.當(dāng)時(shí),C.的最小值為 D.滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)【答案】AD【解析】A選項(xiàng),拋物線的準(zhǔn)線為,圓的圓心到直線的距離顯然是,等于圓的半徑,故準(zhǔn)線和圓相切,A選項(xiàng)正確;B選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,此時(shí),故或,當(dāng)時(shí),,則;當(dāng)時(shí),,;故或,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;C選項(xiàng),,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立,故的最小值為,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;D選項(xiàng),設(shè),由可得,又,又,根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式,,整理得,,則關(guān)于的方程有兩個(gè)解,即存在兩個(gè)這樣的點(diǎn),D選項(xiàng)正確.故選:AD.11.造型為“”的曲線稱為雙紐線,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,與定點(diǎn)距離之積等于的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙紐線.記時(shí)的雙紐線為曲線,點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A.的最小值為4 B.點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是C.面積的最大值為2 D.若點(diǎn)的坐標(biāo)為,則【答案】ACD【解析】設(shè)是曲線上任意一點(diǎn),根據(jù)雙紐線的定義可得:,當(dāng)時(shí),曲線的方程為,對(duì)于A:,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),所以的最小值為,故A正確;對(duì)于B:整理可得:,則,可得,解得,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:,令,則,所以,所以當(dāng)時(shí),,所以面積的最大值為,故C正確;對(duì)于D:若,則,其與矛盾,故不成立,故,故D正確.故選:ACD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.直線分別交x軸和軸于A、兩點(diǎn),若是線段的中點(diǎn),則直線的方程為_(kāi)_____.【答案】【解析】因A、兩點(diǎn)x軸和軸上,設(shè),因是線段的中點(diǎn),則,故直線的截距式方程為:.故答案為:.13.直線與圓相交于兩點(diǎn),若,則____________.【答案】【解析】圓的圓心,,圓心到直線的距離,由圓的幾何性質(zhì)可得,即,整理得,即.故答案為:14.已知雙曲線上存在兩點(diǎn)M,N關(guān)于直線對(duì)稱,且MN的中點(diǎn)在拋物線上,則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)________.【答案】0或3【解析】因?yàn)镸,N關(guān)于直線對(duì)稱,直線的斜率為,兩條垂直直線的斜率乘積為,所以直線MN的斜率.設(shè)直線MN的方程為,將其代入雙曲線可得.展開(kāi)得到,即.設(shè),,根據(jù)韋達(dá)定理,所以,則中點(diǎn)橫坐標(biāo).因?yàn)橹悬c(diǎn)在直線上,所以.因?yàn)镸N的中點(diǎn)在拋物線上,所以,解得或.當(dāng)時(shí),中點(diǎn)為,因?yàn)橹悬c(diǎn)在直線上,所以;當(dāng)時(shí),中點(diǎn)為,在直線上,所以,解得.故實(shí)數(shù)的值為或.故答案為:或.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在下列所給的三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中,并加以解答.①與直線平行;②過(guò)點(diǎn);③點(diǎn)到的距離為5.問(wèn)題:已知直線過(guò)點(diǎn),且_________.(1)求直線的一般式方程;(2)求圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程.解:(1)若選①,法一:因?yàn)橹本€的斜率為,直線與直線平行,所以直線的斜率為,直線的方程為,即.法二:因?yàn)橹本€與直線平行,故的方程可設(shè)為.又直線過(guò)點(diǎn),則,即:.所以的方程.若選②,法一:因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)及,所以直線的方程為,即;法二:因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)及,所以直線的斜率.直線的方程為,即.若選③,法一:若直線斜率不存在,點(diǎn)到的距離為3,不合題意,斜率存在.設(shè)斜率為,其方程為,即,由得:.直線方程為.即:.法二:由于與之間距離恰為5,兩點(diǎn)連線的斜率為,故直線的斜率,直線方程為,即:;(2)圓心為,半徑為2;只要求圓心關(guān)于直線的對(duì)稱圓心,則,解得,即,所以圓的方程為:.16.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為.(1)求的外接圓的方程;(2)設(shè),若點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn),試問(wèn):在平面上是否存在點(diǎn),使得.若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)法一:設(shè)圓的方程為,則,解得:,所以圓的方程為,即,法二:因?yàn)?,所以,所以,所以,又因?yàn)?,所以是等腰直角三角形,所以的圓心是的中點(diǎn),即圓心,半徑,所以的方程為;(2)假設(shè)存在,對(duì)任意的都有,即:,化簡(jiǎn)得:,又滿足,即,即:,所以,解得:,即存在滿足條件.17.已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)向軸作垂線段,垂足為,記垂線段PM的中點(diǎn)為.(1)求點(diǎn)的軌跡方程;(2)過(guò)點(diǎn)作直線與點(diǎn)的軌跡交于A,B兩點(diǎn),且的面積為(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線的方程.解:(1)設(shè)的坐標(biāo)為,則的坐標(biāo)為又點(diǎn)在拋物線上,故,即(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程組得:,有,則,解得:所以直線的方程為,即:18.已知圓和定點(diǎn)為圓上的任意一點(diǎn),線段PA的垂直平分線與直線PC交于點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若是曲線上的一點(diǎn),過(guò)的直線與直線分別交于S,T兩點(diǎn),且為線段ST的中點(diǎn).(i)求證:直線l與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn);(ii)求的最小值(為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)解:為PA的垂直平分線上一點(diǎn),則,則,點(diǎn)的軌跡為以A,C為焦點(diǎn)的雙曲線,且,故點(diǎn)的軌跡方程為;(2)(i)證明:設(shè),直線是雙曲線的漸近線,如圖所示:則:①.②,①+②得,,①-②得,,則,得,由題可知,則,得,即,直線ST的方程為,即,又點(diǎn)在曲線上,則,得,將方程聯(lián)立,得,得,由可知方程有且僅有一個(gè)解,故直線與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn);(ii)由(i)聯(lián)立,可得,同理可得,,則,同理,所以,故,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),故的最小值為.19.定義:一般地,當(dāng)且時(shí),我們把方程表示的橢圓稱為橢圓的相似橢圓.(1)求證:相似橢圓的離心率相等;(2)已知橢圓的相似橢圓為且.(i)直線與橢圓均有且只有一個(gè)公共點(diǎn),且的斜率之積為,求證:的交點(diǎn)在橢圓的相似橢圓上;(ii)若為橢圓上異于左右頂點(diǎn),的任意一點(diǎn),直線與橢圓交于,兩點(diǎn),直線與橢圓交于,兩點(diǎn),求的值.(1)證明:橢圓的離心率為可化為其離心率為所以,即:相似橢圓的離
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