高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省岳陽市臨湘市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（共40分）1.向量，若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，所以，由題意可得，所以，則．故選：C.2.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，所以該直線的斜率為：.設(shè)直線傾斜角為，則，且，所以.故選：C3.在所有棱長均為2的平行六面體中，，則的長為（）A. B. C. D.6【答案】C【解析】因為，所以，從而，即的長為．故選：C.4.已知向量，，且，那么等于（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】因為，，且，所以，即，所以，所以，故選：C．5.如圖，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】=故選：A.6.已知直線過點(diǎn)，且縱截距為橫截距的兩倍，則直線的方程為（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】根據(jù)題意，分2種情況討論:①直線過原點(diǎn)，設(shè)直線方程為，又由直線經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，此時直線的方程為，即；②直線不過原點(diǎn)，設(shè)其方程為，又由直線經(jīng)過點(diǎn)，則有，解可得，此時直線的方程為，故直線的方程為或.故選：D.7.在棱長為2的正方體中，下列說法正確的是（）A.平面與平面的距離為 B.三棱錐外接球的表面積為C. D.直線BC與平面所成的角為【答案】A【解析】D選項，如圖1，連接，與相交于O點(diǎn)，因為⊥平面，且平面，所以⊥，又因⊥，，平面，所以⊥平面，即直線與平面所成的角為，且，故D錯誤；C選項，如圖2，連接，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，則，設(shè)平面法向量為，則，令，則，則，則，所以⊥平面，又因為平面，則⊥，故C錯誤；B選項，三棱錐的外接球就是正方體的外接球，設(shè)其外接球的半徑為R，則，即，所以，故B錯誤；A選項，如圖3，因為，平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，由B選項可知，平面的一個法向量為，且，則兩平面間的距離，故A正確.故選：A8.已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，兩條直線和的交點(diǎn)為，則的最大值為（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由題意可得直線恒過定點(diǎn)，恒過定點(diǎn)，且兩直線的斜率之積為，所以兩直線相互垂直，所以點(diǎn)在以線段為直徑的圓上運(yùn)動，，設(shè)，則，所以，所以當(dāng)時，即時，取得最大值，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D.二、多選題（共20分）9.如圖，四棱柱中，為的中點(diǎn)，為上靠近點(diǎn)的五等分點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】，即，故A錯誤、B正確；，即，故C錯誤，D正確.故選：BD.10.下列結(jié)論正確的是（）A.已知向量，則在上的投影向量為B若對空間中任意一點(diǎn)，有則P，A，B，C四點(diǎn)共面C.已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底D.若直線的方向向量為平面的法向量，則直線【答案】ABC【解析】因為，所以在上的投影向量為，故A對；因為，且，則P，A，B，C四點(diǎn)共面，因為，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面，故B對；是空間的一組基底，若，所以兩向量之間不共線，所以也是空間的一組基底，故C對；因為直線的方向向量為平面的法向量，且，則直線或，故D錯；故選：ABC11.由正四棱錐P-ABCD和正方體ABCD-A1B1C1D1組成的多面體的所有棱長均為2，則（）A.平面 B.平面平面C.與平面所成角的余弦值為 D.點(diǎn)P到平面的距離為【答案】BD【解析】以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，連接，與交點(diǎn)為，連接，則平面，因為正四棱錐和正方體的所有棱長均為，所以，，點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，又，，，，，對于A：，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取得，因為，所以與平面不平行，故A錯誤；對于B：由A得平面的一個法向量為，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取得，因為，即，所以平面平面，故B正確；對于C：由A得平面的一個法向量為，，設(shè)與平面所成角為，則，所以，即與平面所成角的余弦值為，故C錯誤；對于D：由A得平面的一個法向量為，因為，所以點(diǎn)到平面的距離，故D正確；故選：BD．12.如圖所示，在棱長為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則（）A.B.平面C.直線與平面所成的角為D.三棱錐外接球表面積為【答案】AD【解析】對于A，連接，則，因為，所以，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；對于B，連接，由正方體得，，又，所以，因為平面，即與平面不平行，所以與平面不平行，故B錯誤；對于C，由題意知，是直線與平面所成的角，且，所以直線與平面所成的角不是，故C錯誤；對于D，由正方體得，平面，且，所以三棱錐外接球的直徑，所以，外接球表面積為，故D正確；故選：AD．三、填空題（共20分）13.在正方體中，是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是__________.【答案】【解析】因為是正方體，建立以為原點(diǎn)的坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長為2，則有，，，，，，設(shè)異面直線與所成角為，．故答案為：．14.設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．【答案】【解析】解：關(guān)于對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線距離，即，解得，即；故答案為：15.已知，，若點(diǎn)Px,y在線段上，則的取值范圍是______.【答案】【解析】的幾何意義是點(diǎn)Px,y與點(diǎn)連線的斜率，又點(diǎn)Px,y在線段上，由圖知，因為，，所以，因為點(diǎn)P是線段AB上的動點(diǎn)，所以，故答案為：16.如圖，在正三棱柱中，、分別是、的中點(diǎn).設(shè)D是線段上的（包括兩個端點(diǎn)）動點(diǎn)，當(dāng)直線與所成角的余弦值為，則線段的長為_______.【答案】【解析】解：如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系：則設(shè)，則，設(shè)直線與所成角為所以，即，解得或（舍去），所以，故答案為：．四、解答題（共70分）17.如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．（1）證明：連接，因為E為BC中點(diǎn)，，所以①，因為，，所以與均為等邊三角形，，從而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）解：不妨設(shè)，，．，，又，平面平面．以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，設(shè)平面與平面的一個法向量分別為，二面角平面角為,而，因為，所以，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，從而．所以二面角的正弦值為．18.在三角形中，內(nèi)角所對邊分別為，已知.（1）求角的大?。唬?）若，三角形的面積為，求三角形的周長.解：（1）由正弦定理得，所以所以，整理得，因為，所以，因此，所以，所以.（2）由的面積為，得，解得，又,則，.由余弦定理得，解得，，所以的周長為.19.如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求與平面所成的角的正弦值．（1）證明：因為，E為的中點(diǎn)，所以；在和中，因為，所以，所以，又因為E為的中點(diǎn)，所以；又因為平面，，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）解：連接，由（1）知，平面，因為平面，所以，所以，當(dāng)時，最小，即的面積最小.因為，所以，又因為，所以是等邊三角形，因為E為的中點(diǎn)，所以，，因為，所以,在中，，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，又因為，所以，所以，設(shè)與平面所成的角為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.20.已知的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)在軸上，邊上的高所在的直線方程為．（1）求直線的方程；（2）若邊上的中線所在的直線方程為，求的值．解：（1）由條件知邊上的高所在的直線的斜率為，所以直線的斜率為，又因為，所以直線的方程為，即.（2）因為點(diǎn)在軸上．所以設(shè)，則線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)在直線上，所以，得，即，又點(diǎn)在直線上，所以，解得．21.在四棱錐中，四邊形是直角梯形，且平面，，點(diǎn)在棱上．（1）當(dāng)時，求證:平面;（2）若直線與平面所成的角為，二面角的余弦值為，求的值．（1）證明：連接交于點(diǎn)O，連接，由知，，∴，∵，∴，∴，又平面，平面，∴平面．（2）解：∵平面，∴為與底面所成的角，即，∴，又四邊形是直角梯形，故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，∴，，，設(shè)平面法向量為，則，即，令，則，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，因為二面角的余弦值為∴，解得，∴．22.在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為．現(xiàn)有兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼（例如，若收到1，則譯碼為1，若收到0，則譯碼為0）；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到，則譯碼為1，若依次收到，則譯碼為1）．（1）已知．①若采用單次傳輸方案，重復(fù)發(fā)送信號0兩次，求至少收到一次0的概率；②若采用單次傳輸方案，依次發(fā)送，證明：事件“第三次收到的信號為1”與事件“三次收到的數(shù)字之和為2”相互獨(dú)立．（2）若發(fā)送1，采用三次傳輸方案時譯碼為0的概