高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省無(wú)錫市江陰市六校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：C2.某書(shū)架的第一層放有7本不同的歷史書(shū)，第二層放有6本不同的地理書(shū)．從這些書(shū)中任取1本歷史書(shū)和1本地理書(shū)，不同的取法有（）A.13種 B.7種 C.種 D.42種【答案】D【解析】本不同的歷史書(shū)任取本歷史書(shū)有種取法，本不同的地理書(shū)任取本地理書(shū)有種取法，從這些書(shū)中任取本歷史書(shū)和本地理書(shū)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得到不同的取法有種.故選：D.3.已知的一個(gè)極值點(diǎn)為2，則實(shí)數(shù)（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】，令0，得或，又的一個(gè)極值點(diǎn)為2，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.故選：B.4.某射手射擊時(shí)擊中目標(biāo)的概率為0.7，設(shè)4次射擊擊中目標(biāo)的次數(shù)為隨機(jī)變量，則等于（）A.0.9163 B.0.0081C.0.0756 D.0.9919【答案】D【解析】由題意得，，的取值為，∵.∴.故選：D.5.若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由，令，得，令，得，.故選：D.6.如圖所示的一圓形花圃，擬在A，B，C，D區(qū)域種植花苗，現(xiàn)有3種不同顏色的花苗，每個(gè)區(qū)域種植1種顏色的花苗，且相鄰的2塊區(qū)域種植顏色不同的花苗，則不同的種植方法總數(shù)為（）A.12 B.18 C.24 D.30【答案】B【解析】根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：(1)對(duì)于塊，可以在3種不同的花中任選1種，有種情況；(2)對(duì)于塊，可以在剩下的2種不同的花中任選1種，有種情況；(3)對(duì)于C、D塊，分2種情況：若D塊與塊相同，則C塊可以在其余的2種不同的花中任選1種，有種情況，若D塊與塊不相同，則塊有1種情況，塊有1種情況，此時(shí)C、D有1種情況，則C、D共有種情況；綜合可得：一共有種不同的種法.故選：B7.若直線與曲線相切，則的最小值為（）A4 B.1 C. D.2【答案】D【解析】設(shè)切點(diǎn)為，，故，所以，所以切線方程為，又，故切線方程為，即，所以，所以，故當(dāng)時(shí)，的最小值為2.故選：D8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為的?dǎo)函數(shù)，函數(shù)的圖像如下圖所示，且，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，又，解得或，同理當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，又，，解得，綜上，故選C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則個(gè)體被抽到的概率是B.數(shù)據(jù)5，8，10，12，13的第百分位數(shù)是8C.已知數(shù)據(jù)的極差為6，方差為2，則數(shù)據(jù)的極差和方差分別為12，8D.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則【答案】ACD【解析】由于抽樣的等可能性知，個(gè)體被抽到的概率是，故A正確；因?yàn)椋趥€(gè)數(shù)為，第個(gè)數(shù)為，則第百分位數(shù)是，故B錯(cuò)誤；由題意可知，新數(shù)據(jù)的極差為，方差為，故C正確；由題意可知，，則，故D正確.故選：ACD10.下列說(shuō)法正確的是（）A.隨機(jī)變量表示重復(fù)拋擲一枚骰子n次中出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布.B.有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出現(xiàn)次品件數(shù)（），則隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布.C.有一批種子的發(fā)芽率為，任取10顆種子做發(fā)芽試驗(yàn)，把試驗(yàn)中發(fā)芽的種子的個(gè)數(shù)記為X，則隨機(jī)變量X服從超幾何分布.D.某班級(jí)有男生25人，女生20人，選派4名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動(dòng)，其中女生人數(shù)記為X，則隨機(jī)變量X服從超幾何分布.【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)槊看胃怕氏嗤蚁嗷オ?dú)立，符合n次獨(dú)立重復(fù)性實(shí)驗(yàn)，所以隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椴捎糜蟹呕爻槿》椒?，則每次概率相同且相互獨(dú)立，符合n次獨(dú)立重復(fù)性實(shí)驗(yàn)，所以隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)槊看胃怕氏嗤蚁嗷オ?dú)立，符合n次獨(dú)立重復(fù)性實(shí)驗(yàn)，所以隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)闃颖径挤譃閮深?lèi)，隨機(jī)變量X表示抽取4名樣本中某類(lèi)樣本被抽取的人數(shù)，所以隨機(jī)變量X服從超幾何分布，故D正確；故選：ABD.11.已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，，且，則（）A. B.當(dāng)時(shí)，C. D.不等式解集為【答案】ACD【解析】構(gòu)造函數(shù)，其中，因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù)，則，所以，故函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，則，則.因?yàn)?，所以，即，，故A正確；不妨取，則，，B錯(cuò)誤；因?yàn)榕己瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則，即，整理可得，C正確；當(dāng)時(shí)，由可得，解得，當(dāng)時(shí)，由可得，解得.綜上所述，不等式解集為，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.被8整除的余數(shù)為_(kāi)_____.【答案】【解析】由于，由于均能被8整除，所以除以8的余數(shù)為7，故答案為：713.現(xiàn)有一質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個(gè)面分別標(biāo)著數(shù)字1～6），連續(xù)投擲兩次，記分別為第一次、第二次投擲后朝上的點(diǎn)數(shù)，設(shè)離散型隨機(jī)變量，則的值為_(kāi)_______.【答案】【解析】連續(xù)投擲兩次質(zhì)地均勻的正方體骰子，則總共有種情況，時(shí)，兩次投擲點(diǎn)數(shù)相差，共有種情況，，故，故答案為：14.設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，若在區(qū)間D上單調(diào)遞減，則稱(chēng)為D上的“凸函數(shù)”．已知函數(shù)．若為上的“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【答案】【解析】由，則，由為上的“凸函數(shù)”，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，設(shè)，則，所以在上恒成立，則在上恒成立，又當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，且最小值為，所以有，解得.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)，其圖象在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值．解：（1）由可得：.所以在點(diǎn)處切線的斜率為，因?yàn)樵邳c(diǎn)處切線方程為，所以切線的斜率為0，且，所以，即，解得，所以．（2）由（1）知，則.令得或3，易知上在單調(diào)遞增，在上在單調(diào)遞減，在上在單調(diào)遞增.所以在處，取得極大值，在處取得極小值.又因，，所以在上的最大值為20，最小值為0．16.在的展開(kāi)式中，求：（1）求常數(shù)項(xiàng)、及此項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；（2）求奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和；（3）求系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)．解：（1）展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，可得，所以，展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，其二項(xiàng)式系數(shù)為.（2）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.（3）令，設(shè)最大，則，即，即，解得，因?yàn)?，解得，所以，系?shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為.17.某市有一特色酒店由10座完全相同的帳篷構(gòu)成（如圖1）.每座帳篷的體積為m3，且分上下兩層，其中上層是半徑為r（）（單位：m）的半球體，下層是半徑為rm，高為hm的圓柱體（如圖2）．經(jīng)測(cè)算，上層半球體部分每平方米建造費(fèi)用為2千元，下方圓柱體的側(cè)面、隔層和地面三個(gè)部分平均每平方米建造費(fèi)用為3千元，設(shè)所有帳篷的總建造費(fèi)用為y千元．（提示：球體積公式：）（1）求y關(guān)于r的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)半徑r為何值時(shí)，所有帳篷的總建造費(fèi)用最小，并求出最小值．解：（1）由題意可得，所以h，所以，即，因?yàn)椋?，則，所以定義域?yàn)?（2）設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，即最小值，且，總費(fèi)用最小值為，所以當(dāng)半徑r為時(shí)，建造費(fèi)用最小，最小為千元．18.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽，經(jīng)過(guò)大數(shù)據(jù)分析，每局比賽甲獲勝的概率約為，乙獲勝的概率約為．（1）若比賽為三局兩勝制：（i）設(shè)比賽結(jié)束時(shí)比賽場(chǎng)次為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）求乙最終獲勝的概率；（2）若比賽為五局三勝制，已知甲最終獲勝了，求在此條件下進(jìn)行了5局比賽的概率．解：（1）（i）所有可能的取值為2，3，，所以的分布列為：23.（ii）乙最終獲勝的概率.（2）設(shè)事件“甲最終獲勝”，事件“共進(jìn)行了5場(chǎng)比賽”．則，，故.19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)，證明：在上存在唯一的極小值點(diǎn)，且．(參考數(shù)據(jù)：)解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，無(wú)極大值．（2）函數(shù)的定義域?yàn)?/p>