高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省如皋市2025屆高三第三次適應(yīng)性考試（三）數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．設(shè)集合A=x1x<1,B=A．1,3 B．0,1 C．-1,2,3 D．2,3【答案】C【解析】不等式1x<1，可化為x-1x所以x<0或x>1，故A=xx<0或不等式x-3x+1≤0的解集為所以B=-1,0,1,2,3所以A∩B=-1,2,3故選：C．2．已知e1，e2為平面內(nèi)一組基底，AB=e1+ae2，CB=e1-4eA．2 B．-2 C．0 D．1【答案】A【解析】AB?=e因?yàn)锳B與BD共線，∴a=2，故選：A．3．在等比數(shù)列an中，a5?a6?aA．36 B．±6 C．-6 D．6【答案】D【解析】等比數(shù)列an中a5a6a∴a4=±a2a6故選：D．4．已知9個數(shù)據(jù)：x1，x2，?，x8，x9的均值為x，方差為2，現(xiàn)將A．95 B．2 C．185 D【答案】A【解析】由題意得2=199則新數(shù)據(jù)的方差s==1故選：A．5．已知直線l:mx+y+2m=0與圓C:x2+y2+6x-2y=0交于A，A．2 B．4 C．5 D．10【答案】B【解析】直線l:mx+y+2m=0過定點(diǎn)P-2,0，圓C:C-3,1,CP=2,∴設(shè)C到S△ABC=12?2故選：B．6．已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A在C上，過A作l的垂線，垂足為A1．若∣AF∣=∣AA．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】因點(diǎn)A在C上，則|AF|=|A1A|，又|如圖，準(zhǔn)線l與y軸交于點(diǎn)M，在Rt△A1FM中，即AF=4故選：B7．已知正三棱臺ABC-A1B1C1，A1C1AC=23A．5:4 B．12:7 C．2:1 D．15:4【答案】B【解析】根據(jù)A1C1AC=23則在正三棱臺ABC-A1B1C過O作EF//AC分別交AB，BC于點(diǎn)E，∵O為△ABC的重心，∴BE∴A1B1//∴A1E//BB1且A設(shè)此正棱臺高為h，則臺體體積V=1棱柱的體積V1=3∴兩部分體積之比為12:7，故選：B．8．已知函數(shù)fx=sin5π12-2x+sinπ12+2x，將fx的圖象向左平移θ(θ>0)A．7π12 B．π3 C．π【答案】C【解析】因?yàn)閒x==2所以gx因?yàn)閒x與gx關(guān)于y軸對稱，則f-x∴-2x+π3+2x+2θ+π3所以θ的最小值為π6故選：C.二、多選題9．已知復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1，ZA．若z1-B．若z12C．若∣z1D．若OZ1【答案】BC【解析】z1-z2<0，如z1=1+i，z12+z22=0，∴z1z1=a+bi，z2=c+d即a+c2則ac+bd=0，OZ1?設(shè)OZ1=1,1，OZ故選：BC．10．已知函數(shù)fx=4xA．fxB．fx的對稱中心為C．過點(diǎn)1,a-3作曲線y=fxD．若函數(shù)的一個零點(diǎn)在-1,1之間，則它所有零點(diǎn)都在-1,1之間【答案】AB【解析】對于A中，由函數(shù)fx=4x3-3x+a，可得f當(dāng)x<-12時(shí)，當(dāng)-12<x<當(dāng)x>12時(shí)，所以fx在x=-12處取極大值，在x=對于B中，因?yàn)楹瘮?shù)y=4x3-3x所以函數(shù)fx關(guān)于0,a中心對稱，所以B對于C中，作出fx當(dāng)x<0時(shí)，fx為上凸函數(shù)，fx在拐點(diǎn)0,a處的切線為它與x=1恰交于P1,a-3當(dāng)x>0時(shí)，fx為上凹函數(shù)，f過P只能作fx的兩條切線l1,對于D中，由A知函數(shù)fx在-∞,-1要使fx有零點(diǎn)，則只需f-1當(dāng)a=1時(shí)，fx可得fx有一個零點(diǎn)12∈-1,1故選：AB．11．已知數(shù)列an，設(shè)mn=a1+a2+?+annn∈N*，若an滿足性質(zhì)Ω：存在常數(shù)c，使得對于任意兩兩不等的正整數(shù)A．若an=2n-1，則數(shù)列an為B．若數(shù)列an是“夢想數(shù)列”，則常數(shù)C．若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2n-1D．若數(shù)列an是“夢想數(shù)列”，則a【答案】ABD【解析】若an是“夢想數(shù)列”，則i-jm交換i，j的位置?j-imk+∴c=0，B正確．對于A，若an=2n-1，∴mn=1+2n-1n2n∴i-j∴an為“夢想數(shù)列”，對于C，mn=2n-1n，取i=1，∴an不為“夢想數(shù)列”，對于D，令i=1，j=2，記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，∵an是∴(i-j)m?Skk≥2時(shí)，Sk-1=①-∴ak+1-ak=a∴an+1-an=a2故選：ABD．三、填空題12．已知正四棱臺上底面邊長為2，下底面邊長為22，高為3，則該四棱臺外接球的表面積為【答案】20【解析】上底正方形外接圓圓心O1，半徑O1C'=1設(shè)球心O半徑R，∴OO2該四棱臺外接球的表面積S=4π故答案為：20π13．函數(shù)fx=2【答案】1【解析】當(dāng)x≥-ln2時(shí)，2ex-1≥0，此時(shí)fx=2ex-1-2x，f'x=2ex當(dāng)x<-ln2時(shí)，2ex-1<0，此時(shí)fx=1-2綜上：函數(shù)fx=故答案為：114．已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，x軸上方的兩點(diǎn)A,B【答案】17【解析】如圖，由題意，令A(yù)F1=tt>0，則BF因?yàn)橐訟B為直徑的圓過F2，則A又AF1F2B則在Rt△AF1F2因?yàn)閠>0，所以解得t=-a+a在Rt△ABF2且sin∠BAF2在△ABF1中，由余弦定理可得∴2a+2t解得t=2a3，∴2a∴e2故答案為：173四、解答題15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，∠BAD=90°,AB=2,CD=4，PA⊥PD且PA=PD，M,N分別是PD,BC的中點(diǎn)．（1）求證：AD⊥PN；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，直線PN與平面ABCD所成角的正切值為23，求二面角M-BC-D（1）證明：取AD中點(diǎn)H，連接PH,HN，因?yàn)镻A=PD，且H為中點(diǎn)，所以PH⊥AD，又因?yàn)镠,N為AD,BC中點(diǎn)，所以HN//AB，因?yàn)镈A⊥AB，所以HN⊥AD又因?yàn)镻H∩HN=H，PH?平面PHN，HN?平面PHN，所以AD⊥面PHN，因?yàn)镻N?面PHN，所以AD⊥PN．（2）解：因?yàn)槊鍼AD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，PH⊥AD，PH?平面PAD，所以PH⊥面ABCD，可得∠PNH為PN與平面ABCD所成角，即tan∠PNH=在梯形ABCD中，由AB=2,DC=4，且H,N為AD,BC中點(diǎn)，可得HN=3，所以PH=HNtan又因?yàn)镻A=PD,PA⊥PD，可得AD=4，以H為中點(diǎn)，以HA,HN,HP所在的直線分別為x軸，如圖所示，則D-2,0,0BC設(shè)面MBC的一個法向量n1=x,y,z取x=1，可得y=2,z=7，所以n1又因?yàn)镻H⊥平面DBC，所以平面DBC的一個法向量n2則cosn1,n

16．已知一個黑色袋子里裝有2個紅球，4個白球，這些球除顏色不同外，其余均相同，甲同學(xué)每次從袋子中任取一個球，不放回，直到把兩個紅球都取出來即終止，記此時(shí)袋子里剩余球的個數(shù)為X．（1）求甲同學(xué)取球兩次即終止的概率；（2）求隨機(jī)變量X的分布列及期望．解：（1）設(shè)甲同學(xué)取球兩次即終止為事件A，PA（2）X的可能取值為0，1，2，3，4PX=0=CP隨機(jī)變量X的分布列為：E答：甲同學(xué)取球兩次即終止的概率為115，隨機(jī)變量X的期望為417．在銳角△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，面積為S，滿足2S=b（1）求證：B=2A；（2）求2acos（1）證明：由2S=b2-a2由余弦定理得：b2=a化簡得：c-2acos由正弦定理有：sinC-2即sinAcosB+因?yàn)?<A<π2，0<B<π因?yàn)檎液瘮?shù)y=sinx在-π2,（2）解：由正弦定理得2a=2cos因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，則0<A<π20<B=2A<π2令t=cosA，則目標(biāo)式為ft所以函數(shù)ft在22,則ft因?yàn)閒32=1-33故當(dāng)f32=因此，2acosB-3b2a18．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=32，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)（1）求橢圓C的方程；（2）記OP，OQ的斜率分別為k1，k2，求（3）若直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B的“和點(diǎn)”分別為A1，B1，且OA解：（1）由題意e=ca=32所以橢圓C的方程為x2（2）由題意k1令y0x0當(dāng)t>0時(shí)，y=-t-2t=-當(dāng)t<0時(shí)，y=-t-2t≥2所以k1k2即k1k2（3）方法一：①當(dāng)l斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l:x=my+n，Ax1,y1，Bx=my+nxΔ=4m∵OA1⊥O所以x1+y所以m2+1y?5n2=4∵AB=1+m2?∣x∴S當(dāng)且僅當(dāng)n2=m2-②當(dāng)l斜率為0時(shí)，設(shè)直線l:y=t，聯(lián)立y=tx則x1由x1x2+y所以S△AOB綜上：(S方法二：設(shè)Ax1,y1，B由OA∴x1+設(shè)OA=ρ1，OB=ρ2，其中即B-ρ2?1∴S△AOB=12當(dāng)且僅當(dāng)ρ1ρ2=12或2即ρ1=1，ρ219．定義：函數(shù)y=fx圖象上不同的三點(diǎn)A，B，C，它們的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，且該函數(shù)在點(diǎn)B處切線的斜率恒小于直線AC的斜率，則稱該函數(shù)是其定義域上的“等差偏移”函數(shù)，設(shè)f（1）討論y=fx（2）若y=fx是其定義域上的“等差偏移”函數(shù)，求a（3）當(dāng)a=1時(shí)，數(shù)列an滿足an+1=fan+2an（1）解：f'當(dāng)a≤0時(shí)，f'x<0,fx在當(dāng)a>0時(shí)，令f'x=0?x=a,易知fx在∴f(x)（2）解：方法一：設(shè)xA=x由fx是其定義域上的＂等差偏移＂函數(shù)，AkAC=∴a2x2-∴a2t-1t+1-lnt<0，而t>1即a的取值范圍為0,方法二：設(shè)A，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2(0<