高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市六校聯(lián)合體2024-2025學年高二下學期期中調研數(shù)學試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上.1.記為等差數(shù)列的前n項和，若，則（）A.17 B.19 C.21 D.23【答案】C【解析】由等差數(shù)列片段和的性質有是等差數(shù)列，所以，可得.故選：C2.直線被圓C：截得的弦長為（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】由圓方程可知圓心坐標，半徑為2，圓心到直線的距離為：，所以弦長為，故選：D3.已知隨機變量的分布列如下表，若，則（）X235Pab2b－aA. B. C. D.【答案】A【解析】由離散型隨機變量分布列的性質及期望公式可知：，解得.故選：A.4.已知的導函數(shù)圖象如圖，則的極大值點為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由圖知上，上且僅有，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以的極大值點為.故選：D5.展開式中，的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的展開式通項為，因為，在中，令，系數(shù)為；在，令可得，系數(shù)為.綜上所述，展開式中的系數(shù)為.故選：B.6.已知兩個變量與對應關系如下表：若與滿足一元線性回歸模型，且經驗回歸方程為，則（）A.與負相關B.在處的殘差為C.經驗回歸直線過點D.變量每增加一個單位，實際值一定增加個單位【答案】C【解析】對于A選項，因為回歸直線的斜率為，所以與正相關，A錯；對于B選項，當處的殘差為，B錯；對于C選項，，則，故經驗回歸直線過點，C對；對于D選項，變量每增加一個單位，實際值增加個單位左右，D錯.故選：C.7.甲、乙、丙、丁、戊、己六名同學參加數(shù)學考試，已知成績各不相同．甲和乙去詢問老師成績，老師對甲說：“很遺憾，你和乙都不是第一名．”對乙說：“你不是最后一名．”從這兩個回答分析，從第一名到第六名的排列有多少種不同情況?（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】B【解析】由題意可知，乙既不是第一名，也不是第六名，則乙的名次有種情況，由于甲不是第一名，則甲的名次只能是乙的名次外不是第一名的四個位次之一，有種，再將其余四位同學的名次進行排序即可，所以，第一名到第六名的排列種數(shù)為種.故選：B.8.已知O為坐標原點，離心率為3的雙曲線左、右焦點分別為,過點且傾斜角為銳角的直線l與C的右支交于M，N兩點.設△MF1F2與△NF1F2的內切圓圓心分別是P，Q，直線OP，OQ的斜率分別是，則＝（）A.－4 B. C.4 D.【答案】A【解析】如圖所示，設的內切圓和三邊分別相切于點，則，又，所以，所以．所以，設直線的傾斜角為，則由內切圓的性質可得，在中，所以；因為雙曲線的離心率，所以同理可得，所以；所以，故選：A．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應位置上.全部選對得6分，部分選對得部分分，不選或有錯選的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若隨機變量和滿足，且，則B.若隨機變量，，則C.若隨機變量，則D.在含有件次品的件產品中任取件，取到的次品數(shù)為，則【答案】BC【解析】對于A選項，隨機變量和滿足，且，則，A錯；對于B選項，隨機變量，，則，B對；對于C選項，因為隨機變量，則，C對；對于D選項，在含有件次品的件產品中任取件，取到的次品數(shù)為，所以，D錯.故選：BC.10.某位同學參加投籃比賽，第一次投籃投中的概率為．如果他第一次投中，那么在第二次投籃中更有自信，投中的概率為．如果他第一次未投中，那么在第二次投籃中會緊張，投中的概率為．下列說法正確的是（）A.連續(xù)投籃兩次都投中的概率為B.連續(xù)投籃兩次都未投中的概率為C.第二次投籃投中的概率為D.若他第二次投中，則他第一次投中的概率為【答案】ACD【解析】設事件：第一次投籃投中，事件：第二次投籃投中，則，，，，，對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；

對于C，因為，故C正確；對于D，由條件概率得，故D正確.故選：ACD.11.已知數(shù)列的前n項和為,為數(shù)列的前n項積,滿足,給出下列四個結論，正確的是（）A. B.為等比數(shù)列C. D.數(shù)列的最大項的值為【答案】ACD【解析】因為，所以，即，故A正確；因為為數(shù)列的前n項積，故，所以，故，又故是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，易知不為等比數(shù)列，故B不正確；，故C正確；令，解不等式組，得，當時，，當時，，所以數(shù)列的最大項的值為，D正確，故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.12.若平面的一個法向量,平面的一個法向量,且,則x＋z＝________．【答案】-1【解析】因為，所以，故存在實數(shù)使得：，即，所以，解得，所以.故答案為：13.在學校的大課間風采展示中，某班級準備了3個舞蹈，3個獨唱共6個節(jié)目，要求相同類型的節(jié)目不能相鄰，那么節(jié)目的不同演出順序共有________種．【答案】72【解析】第一個節(jié)目是舞蹈類節(jié)目，則有種不同演出順序；第一個節(jié)目是獨唱類節(jié)目，則有種不同演出順序；故一共有：種不同演出順序，故答案為：72.14.一個不透明的袋子中有6個白球和2個紅球，這些球除顏色外完全相同．某人從袋子中不斷地隨機摸球，每次從袋子中摸出一個球，直到2個紅球被全部取出時停止．則摸球次數(shù)為3的概率是________，摸球次數(shù)的期望是________．【答案】；6【解析】摸球次數(shù)為3的概率為.由題知摸球次數(shù)可取2，3，4，5，6，7，8，，，，，，，，，故答案為：①②6四、解答題：本大題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.某地區(qū)大型服裝店對在該店購買衣服的客戶進行滿意度調研以便能更好地服務客戶，統(tǒng)計了2024年1月至5月對該家服裝店不滿意的客戶人數(shù)如下：月份x12345不滿意的人數(shù)y1201051009580（1）通過散點圖可知對該服裝店服務不滿意的客戶人數(shù)y與月份x之間存在線性相關關系，求y關于x的經驗回歸方程，并預測2024年8月對該大型服裝店服務不滿意的客戶人數(shù)；（2）工作人員從這5個月內的調查表所記錄的客戶中隨機抽查100人，調查滿意度與性別的關系，得到下表，能否有99%的把握認為滿意度與性別有關?滿意不滿意合計女客戶4812男客戶2218合計附：經驗回歸方程為，其中．，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）由表中的數(shù)據(jù)知，，，，，，，不滿意人數(shù)y與月份x之間的經驗回歸方程為，當x＝8時，，所以預測2024年8月對該大型服裝店服務不滿意的客戶人數(shù)為55.（2）零假設：服務滿意度與性別無關，由表中的數(shù)據(jù)得，所以有99%的把握認為滿意度與性別有關.16.已知函數(shù)，．（1）求的單調區(qū)間；（2）若恒成立，求的取值范圍．解：（1）定義域為，，令得，令得，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間．（2）法1：因為，所以，即，令，因為在單調遞增且．所以當時，，在單調遞減；當時，，在單調遞增；故當時，，所以．法2：構造，分類討論，，求的最小值大于等于0.17.如圖，在三棱柱中，是的中點，、均為邊長為的正三角形，且.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）如圖，取的中點，連接、，因為、均為邊長為的正三角形，所以，，且，同理可得，又因為，故，所以，又因，、平面，所以平面．又因為平面，所以平面平面．（2）因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，由得，，，，設是平面的一個法向量，則，令，則，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知橢圓的左焦點為，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）若O為坐標原點，橢圓C的右頂點為A，點E的坐標為，過點F的直線l與橢圓C交第一象限于點M，與線段AE交于點P．（i）若的面積是1，求直線l的斜率；（ii）若的面積與的面積之比為，求直線l的斜率．解：（1）依題意，橢圓的半焦距，由離心率為，得，所以橢圓方程為.（2）（i）由點，得線段AE的方程為，設，由的面積是1，得，而，解得，，即點，又點.所以直線l的斜率.（ii）依題意，直線l的斜率存在且為正，設直線l的，點，由的面積與的面積之比為，得，而，則，又點均在第一象限，因此，由，解得，即，則，，而，因此，整理得，解得，所以直線l的斜率為.19.五一假期期間，小明去商場消費，消費過后可以進行一次抽獎，抽獎規(guī)則如下：消費者可以連續(xù)拋擲若干次骰子，當骰子擲出5點或6點時，消費者得2分，其余情況消費者得1分，且每一次拋擲骰子的結果相互獨立．商場根據(jù)得分給予相應獎品.（1）求小明連續(xù)拋擲骰子3次，累計得分為4分的概率；（2）求小明連續(xù)拋擲骰子次，累計得分為分的概率，，；（結果用和表示）（3）求小明連續(xù)拋擲若干次，累計得分為分的概率．（結果用表示）解：（1）由題知小明得2分的概率為，小明得1分的概率為．記事件“小明參與3次擲骰子游戲，累計得分為4分”為A，則前3次中有2次得1分，1次得