高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省黃石市部分學(xué)校2025屆高三五月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合M=x0<x<4,N=x1A．x0<x≤13C．x4≤x<5 D．【答案】B【解析】因?yàn)镸={x|0<x<4},N={x|13≤x≤5}故選：B.2．設(shè)2z+z+3z-zA．1-2i B．1+2i C．1+i【答案】C【解析】設(shè)z=a+bi，則z=a-bi所以，4a=46b=6，解得a=b=1，因此，z=1+故選：C.3．設(shè)向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1)，且(A．3 B．2 C．-2 D．-3【答案】A【解析】由題意得a-λb=(1+λ,1-3λ)所以(a-λb故選：A4．古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是5-12（5-12≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是5-1A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm【答案】B【解析】頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm，說明頭頂?shù)窖屎淼拈L(zhǎng)度小于26cm，由頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比是5-12≈可得咽喉至肚臍的長(zhǎng)度小于260.618≈42cm由頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是5-1可得肚臍至足底的長(zhǎng)度小于42+260.618＝110即有該人的身高小于110+68＝178cm，又肚臍至足底的長(zhǎng)度大于105cm，可得頭頂至肚臍的長(zhǎng)度大于105×0.618≈65cm，即該人的身高大于65+105＝170cm，即人的身高大于170cm小于178cm,故選：B．5．設(shè)an為等比數(shù)列，則“對(duì)于任意的n∈N*，an+2<an”是A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,q≠0若an+2當(dāng)a1>0時(shí)，由a1解得-1<q<0或0<q<1，若-1<q<0，則a2=a若0<q<1，則an>0，此時(shí)a當(dāng)a1<0時(shí)，由a1解得q<-1或q>1，若q<-1，則a2=a若q>1，則an<0，此時(shí)此時(shí)a反之，若an為遞減數(shù)列，則a所以“對(duì)于任意的n∈N*，an+2<an”是故選：C6．若函數(shù)fx=logax3-ax（a>0且a≠1A．14,1 B．34,1 C．【答案】B【解析】函數(shù)f(x)=loga(則(-12)設(shè)t=x3-ax,則(1)當(dāng)a>1時(shí)，y=logat要使函數(shù)f(x)=loga(x需使t=x3-ax在區(qū)間則需使t'=3x2-a≥0，對(duì)任意x∈(-120)恒成立,因?yàn)閤∈(-12,0)時(shí)，0<3x2<(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，y=1og要使函數(shù)fx=log需使t=x3-ax則需使t'=3x2-a≤0即a≥3x2對(duì)任意因?yàn)閤∈(-1所以a?3又a<1，所以34綜上，a的取值范圍是3故選：B7．已知直線xa+yb=1（a，bA．60條 B．66條 C．72條 D．78條【答案】A【解析】圓x2+y共12個(gè)整點(diǎn)，過其中任意兩點(diǎn)的直線有C12其中：過8,6,8,-6的直線、過-8,6,-8,-6的直線、過過8,6,-8,6的直線、過-8,-6,8,-6的直線、過過0,-10,0,10的直線、過-10,0,10,0的直線，過-8,-6,8,6的直線、過故共有14條直線的截距式方程不存在，另外，各自以8,6,6,8,故滿足條件的直線條數(shù)為：C12故選：A8．設(shè)雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與CA．2 B．2 C．5 D．7【答案】D【解析】由雙曲線的對(duì)稱性可知F1A=F2B令F1A=由雙曲線定義可知F2A-F1即F1A=F2則cos∠A因?yàn)椤螦F2B∈(0,π)則有cos∠即20a2-4c216a2=-故選：D二、多選題9．已知函數(shù)fx=sinA．函數(shù)fx-B．曲線y=fx的對(duì)稱軸為C．fx在區(qū)間πD．fx的最小值為【答案】AC【解析】f==-2即fx對(duì)于A，fx-π4對(duì)于B，fx=-2sin2x對(duì)于C，x∈π3,fx=-2對(duì)于D，fx=-2sin2x，則sin故選：AC10．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線C:y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)M(p,0)，若|AF|=|AM|A．直線AB的斜率為26 B．C．|AB|>4|OF| D．∠OAM+∠OBM<180°【答案】ACD【解析】對(duì)于A，易得F(p2,0)，由AF=AM可得點(diǎn)A在FM代入拋物線可得y2=2p?3p4=32p2對(duì)于B，由斜率為26可得直線AB的方程為x=12設(shè)B(x1,y1)，則62p+y則OB=p3對(duì)于C，由拋物線定義知：AB=3p4對(duì)于D，OA?OB=(又MA?MB=(-又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360°，則∠OAM+∠OBM<180°故選：ACD.11．若函數(shù)gx為函數(shù)f'x的導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x0，函數(shù)值fx0，A．函數(shù)y=fx不可能為奇函數(shù) B．函數(shù)y=fC．函數(shù)y=fx存在最小值 D．函數(shù)y=f【答案】ACD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)gx為函數(shù)f'x的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)d(x)=f'得d'(x)=d(x)，即d'(x)-d(x)=0，故ex?d'(x)-ex?d(x)e2x=d(x)ex'=0，則存在正實(shí)數(shù)故f'所以當(dāng)x∈-∞,-ba-1時(shí)故y=fx在-∞,-ba由y=fx得單調(diào)性可知函數(shù)y=fx不可能為奇函數(shù)，故由單調(diào)性可知y=fx存在最小值，沒有最大值，故B錯(cuò)誤，C因?yàn)閑x>0所以令f(x)=ax+b?ex=0則故選：ACD三、填空題12．直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若【答案】20π【解析】BC邊上的高為|AD|=1，|BD|=3.r2=(r-1)2+(3)2|O’A|=r=2∵|O’O|=12A∴R2=(O’A)2+(O’O)∴S=413．若△ABC的面積是△ABC外接圓面積的13，則2sin【答案】2【解析】由正弦定理得asinA=又△ABC的面積是△ABC外接圓面積的13所以12absin2sin故答案為：2π314．組合數(shù)學(xué)常應(yīng)用于計(jì)算機(jī)編程，計(jì)算機(jī)中著名的康威生命問題與開關(guān)問題有相似的地方．下圖為一個(gè)開關(guān)陣列，每個(gè)開關(guān)只有“開”和“關(guān)”兩種狀態(tài)，按其中一個(gè)開關(guān)一次，將導(dǎo)致自身和周圍所有相鄰的開關(guān)改變狀態(tài)，例如，按(2,2)將導(dǎo)致(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)改變狀態(tài)．如果要求只改變(1,1)的狀態(tài)，則需按開關(guān)的最少次數(shù)為．【答案】5【解析】根據(jù)題意可知：只有在1,1及周邊按動(dòng)開關(guān)，才可以使按開關(guān)的次數(shù)最少，具體原因如下：假設(shè)開始按動(dòng)前所有開關(guān)均為閉合狀態(tài)，要只改變1,1的狀態(tài)，在按動(dòng)1,1后，1,2，2,1也改變，下一步可同時(shí)恢復(fù)或逐一恢復(fù)，同時(shí)恢復(fù)需按動(dòng)2,2，但會(huì)導(dǎo)致周邊的2,3，3,2也改變，因此會(huì)按動(dòng)開關(guān)更多的次數(shù)；所以接下來逐一恢復(fù)，至少需按開關(guān)3次；這樣沿著周邊的開關(guān)再按動(dòng)，可以實(shí)現(xiàn)最少的開關(guān)次數(shù)，即按動(dòng)5次可以滿足要求.如下表所示：（按順時(shí)針方向開關(guān)，逆時(shí)針也可以）1,11,21,32,12,22,33,13,23,3按動(dòng)1,1開開關(guān)開關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)按動(dòng)1,3開關(guān)開開關(guān)開關(guān)關(guān)關(guān)按動(dòng)2,3開關(guān)關(guān)開開關(guān)關(guān)關(guān)開按動(dòng)3,2開關(guān)關(guān)開關(guān)關(guān)開開關(guān)按動(dòng)3,1開關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)則需按開關(guān)的最少次數(shù)為5.故答案為：5.四、解答題15．如圖，在四棱錐E-ABCD中，EA⊥平面ABCD，平面EAC⊥平面EBD，AB=AD=AE=2，AC=3

（1）證明：BD⊥EC；（2）若AB⊥AD，P為ED的中點(diǎn)，求PC與平面EAC所成角的正弦值．（1）證明：連接OE，作AF⊥OE，垂足為F，因?yàn)槠矫鍱AC⊥平面EBD，平面EAC∩平面EBD=OE，AF?平面EAC，所以AF⊥平面EBD，又BD?平面EBD，所以AF⊥BD，因?yàn)镋A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以EA⊥BD，又EA∩AF=A，EA，AF?平面EAC，所以BD⊥平面EAC，因?yàn)镋C?平面EAC，所以BD⊥EC．（2）解：由題意知AB，AE，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AE，AD所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），則A0,0,0，B2,0,0，E0,2,0，D0,0,2，所以BD=由（1）知，BD⊥平面EAC，所以BD=-2,0,2為平面設(shè)CP與平面EAC所成角為θ，所以sinθ=即直線CP與平面EAC所成角的正弦值為7716．某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25（i）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX;（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？解：（1）［方法一］：【通性通法】利用導(dǎo)數(shù)求最值20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為fp因此f'令f'p=0，得p=0.1.當(dāng)p∈0,0.1時(shí)，所以fp的最大值點(diǎn)為p［方法二］：【最優(yōu)解】均值不等式由題可知，20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(f(p)=C202p（2）由（1）知，p=0.1（i）令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B180,0.1，X=20×2+25Y，即（ii）如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.由于EX>400，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)17．如圖，已知橢圓C1:x22+y2=1，拋物線C2:y2=2px(p>0)，點(diǎn)A是橢圓C1與拋物線C2的交點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線（Ⅰ）若p=116，求拋物線（Ⅱ）若存在不過原點(diǎn)的直線l使M為線段AB的中點(diǎn)，求p的最大值．解：（Ⅰ）當(dāng)p=116時(shí)，C2的方程為y2=（Ⅱ）[方法一]：韋達(dá)定理基本不等式法設(shè)A(x由{x∴y由M在拋物線上，所以λ2又{y∴y1+y∴x由{x2??-2p+4所以4p2+2≥18p，所以，p的最大值為1040，此時(shí)A([方法二]【最優(yōu)解】：設(shè)直線l:x=my+t(m≠0,t≠0)，A(x將直線l的方程代入橢圓C1:x所以點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM將直線l的方程代入拋物線C2:y所以y0yM=-2pt，解得由x022所以當(dāng)m=2,t=105時(shí)，[方法三]：點(diǎn)差和判別式法設(shè)A(x1,因?yàn)閧x12整理得y1+y又y1所以y0y0因?yàn)榇嬖趛0，所以上述關(guān)于y0的二次方程有解，即判別式Δ=由{y12因此y12=2px1當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1010,±510[方法四]：參數(shù)法設(shè)M(2pt由kABkOM令u=(2t+t)2，則u∈[8,+所以pmax=1040，此時(shí)18．已知a、b∈R，函數(shù)f（1）若曲線y=fx在0,f0處的切線方程為y=2x+1（2）若函數(shù)fx在R，上單調(diào)遞增，求a（3）若對(duì)?b∈R，，函數(shù)fx至多有兩個(gè)零點(diǎn)，求解：（1）因?yàn)閒x=xe由題意可得f0=b-a=2，解得a=-1，b=1，故a+b=0.（2）由題意可知，對(duì)任意的x∈R，f'x令gx=1-x由g'x<0可得x<32所以，函數(shù)gx的減區(qū)間為-∞,所以，a≤gx因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-∞（3）由（2）得，當(dāng)a≤-12e3時(shí)，函數(shù)則函數(shù)fx當(dāng)x<1時(shí)，gx=1-xe2x>0當(dāng)a≥0時(shí)，f'由圖可知，存在x0≤1，使得且當(dāng)x<x0時(shí)，f'x>0所以，函數(shù)fx在區(qū)間-∞,所以，對(duì)?b∈R，函數(shù)f當(dāng)a∈-12設(shè)兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1、x當(dāng)x<x1或x>x2，f'所以，函數(shù)fx的增區(qū)間為-∞,x1所以，函數(shù)fx的極大值為fx1且當(dāng)x→-∞時(shí)，fx→-∞；當(dāng)故當(dāng)fx1<0函數(shù)fx有三個(gè)零點(diǎn)，不合題意綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-∞19．記M表示有窮集合M的元素個(gè)數(shù)．已知m,n是正整數(shù)，集合S=1,2,?,n．若集合序列Q:A1,A2,?,①Ak≥2，其中②Ak?S，其中k=1,2,?,m③對(duì)于S中的任意兩個(gè)不同元素i,j，都存在唯一的k∈1,2,?,m，使得i,j（1）設(shè)m=n=5，判斷下列兩個(gè)集合序列是否是“平衡序列”？（結(jié)論不要求證明）QQ（2）已知n≥3且集合序列Q:A1,A2,?,Am是（i）當(dāng)1?A1時(shí)，（ii）m≥n．（1）解：Q1是平衡的，Q理由：S=1,2,?,5Q1:1,2,1,3,4,5顯然Ak?S，且對(duì)于S中的任意兩個(gè)不同元素i,j，1