高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省部分學(xué)校2025屆高三“一起考”大聯(lián)考（模擬三）數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知集合A={0,1,2},B=x∈A．A∩B={1} B．A=B C．A∪B=B D．A?B【答案】A【解析】B=x∈Zx故A∩B={1}，A≠B，A∪B=A，B?A，故A正確，其它選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A.2．某科技公司對(duì)2012年至2024年的生產(chǎn)成本y（萬元）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作出如下散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖，判斷最適合作為該公司的生產(chǎn)成本y與時(shí)間變量x(x的值依次為1,2,?,13)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型的是（

）A．y=ax2+bC．y=alnx+b(a<0) D【答案】C【解析】根據(jù)圖中散點(diǎn)圖可知，散點(diǎn)大致分布在一條“對(duì)數(shù)型”函數(shù)曲線的周圍，A選項(xiàng)是“拋物線型”的擬合函數(shù)，且是增加的，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)是“直線型”的擬合函數(shù)，且是增加的，故B錯(cuò)誤；D選項(xiàng)是“冪函數(shù)型”的擬合函數(shù)，且是增加的，故D錯(cuò)誤；只有C選項(xiàng)的擬合函數(shù)符合題意，故C正確.故選：C.3．某學(xué)生要從5門選修課中選擇1門，從4個(gè)課外活動(dòng)中選擇2個(gè)，則不同的選擇種數(shù)為（

）A．11 B．10 C．20 D．30【答案】D【解析】先從5門選修課中選擇1門，有5種選法；再從4個(gè)課外活動(dòng)中選擇2個(gè)，有C42所以該學(xué)生不同的選擇種數(shù)為5×6=30.故選：D.4．已知等差數(shù)列an，m,n,p∈N*，則“2n=m+p”是“2aA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則an當(dāng)2n=m+p時(shí)，2a∴由2n=m+p可得2a當(dāng)d=0時(shí)，an=am=∴由2an=∴“2n=m+p”是“2an=故選：A.5．已知一直角梯形紙片上、下底邊邊長分別為2、4，高為3，該紙片繞著下底邊所在直線旋轉(zhuǎn)120°，則該紙片掃過的區(qū)域形成的幾何體的體積為（

A．6π B．8π C．16π【答案】B【解析】該紙片繞著下底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是一個(gè)底面半徑為3，高為2的圓柱和兩個(gè)底面半徑為3，高為1的圓錐構(gòu)成的組合體，則旋轉(zhuǎn)一周所得組合體的體積V=9π∴若旋轉(zhuǎn)120°，得到幾何體體積為1故選：B.6．已知復(fù)數(shù)z1,z2分別滿足z1=1，A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】設(shè)z2=x+yi如圖，復(fù)數(shù)z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以B-4,3為圓心，復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，1則z1-故選：D．7．已如雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過FA．102 B．10 C．52 D【答案】A【解析】連接F1B，設(shè)AF1=3x，則根據(jù)4AF1=3AB可知，AB=4x，因?yàn)锳F1⊥AB，由勾股定理得：F1B=5x，由雙曲線定義可知：AF1-A故選：A8．在資源有限的情況下，種群數(shù)量Nt隨時(shí)間t（單位：天）的變化滿足邏輯斯蒂模型：Nt=K1+KN0-1e-rt，其中常數(shù)K為環(huán)境容納量，N0為種群初始數(shù)量，r為比增長率．生態(tài)學(xué)家高斯（G.FA．1.38 B．1.53 C．1.77 D．2.03【答案】C【解析】由題意，N0=5，K1+因此K-12024K-1202=解得K=26807或因此-2r=ln26807所以大草履蟲種群的比增長率約為1.77.故選：C.二、多選題9．已知a>0,b>0，且a+b=2，則（）A．2a+2C．log2a+log【答案】BCD【解析】A：若a=b=1，顯然a+b=2成立，但是2+2<8，本選項(xiàng)不成立；B：因?yàn)閍>0,b>0，所以1a即1a+1b≥2C：因?yàn)閍>0,b>0，且a+b=2，所以log2a+log當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào)，顯然log2D：因?yàn)閍>0,b>0，且a+b=2，所以a+b2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào)，因此本選項(xiàng)正確，故選：BCD10．對(duì)于△ABC，有如下判斷，其中正確的判斷是（

）A．若sin2A+sinB．若△ABC是銳角三角形，則不等式sinA>C．若a=8，c=10，B=60°，則符合條件的三角形ABC有兩個(gè)D．若三角形ABC為斜三角形，則tan【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)閟in2A＋sin2B＜sin2C，所以由正弦定理得a2所以cosC=a2+b2-B選項(xiàng)，∵△ABC是銳角三角形，則0<π又f(x)=sinx在0，π2內(nèi)單調(diào)遞增，∴sin對(duì)于C，由余弦定理得，b2所以b=221，所以符合條件的三角形ABC有一個(gè)，所以C對(duì)于D，因?yàn)閠an(B+C)=所以tan因?yàn)閠an(B+C)=tan(所以tanB+所以tanA+tanB+故選：ABD11．設(shè)函數(shù)fx=xexA．若函數(shù)fx有兩個(gè)零點(diǎn)，則0<k<B．若fx≤0C．若?x1，x2，0<xD．?x∈1e,【答案】AC【解析】f'(x)=1-xex，當(dāng)x<1時(shí)，f'(x)>0，當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)<0，故x=1時(shí)，f(x)有最大值f(x)max=f(1)=1e-k，又x>0時(shí)，xe若?x1，x2，0<x1<x2時(shí)，總有ax22-x12<2gx2-2gx1恒成立等價(jià)于函數(shù)h(x)=2g(x)-ax2=2ex-ax2記s(x)=g(x)-1x-lnx=ex-x-1x-lnx，則s(1e)==故選：AC三、填空題12．已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，且MF=3，則M到y(tǒng)【答案】2【解析】因?yàn)镕為拋物線C:y2=4x設(shè)Mx1,y1，由拋物線的性質(zhì)得：x1故答案為：2．13．已知函數(shù)f(x)=sinωx-3cosωx(ω>0)，若存在x1∈[0,【答案】11【解析】函數(shù)f(x)=2sin(ωx-π3)由存在x1∈[0,π]，使得f(x所以ω的最小值為116故答案為：1114．已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長為3，該四棱錐內(nèi)部的球O與其所有面均相切，若球面上有且僅有一點(diǎn)Q滿足AC?PQ=AQ?【答案】3【解析】方法一：由題意得，球?yàn)檎睦忮F的內(nèi)切球.如圖①所示，設(shè)底面中心為O，過P作與AC垂直的平面，則該平面與球的交線為圓，過A作與PC垂直的平面，該平面與球的交線也為圓，球上兩圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q.因?yàn)閮蓤A都關(guān)于平面PAC對(duì)稱，且兩圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)，故點(diǎn)Q也在平面PAC上，即點(diǎn)Q在PO上.M，N分別為AD，BC的中點(diǎn)，分別作平面PAC，平面PMN截正四棱錐的截面，如圖②③所示.設(shè)球的半徑為R，球心為O1，OQ=2R在圖②中，因?yàn)锳C?所以∠QAO+∠C?∠CPO+∠C=90°.所以又∠POA=∠POC=90°.所以則有AOOQ=PO在圖③中，tan∠PMO=故tan∠PMO?因?yàn)楝F(xiàn)O1與MN,PM故∠PMO1=∠O1球的半徑R=32tan∠O,MO=故答案為：3π方法二：連接AC，BD，設(shè)交點(diǎn)為O，如圖建立以O(shè)為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系.因底面邊長為3，則A322則PQ=x,y,z-t，AC=因PQ⊥AC，則PQ?AC=-3則AQ?PC=92因球面上僅有一點(diǎn)Q滿足PQ⊥AC且AQ⊥PC，則Q0,y,92t則Q0,0,92t注意到正四棱錐體積為：V=13SR如圖，取BC中點(diǎn)為F，連接OF，PF，則OP=t，則S=9+4×12又正四棱錐體積為：V=1334則R=94×3故答案為：3π四、解答題15．已知盒中有大小、質(zhì)地相同的紅球、黃球、藍(lán)球共4個(gè)，從中任取一球，得到紅球或黃球的概率是34，得到黃球或藍(lán)球的概率是1（1）求盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個(gè)數(shù)；（2）隨機(jī)試驗(yàn)：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色.（i）寫出該試驗(yàn)的樣本空間Ω；（ii）設(shè)置游戲規(guī)則如下：若取到兩個(gè)球顏色相同則甲勝，否則乙勝.從概率的角度，判斷這個(gè)游戲是否公平，請(qǐng)說明理由.解：（1）從中任取一球，分別記得到紅球、黃球、藍(lán)球?yàn)槭录嗀,B,C，因?yàn)锳,B,C為兩兩互斥事件，由已知得P(A)+P(B)+P(C)=1P(A)+P(B)=解得P(A)=1∴盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個(gè)數(shù)分別是2,1,1；（2）（i）由（1）知紅球、黃球、藍(lán)球個(gè)數(shù)分別為2，1，1，用1，2表示紅球，用a表示黃球，用b表示藍(lán)球，m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球，(m,n)表示試驗(yàn)的樣本點(diǎn)，則樣本空間Ω(a,a),(a,b),(b,1),(b,2),(b,a),(b,b)}.（ii）由（i）得n(Ω)=16，記“取到兩個(gè)球顏色相同”為事件M，“取到兩個(gè)球顏色不相同”為事件N，則n(M)=6，所以所以P(N)=1-P(M)=1-3因?yàn)?8>16．如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D（1）求點(diǎn)A1到平面ABCD（2）若M是線段BB1上一點(diǎn)，平面MAC與平面BB1D1解：（1）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接A1因?yàn)锳1C⊥平面BB1D1D因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以BD⊥AC，又A1C∩AC=C，A1C,AC?平面AA又BD?平面ABCD，所以平面AA1C因?yàn)锳1C⊥平面BB1D1D又BB1//在Rt△AA1C中，又O為AC的中點(diǎn)，所以A1O⊥AC且又平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1所以A1O⊥平面故點(diǎn)A1到平面ABCD的距離為A（2）以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B,OC,則B1,0,0A1由（1）知，平面BB1D設(shè)BMB則BM設(shè)n2→=由n2?AM=x+λ+1設(shè)平面MAC與平面BB1D則有cosθ=解得λ=12，即17．已知函數(shù)fx=xlnax-ax+1a>0，其導(dǎo)函數(shù)為f'x，曲線y=fx（1）求B點(diǎn)的縱坐標(biāo)；（2）求B點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最小值；（3）設(shè)C1,1，判斷△ABC是否可能為等腰三角形，并說明理由解：（1）函數(shù)f(x)=xlnax-ax+1的定義域?yàn)?0,+∞由xlnax-ax+1=lnax-a+1，得(x-1)(ln由A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為eaa，所以B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（2）由（1）令g(a)=eaa,a>0，g'當(dāng)a>1時(shí)，g'函數(shù)g(a)在0,1上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，則所以B點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最小值為e.（3）由（1）知，A(1,lna-a+1),B(eaa當(dāng)0<a<1時(shí)，h'(a)>0；當(dāng)a>1時(shí)，h'(a)<0，函數(shù)h(a)在h(a)≤h(1)=0，|AC|=a-lna,|BC|=求導(dǎo)得φ'(a)=ea(a-1)當(dāng)a>1時(shí)，φ'函數(shù)φ(a)在(0,1)上遞減，在(1,+∞)上遞增，所以|BC|>|AC|，因?yàn)閤A=xC=1,顯然在直角三角形ABC中，有AB>|BC|>|AC|所以△ABC不可能為等腰三角形.18．已知橢圓C:x24+y2b2=1b>0，A0,b，B0,-b．橢圓C內(nèi)部的一點(diǎn)Tt,12(t>0)，過點(diǎn)（1）若橢圓C的離心率是32，求b（2）設(shè)△BTM的面積是S1，△ATN的面積是S2，若S1S2（3）若點(diǎn)U(xu,yu)，V(xv,yv)滿足xu（1）解：因?yàn)闄E圓C的離心率是32當(dāng)0<b<2時(shí)，32=4-當(dāng)b>2時(shí)，32=b所以b的值為1或4；（2）解：由題意，直線AM的斜率kAM存在，直線BN的斜率kkAM=12-bt=-則xMkBN=12+1t=則xN由圖，S1注意到∠BTM+∠ATN=π，則sin又TB=TA=1+k（3）證明：由題意，直線AM的斜率kAM存在，直線BN的斜率kkAM=12-bt=則y=1-2b2txkBN=12+bt=則y=1+2b2tx則xM-xN=4bt2b-11-2b2+b又根據(jù)題意知yN>12,12>yM19．已知正整數(shù)m≥2，定義m-聚合數(shù)列an如下：設(shè)a1,a2,?,a（1）對(duì)于2-聚合數(shù)列，若a1=2,a（2）對(duì)于100-聚合數(shù)列，記M為a1（i）若a1,a2,?,a100（ii）存在正整數(shù)n，使得an（1）解：a（2）證明：（i）只需考慮a101,a102記λ1=99100，不妨設(shè)a1從而a101根據(jù)聚合數(shù)列定義，a10