高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市六校聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】，，因此，復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B.2.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得，由可得，即，解得.

故選：C3.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，.故選：C.4.在中，角的對(duì)邊分別為，，，，則角的值是（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】由正弦定理可得，即，因?yàn)椋?，所以，所以或，故選：D5.已知圓錐的底面周長(zhǎng)為，側(cè)面積為，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線為，則，解得，則該圓錐的高，故該圓錐的體積為，故選：A.6.如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)和，測(cè)得，，長(zhǎng)米，并在處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t塔高（）A. B.C. D.【答案】D【解析】在中，，，則，由正弦定理得，則，在中，，所以.故選：D7.三棱錐所有棱長(zhǎng)都為2，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線，所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】連接CF，取CF的中點(diǎn)O，連接EO，BO，∵E是PC的中點(diǎn)，∴EO∥PF，∴（或其補(bǔ)角）是異面直線BE與PF所成的角.設(shè)三棱錐P－ABC的所有棱長(zhǎng)為2，則,則，則，在中，由余弦定理得，∴異面直線BE與PF所成角的余弦值為.8.已知為的重心，過的直線分別與邊交于點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹匦模渣c(diǎn)是的中點(diǎn)，則，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以可設(shè)，設(shè)，則，所以，即，又因?yàn)闉榈闹匦?，所以，所以，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.9.設(shè)為復(fù)數(shù)，下面四個(gè)命題中，真命題的是（）A.若互為共軛復(fù)數(shù)，則為實(shí)數(shù)B.對(duì)于復(fù)數(shù)，若，則C.對(duì)于復(fù)數(shù)，若，則D.復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值為【答案】AD【解析】設(shè).對(duì)于A，因?yàn)榛楣曹棌?fù)數(shù)，故，故，故A正確；對(duì)于B，取，則，同理，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，仍取，則，當(dāng)不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由可得對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，且該圓的圓心為，半徑為1，故的最大值為，故D正確；故選：AD.10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知任意角以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為始邊，若終邊經(jīng)過點(diǎn)，且（），定義：，稱“”為“關(guān)于的弦函數(shù)”，對(duì)于“關(guān)于x的弦函數(shù)”，下列說法正確的是（）A.該函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為B.該函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.若，則該函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緼CD【解析】由三角函數(shù)的定義可得，故，對(duì)于A，的最小正周期為，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，時(shí)，，故，故，故函數(shù)的值域?yàn)椋蔇正確；故選：ACD.11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在線段上，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，C.存在點(diǎn)，使得平面平面D.三棱錐的體積為定值【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由于分別是的中點(diǎn)，故.而，所以，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，由于，故，而，所以，故B正確；對(duì)于C，假設(shè)平面平面，則兩平面沒有公共點(diǎn)，從而兩直線沒有公共點(diǎn)，又由于兩直線都在下底面內(nèi)，故.而，這意味著和重合，矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)到平面的距離和到直線的距離分別為和，則，從而三棱錐的體積，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知、為銳角，，，則_________.【答案】【解析】因?yàn)?，為銳角，則，，可得，且、為銳角，則，所以.故答案為：.13.在正方體中，分別是的中點(diǎn)，，則過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面周長(zhǎng)為________．【答案】【解析】正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，．平面平面，平面，由正方體的棱長(zhǎng)為4，所以截面是以為腰，為上底，為下底的等腰梯形，故周長(zhǎng)為．故答案為：.14.在中，角的對(duì)邊分別為，的面積，若且，則________.【答案】【解析】，因?yàn)?，所以，由，由余弦定理得，，因?yàn)?，所以，則，設(shè)，整理得，，解得或（大于1，舍去），所以，故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，設(shè).（1）用表示;（2）求.解：（1），.（2）.16.如圖，在三棱柱中，底面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：平面．（1）證明：由底面，且底面，所以，又因?yàn)?，，且平面，所以平面，因?yàn)?，所以．?）證明：設(shè)與的交點(diǎn)為，連結(jié)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面?7.“堆云積雪，芳華絕代”，春天的南京，是玉蘭花的盛宴.清涼山公園，靈谷寺，朝天宮，總統(tǒng)府……處處繁花似錦，處處風(fēng)姿卓越，處處雅致茂盛.除白玉蘭外，南京還有黃玉蘭和紫玉蘭等.某種植園準(zhǔn)備將如圖扇形空地分成三部分，分別種植白玉蘭、黃玉蘭和紫玉蘭.已知扇形的半徑為米，圓心角為，動(dòng)點(diǎn)在扇形的弧上，點(diǎn)在線段上，且.（1）當(dāng)米時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）問：點(diǎn)在什么位置時(shí)，白玉蘭種植區(qū)的面積最大，并求出此時(shí)的最大值.解：（1）由，故，在中，由余弦定理可得：.即，即.解得，因?yàn)椋源穑洪L(zhǎng)為米.（2）設(shè)，，由，故，又，在中，由正弦定理得，，即，則，令，當(dāng)，即時(shí)，，所以，此時(shí)位于的中點(diǎn).答：當(dāng)位于的中點(diǎn)時(shí)，的面積最大，最大值為平方米.18.在中，角的對(duì)邊分別為，.（1）求；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍；（3）設(shè)點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，若，且，求的值.解：（1）由正弦邊角關(guān)系得，整理得，由余弦定理得，又，所以.（2）由（1）知，所以，因?yàn)?，又為銳角三角形，則，得到，所以，則，所以的取值范圍為.（3）設(shè)，則，，在中，①，在中，②，又，①②得，，即，即，解得，所以，因?yàn)?，則，即，化簡(jiǎn)得，即.19.如圖，在四棱錐中，，，，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，平面平面，點(diǎn)在棱上，直線平面.（1）求的值；（2）若，求三棱錐的體積；（3）設(shè)二面角的平面角為，直線與平面所成的角為，若的取值范圍是，求的取值范圍.解：（1）連接交于，連接.因?yàn)橹本€平面，平面，平面平面，所以，因?yàn)?，，所以根?jù)相似的性質(zhì)可得.則.（2）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，.因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為6的等邊三角形，則，.又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以?/p>