高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1吉林省松原市乾安縣G35、聯(lián)合體吉林八校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題包括8個(gè)小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.1.已知函數(shù)是的導(dǎo)數(shù)，則（）A. B.0 C.1 D.【答案】A【解析】，所以.故選：A2.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A.0 B.10 C.15 D.30【答案】C【解析】因?yàn)樗杂忠驗(yàn)楣蔬x：C.3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：B4.有5本不同的書，全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（）A.1024種 B.625種 C.240種 D.120種【答案】C【解析】由題先把5本書的兩本捆起來看作一個(gè)元素共有種可能，這一個(gè)元素和其他的三個(gè)元素在四個(gè)位置全排列共有種可能，所以不同的分法種數(shù)為種，故選：C5.在一個(gè)關(guān)于智能助手的準(zhǔn)確率測(cè)試中，有三種不同的模型，，.模型的準(zhǔn)確率為0.8，模型的準(zhǔn)確率為0.75，模型的準(zhǔn)確率為0.7.已知選擇模型，，的概率分別為，，.現(xiàn)隨機(jī)選取一個(gè)模型進(jìn)行測(cè)試，則準(zhǔn)確率為（）A.0.56 B.0.66 C.0.76 D.0.86【答案】C【解析】由全概率公式可知，所求準(zhǔn)確率為.故選：C.6.設(shè)，則中最大的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式為，所以展開式各項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)相等或互為相反數(shù)，又由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第五、第六項(xiàng)，即，，所以中最大的是.故選：B.7.設(shè)公比為q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，且，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.數(shù)列無最大值C.是數(shù)列中的最大值 D.【答案】D【解析】A選項(xiàng)，，若，則對(duì)任意的，都有，則，不合要求，A錯(cuò)誤；BC選項(xiàng)，若，則，與矛盾，不合要求，當(dāng)時(shí)，，又，所以，即，又，故滿足要求，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故有最大值，最大值為，BC錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，，所以，D正確.故選：D8.有一個(gè)游戲，規(guī)則如下：如圖，在圓上有，，，，，，，共八個(gè)點(diǎn)，一枚棋子起始位置在點(diǎn)處，拋擲一枚均勻的骰子，若骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)為.則棋子前進(jìn)步，每步從一個(gè)點(diǎn)按順時(shí)針方向前進(jìn)到相鄰的另一個(gè)點(diǎn)，可以循環(huán)進(jìn)行，拋擲三次骰子后，游戲結(jié)束.若此時(shí)棋子在點(diǎn)處，則游戲過關(guān).試問游戲結(jié)束時(shí)過關(guān)的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】舉出在點(diǎn)數(shù)中能夠使得三次數(shù)字和為或的有：，，共有7種組合，前2種組合每種情況可以排列出種結(jié)果，共有種結(jié)果；后5種組合各有3種結(jié)果，共有種結(jié)果，由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有種結(jié)果；拋次骰子共有種結(jié)果，故拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)處的概率.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分；共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的部分圖象如圖所示，則（）A.在上單調(diào)遞增 B.在上單調(diào)遞減C.是的極小值點(diǎn) D.是的極大值點(diǎn)【答案】AC【解析】對(duì)于A,當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞增，A正確，對(duì)于B,當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞增，B錯(cuò)誤，對(duì)于C,當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞減，故是的極小值點(diǎn)，C正確，D錯(cuò)誤，故選：AC10.下列四個(gè)命題中為真命題的是（）A.已知，且，則B.4個(gè)男同學(xué)，3個(gè)女同學(xué)站成一排，任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰，有240種不同的排法C.二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是45D.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由得，，故A正確；對(duì)于B，4個(gè)男同學(xué)，3個(gè)女同學(xué)站成一排，任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰，有種不同的排法，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為，故C正確；對(duì)于D，由得，曲線對(duì)稱軸為，則，故D正確；故選：ACD．11.為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，公差，若，且，則()A.B.C.對(duì)于任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得D.一定存在三個(gè)正整數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，，三個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列【答案】AC【解析】由得，，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，，結(jié)合及可得：，，故，，，則即為，∵n是正整數(shù)，∴也是正整數(shù)，故對(duì)于任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，故C正確；成等差數(shù)列，∵均為偶數(shù)，∴等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，左右不可能相等，故D錯(cuò)誤；故選：AC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)偶數(shù)和2個(gè)奇數(shù)，組成一個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是________.【答案】【解析】2，4全被取到，只需從1，3，5中任選兩個(gè)，再與2，4共4個(gè)數(shù)字在四個(gè)數(shù)位上全排列，此時(shí)共有個(gè)四位數(shù).故答案為：.13.已知，，，則_______.【答案】【解析】由概率乘法公式可得，由條件概率公式可得.故答案為：.14.趙爽是我國古代的數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”.第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)就是以“趙爽弦圖”為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的.如圖，四邊形是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如果小正方形的面積為1，再以正方形為“小”正方形向外作“弦圖”，得到正方形……按此作法進(jìn)行下去，記，，正方形的面積為.若，則___________.【答案】【解析】設(shè)，，則，，所以.當(dāng)時(shí)，設(shè)，，則，，所以，，所以，所以數(shù)列是以25為首項(xiàng)，25為公比的等比數(shù)列，所以，，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.解：（1）中，令得，當(dāng)時(shí)，，又適合上式，所以；（2）由（1）知：，所以.16.已知.其中，且展開式中僅有第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大.（1）求n的值及二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求（用數(shù)值作答）；（3）求的值（用數(shù)值作答）解：（1）由展開式中僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大可知為唯一的最大，故，則第5項(xiàng)為（2）令，則（3）令，則，與（2）中兩式求和，故17.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在處取得極小值，求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）已知，且函數(shù)的極大值是1，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).解：（1）因?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極小值，所以，解得，此時(shí)，由，得到或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取到極小值，符合題意.所以.（2），令，則或，若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到極大值，即，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到極小值，即，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn).18.某地區(qū)擬建立一個(gè)藝術(shù)博物館，采取競(jìng)標(biāo)的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經(jīng)過層層篩選，甲、乙兩家建筑公司進(jìn)入最后的招標(biāo).現(xiàn)從建筑設(shè)計(jì)院聘請(qǐng)專家設(shè)計(jì)了一個(gè)招標(biāo)方案：兩家公司從6個(gè)招標(biāo)問題中隨機(jī)抽取3個(gè)問題，已知這6個(gè)招標(biāo)問題中，甲公司可正確回答其中4道題目，而乙公司能正確回答每道題目的概率均為，甲、乙兩家公司對(duì)每題的回答都是相互獨(dú)立，互不影響的.（1）求甲、乙兩家公司共答對(duì)2道題目的概率；（2）設(shè)甲公司答對(duì)題數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差；（3）請(qǐng)從期望和方差的角度分析，甲、乙兩家哪家公司競(jìng)標(biāo)成功的可能性更大？解：（1）記“甲、乙兩家公司共答對(duì)2道題”的事件為，它是甲乙各答對(duì)1道題的事件、甲答對(duì)2題乙沒答對(duì)題的事件和，它們互斥，則有，所以甲、乙兩家公司共答對(duì)2道題目的概率是.（2）設(shè)甲公司答對(duì)題數(shù)為，則的取值分別為，，則的分布列為：123期望，方差.（3）設(shè)乙公司答對(duì)題數(shù)為，則的取值分別為，，，則的分布列為：0123期望，方差，顯然，所以甲公司競(jìng)標(biāo)成功的可能性更大.19.對(duì)于函數(shù)，規(guī)定，，…，，叫做函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)．若函數(shù)在包含的某個(gè)閉區(qū)間上具有n階導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)閉區(qū)間上任意一點(diǎn)x，，該公式稱為函數(shù)在處的n階泰勒展開式，是此泰勒展開式的n階余項(xiàng)．已知函數(shù)．（1）寫出函數(shù)在處的3階泰勒展開式（用表示即可）；（2）設(shè)函數(shù)在處的3階余項(xiàng)為，