高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省部分學(xué)校（圓創(chuàng)）2025屆高三下學(xué)期考前壓軸卷（二）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合U=1,2,3,4,5,6，A=2,3,4，B=1,4,5，則A∪A．2,3 B．1,2,3,5 C．2,3,4,6 D．1,5【答案】C【解析】∵U=1,2,3,4,5,6，B=1,4,5，∵A=2,3,4，∴A∪故選：C.2．復(fù)數(shù)z=1+ia+ia∈A．-∞,-1 B．-1,1 C．-1,+∞【答案】B【解析】z=因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以a-1<0解得-1<a<1，即故選：B.3．已知向量a=0,-1，b=1,1，則a在A．12b B．-12b C【答案】B【解析】因?yàn)閍=0,-1，所以a?b=0×1+所以a在b上的投影向量為a?故選：B.4．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P-1,2，則cos2α的值為（A．45 B．-45 C．3【答案】D【解析】因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P-1,2所以cosα=則cos2α=2故選：D.5．已知雙曲線C:x2-y2=2，右焦點(diǎn)為F，直線l經(jīng)過F且與x軸垂直．若l與C的兩條漸近線分別交于A，A．2 B．22 C．4 D．【答案】C【解析】由雙曲線C:x2-y2因?yàn)橹本€l經(jīng)過F且與x軸垂直，所以直線l的方程為x=2，所以直線l與兩漸近線的交點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(2,2),(2,-2)，所以|AB|=4，所以△OAB的面積為12故選：C.6．圓錐的高為1，其側(cè)面積是底面積的2倍，則它的體積為（

）A．π9 B．π6 C．π4【答案】A【解析】設(shè)圓錐的底面積S1=πr2，側(cè)面積S2=圓錐的高h(yuǎn)、底面半徑r與母線長(zhǎng)l滿足勾股定理l2=r2+h2即4r2=r2圓錐體積公式為V=13S1h=13所以圓錐的體積為π9故選：A.7．通信工程中常用n元數(shù)組a1,a2,a3,?,an表示信息，其中ai=0或1，且i,n∈N*．設(shè)u=a1,a2,a3,?,anA．15 B．20 C．30 D．40【答案】A【解析】由du,v=2，則u,v相對(duì)應(yīng)的元素恰有2個(gè)不同，故數(shù)組v共有C故選：A.8．已知函數(shù)fx和它的導(dǎo)函數(shù)f'x的定義域均為R，且fx+2+f-x=2，fA．1 B．2 C．2025 D．2026【答案】C【解析】∵fx+2+f-x=2，∴fx+2∵f'x+2∴f'x+2關(guān)于0,0所中心對(duì)稱，根據(jù)換元法則有f則f(x)關(guān)于直線x=2軸對(duì)稱，則有f(x)=f(4-x)，可知f(x+2)+f(-x)=2f(-x)=f(4+x),作差得f(x+2)+f(x+4)=2，換元得再作差[f(x+2)+f(x+4)]-[f(x)+f(x+2)]=0，化簡(jiǎn)得f(x+4)-f(x)=0，即f(x+4)=f(x)，函數(shù)f(x)周期為4.當(dāng)x=-1時(shí)，f(1)+f(1)=2，解得f(1)=1，當(dāng)x=0時(shí)，f(2)+f(0)=2，解得f(2)=2，由fx+2+f-x=2可知f(3)=1，又f(4)=f(0)=0，故2025∑故選：C.二、多選題9．設(shè)α，β是兩個(gè)平面，l是一條直線，則（

）A．若α//β，l⊥α，則l⊥β B．若α⊥β，l⊥α，則lC．若l//α，l⊥β，則α⊥β D．若l//α，l//β【答案】AC【解析】對(duì)于A，當(dāng)l⊥α，α//β時(shí)，l⊥β，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)α⊥β，l⊥α?xí)r，l//β或l?β，故對(duì)于C，因?yàn)閘//α，所以在平面α內(nèi)一定存在一條直線而l⊥β，所以c⊥β，根據(jù)面面垂直的判定定理可知α⊥β，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)α∩β=a時(shí)，如果l是平面α，β外一條直線，當(dāng)l//a時(shí)，顯然l//α，l//β故選：AC.10．若0<a<b<1，則（

）A．a(chǎn)b>a-1C．2a+2【答案】BC【解析】對(duì)A：因?yàn)?<a<b<1，則b-a>0,b>0,b-1<0，所以ab-a-1b-1=對(duì)B：記fx=x-ln所以fx在0,1又0<a<b<1，所以fa>fb，即a-lna>b-對(duì)C：因?yàn)?<a<b<1，所以1<2a<2a+2則2a+2b2對(duì)D：記gx=sin記hx=xcosx-sin所以hx在0,1上單調(diào)遞減，h則g'x<0，所以g又0<a<b<1，所以ga>gb，即sinaa>故選：BC.11．?dāng)?shù)列an中，a1>0且a1≠1，aA．若a1=2B．若a1=C．若an中存在連續(xù)3項(xiàng)依次成等差數(shù)列，則D．若a1=【答案】ABD【解析】由題意可知：an∵an+1=令bn=lnan∴bn是首項(xiàng)為lna1，公比為∴bn=對(duì)于A選項(xiàng)，若a1=2，則∴a1?對(duì)于B選項(xiàng)，若a1=12，則an∴a令t=2n-1，y=22n-1+2則y=2t+當(dāng)t≥1時(shí)，2t-21-2t>0，即y∴當(dāng)t=1時(shí)，ymin=2+14=對(duì)于C選項(xiàng)，若an中存在連續(xù)3項(xiàng)依次成等差數(shù)列，設(shè)為a∴2ak+1=∴ak4當(dāng)ak∴ak3-2ak+1=0∵a1>0且a1≠1，∴若ak=-1+52<1，則對(duì)于D選項(xiàng)，a1∵a1=∵a∴an51-a∴a1-a故選：ABD.三、填空題12．某食鹽企業(yè)對(duì)生產(chǎn)的食鹽采用自動(dòng)流水線包裝后進(jìn)入市場(chǎng)銷售．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，該自動(dòng)流水線包裝的每袋食鹽的質(zhì)量X（單位：克）服從正態(tài)分布N500,52．隨機(jī)抽取該廠生產(chǎn)的1000袋食鹽，質(zhì)量X介于505克到510附：若X～Nμ,σ2，則P【答案】140【解析】因?yàn)閄～N500,52所以P=P所以質(zhì)量X介于505克到510克之間的約有1000×0.14=140袋.故答案為：14013．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在C上，線段P【答案】7【解析】已知5|QF1|=7|P根據(jù)橢圓的定義：|PF1|+|P則|PQ|+|QF2|+|P在△QPF2中，根據(jù)余弦定理可得：(7k)2化簡(jiǎn)得到4a2-58ak+180則(a-10k)(2a-9k)=0，則a=10k或a=9當(dāng)a=10k，則a10在△F1PF2中，|PF1根據(jù)余弦定理|F可得：(2c)2可得：4c2=可得e=c當(dāng)a=92k故答案為：7414．已知函數(shù)fx=lnx-ax有2個(gè)零點(diǎn)x1，x2，且【答案】ln【解析】函數(shù)fx=lnx-ax，當(dāng)a≤0時(shí)，f'x>0，此時(shí)fx所以a>0.令f'x=0為了使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則極大值f1a=因?yàn)楹瘮?shù)fx=lnx-ax，所以lnx1兩式相減得lnx因?yàn)?<x1x2<2，令xlntx2=atx2兩式相除可得：lntx2lnx兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得到：lnx2=-ln①②聯(lián)立可得：elntt-1=ln因?yàn)?<t<2，因?yàn)閘nt設(shè)st=1-lnt-1t，則故st<s1=0，故令ft=lnt-t-1，所以f又f1=0，所以ft所以m的取值范圍為ln2,1令gm=mem，則g所以ln2所以綜上所述，a的取值范圍為ln2故答案為：ln2四、解答題15．某學(xué)校高三年級(jí)組織“人工智能”知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽試題有A，B兩類（每類試題的數(shù)量足夠多），競(jìng)賽分兩輪答題依次進(jìn)行．其競(jìng)賽規(guī)則為：第一輪，從A類試題中任選一道作答，若正確，進(jìn)入第二輪答題；若錯(cuò)誤，再?gòu)腁類試題中另選一道作答，若正確，同樣進(jìn)入第二輪答題；否則，結(jié)束比賽．第二輪，從B類試題中任選一道作答，若正確，則競(jìng)賽成功；若錯(cuò)誤，再?gòu)腂類試題中另選一道作答，若正確，同樣競(jìng)賽成功；否則，競(jìng)賽失?。阎獙W(xué)生甲每次正確回答A類問題的概率為23，正確回答B(yǎng)類問題的概率為3（1）求學(xué)生甲競(jìng)賽成功的概率；（2）記學(xué)生甲回答試題的數(shù)量為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：（1）記事件A=“學(xué)生甲先答對(duì)A類一道試題”，B=“學(xué)生甲繼續(xù)答對(duì)另一道A類試題”，C=“學(xué)生甲答對(duì)B乙類試題”，D=“學(xué)生甲繼續(xù)答對(duì)B類試題”，則PA=PB則學(xué)生甲競(jìng)賽成功的概率為PAC（2）由題意，X的所有取值為2,3,4,則PX=2PX=3PX=4所以X的分布列為：X234P2324則EX16．如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)

（1）求證：A1B//平面（2）若AB=2，二面角D-AC1-C大小為45（1）證明：連接A1C交AC1于點(diǎn)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，有CC所以CC1⊥AD，又因?yàn)锳D⊥C1所以AD⊥平面BC1，又因?yàn)锽C?平面BC再由正三棱柱ABC-A1B1C1可得，再由正三棱柱ABC-A1B1C1可得，側(cè)面四邊形所以有DE//A1B，又因?yàn)镈E?平面AC1所以A1B//平面（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由正三棱柱ABC-A1B1C則A3所以有A設(shè)平面DAC1的法向量為則n1令y=m，則x=0,z=1，所以n1設(shè)平面CAC1的法向量為則n2令b=3，則c=0,a=-1，所以n由二面角D-AC1-C則cosn解得m=2，即A17．△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足acos（1）求A的大?。唬?）點(diǎn)D為直線BC上一點(diǎn)，AD⊥AB，且AD=2，求△ABC面積的最小值．解：（1）在△ABC中，由acos得sinA整理得-3sinAsinC=兩邊平方得(1-cosA)2=3sin所以A=2（2）由（1）知，A=2π3，設(shè)∠ADB=θ，則∠CAD=在Rt△ABD中，AB=ADtanθ=2在△ACD中，由正弦定理得AC=AD令3tanθ-1=t>0，則因此△ABC的面積S△ABC當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即tanθ=所以△ABC面積的最小值為8318．平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A2,0，P為動(dòng)點(diǎn)，以PA為直徑的圓與y軸相切，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡記為E（1）求E的方程；（2）已知點(diǎn)B1,1，不經(jīng)過點(diǎn)B的直線l與E相交于C，D①若B為△OCD的垂心，求l的方程；②連結(jié)CB，DB分別交E于點(diǎn)P，Q，若PQ//CD，求l的斜率．解：（1）設(shè)P(x,y)，PA中點(diǎn)為M，因?yàn)锳2,0，所以M(由題意知(x+22-2)所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡記E為y2（2）①設(shè)C(x1,因?yàn)锽為△OCD的垂心，所以有BCBC=(由BC?BO=化簡(jiǎn)得x1-x2=y2-y聯(lián)立方程y=-x+by2=8x，消去y根據(jù)韋達(dá)定理可知x1由BC?BO=化簡(jiǎn)得2x1x2-b(x1當(dāng)b=0時(shí)，C,D重合，舍去，所以b=9,直線方程為y=-x+9.②設(shè)C(x1,y聯(lián)立方程x=ty-ny2=8x，消去x由韋達(dá)定理可知y1設(shè)直線CB:x-1=x聯(lián)立方程x-1=x1-1y1由韋達(dá)定理可知y1+y則kPQ=y代入可得kPQ韋達(dá)定理代入得kPQ當(dāng)PQ//CD時(shí)，即8n+8t-12n+9t-2=1解得t=14或t=-n+1(舍所以l的斜率為4.19．已知函數(shù)fx=ln（1）討論fx（2）當(dāng)a=12時(shí)，正項(xiàng)數(shù)列an滿足：a①求證：-a②求證：當(dāng)n≥2時(shí)，12（1）解：f'x=當(dāng)a≤0時(shí)，f'x>0恒成立，故f當(dāng)a>0時(shí)，若x∈-1,a-1時(shí)，f'x<0；故fx在-1,a-1上為減函數(shù)，在a-1,+綜上，a≤0時(shí)，fx的增區(qū)間為-1,+當(dāng)a>0時(shí)，fx的減區(qū)間為-1,a-1，增區(qū)間為a-1,+